12.2一次函数(10知识点+9题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

12.2 一次函数 课程标准 学习目标 1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 2.能画一次函效的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索井理解k>0和k <0时图象的变化情况。 3.理解正比例函数与一次函数关系 4.体会一次函数与二元一次方程的关系。 5.能用一次函数解决简单实际问题。 ①理解次函数和正比例函数的概念及其关系； ②会正确画出一次函数的图象，掌握握一次函数的图象和性质，能从一次函数的图象中获取所需要的信息； ③能够熟练地运用待定系数法确定一次函数的表达式 ④理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系； ⑤能够运用一次函数解决简单的实际问题； ⑥理解函数的概念，初步掌握学习函数的基本方法。 编排说明：本节内容共计6个课时，知识点顺序即课时顺序 知识点01 一次函数的概念 ·一次函数 一般地，形如y=kx+b（k，ｂ为常数，且k ≠０）的函数叫做一次函数． ·正比例函数 形如y=kx（k为常数，且k ≠０）的函数叫做正比例函数 【即学即练1】（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若函数是关于x的一次函数，则m的值为（    ） A．1或 B． C．1 D．2 知识点02 正比例函数的图象 y=kx（k ≠０） k>0 k<0 函数图象 过原点（0，0） 【即学即练3】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）同一坐标系中，正比例函数，，，的图象如图所示，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 正比例函数的性质 一般地，正比例函数y=kx（k为常数，且k ≠０）有下列性质： 当k＞０时，ｙ随ｘ的增大而增大（图象是自左向右上升的）； 当k＜０时，ｙ随ｘ的增大而减小（图象是自左向右下降的）． 【即学即练4】（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【即学即练5】已知点，都在正比例函数的图象上，则（　　） A． B． C． D．无法确定 知识点04 一次函数的图象 y=kx+b（ｋ≠０） k>0 k<0 b>0 b<0 b>0 b<0 函数图象 直线y=kx+b ·直线y=kx+b与ｙ轴相交于点（０，ｂ），ｂ叫做直线y=kx+b在ｙ轴上的截距，简称截距． 【即学即练6】在平面直角坐标系中， 已知点在直线上， 则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【即学即练7】在平面直角坐标系中画出一次函数的图象． 【即学即练8】（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（   ） A．B．C． D． 【即学即练9】如果直线经过第一、三、四象限，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点05 一次函数图象的平移 ·一次函数y=kx+b图象与y=kx的关系：直线y=kx+b与直线y=kx平行 直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移｜ｂ｜个单位长度而得到： 当ｂ＞０时，向上平移；ｂ＜０时，向下平移． y=kx+b (b<0) y=kx y=kx+b (b>0) 【即学即练10】（22-23八年级上·江苏常州·期末）直线向上平移1个单位，所得直线的解析式是 ． 【即学即练11】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知函数 (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值． 知识点06 一次函数的性质 一般地，一次函数y=kx+b（k，ｂ为常数，且k ≠０）有下列性质： 当k＞０时，y随x的增大而增大（图象是自左向右上升的）； 当k＜０时，y随x的增大而减小（图象是自左向右下降的） 【即学即练12】（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 知识点07 待定系数法求一次函数解析式 先设所求的一次函数表达式为y=kx+b（ｋ，ｂ是待确定的系数），再根据已知条件列出关于ｋ、b的方程组，求得k、b的值． 这种确定表达式中系数的方法，叫做待定系数法 【即学即练12】一个正比例函数（，且k为常数）的图象经过点． (1)求正比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【即学即练13】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数图像经过点和点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点P是该函数图像与x轴的交点，求点P的坐标． 【即学即练14】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点是该函数图象上的一点，求的值． 知识点08 分段函数 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数：用括号“y={”表示分段函数的解析式，每个分段函数解析式后需要标明自变量的取值范围。 【即学即练15】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）某商店销售一种产品，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围． 知识点09 一次函数与一元一次方程的关系 ·解一元一次方程kx+b=0，都可转化为求一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠０）中y=0时的x值． 从图象上看，就是求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标． ·解一元一次方程k 1x+b1＝k 2 x+b 2，可转化为求直线y＝k 1 x+b 1与直线y= k 2 x+b 2的交点的横坐标． 【即学即练16】（23-24八年级下·海南海口·期末）若直线与x轴交于点，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【即学即练17】（23-24八年级下·河南南阳·期中）一次函数的图象如图，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 知识点10 一次函数与一元一次不等式的关系 ·解一元一次不等式kx+b＞０（或kx+b＜０），就是求使一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠０）取正值（或负值）时x的取值范围，从图象看，就是求直线y=kx+b在x轴上方（下方）部分的x的范围． ·kx+b＞a（或kx+b＜a）：从图象看，表示直线y=kx+b在直线y=a上方（下方）的x的范围。 ·k 1x+b1>k 2 x+b 2（或k 1x+b1<k 2 x+b 2）：从图象看，表示直线y=k 1x+b1在直线y＝k 2 x+b 2上方（下方）部分的x的范围。 【即学即练18】（23-24八年级下·吉林长春·期末）若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 ·根据平移方式求平移前后的直线的函数解析式：左加右减、上加下减。 表示平移后的解析式： 向上平移a个单位：。例：正比例函数（）向上平移个单位长度：向下平移a个单位：。例：正比例函数（）向上平移个单位长度：向左平移a个单位：。例：正比例函数（）向上平移个单位长度：向右平移a个单位：。例：正比例函数（）向上平移个单位长度：·求实际问题中的分段函数表达式 ①先根据信息（表格、图象等）对自变量x的范围进行分类讨论； ②根据不同的自变量的范围，用待定系数法或等量关系求出对应的一次函数解析式； ③将几个函数解析式写成分段函数的形式。 例题：参考题型九 【题型一：根据一次函数的定义求参数】 例1．（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 变式1-1.（23-24八年级下·吉林白城·期末）已知函数是正比例函数，则 ． 变式1-2.（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为 ． 【方法技巧与总结】 此类问题，先根据自变量的次数为1列方程求解，再根据自变量系数不为0，确定参数的值。 【题型二：一次函数的定点】 例2．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）已知一次函数，无论k取任意实数，则该一次函数的图象必经过点 ． 【方法技巧与总结】 先对式子中的参数进行合并同类项，再根据一次函数的结构求定点： ①一次函数y=k（x-x0）的定点为(x0，0)；②一次函数y=k（x-x0）+y0的定点为(x0，y0)。 【题型三：判断一次函数的图象】 例3．已知方程的解是，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．已知一次函数和．若，，则下列图象正确的是（　　） A．B．C．D． 变式3-2.函数和在同一坐标系中的图像大致是（   ） A．B．C． D． 【方法技巧与总结】 判断一次函数和正比例函数的图象关键是数形结合． ·一次函数图象与系数的关系：根据系数的正负判断图象的所在的象限 或与坐标轴交点的位置 ※两个一次函数的图象位置：k值相同，两直线平行；k值乘积为-1，两直线垂直； 【题型四：已知函数的图象特点求参数范围】 例4.（23-24八年级下·四川成都·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 变式4-1．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③：④方程的解是，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式4-2．已知函数． (1)若函数图象与x轴交于点，求m的值； (2)若函数图象平行于直线，求m的值； (3)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【方法技巧与总结】①根据一次函数图象所过象限，判断k、b的范围；②根据直线与x轴的交点判断kx+b=0的解；③根据两直线的平行：得出k值相同；④根据两直线ｙ＝ｋ1ｘ＋ｂ1和y=ｋ2ｘ＋ｂ2相交于点(x0,y0)：方程ｋ1ｘ＋ｂ1＝ｋ2ｘ＋ｂ2的解为x=x0． 【题型五：利用一次函数的增减性比较函数值的大小】 例5．已知一次函数图象上两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知点和点是正比例函数图象上的两点，则m与n较大的是 ． 变式5-2.（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若点，都在正比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 【方法技巧与总结】 给出一次函数y=kx+b上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，且x1<x2，比较y1和y2的大小： k>0时，y1<y2 ；k<0时，y1>y2 . 【题型六：根据一次函数增减性求参数】 例6．（23-24八年级下·四川成都·期末）当时，一次函数有最大值，则实数的值为（    ） A．1 B．1或 C．2 D．2或 变式6-1.若一次函数的函数值y随着自变量x的增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式6-2.（23-24八年级下·福建福州·期中）已知点，在一次函数的图象上，当时，有，则m的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】 ①当时，有，得到y随x的增大而减小，所以的比例系数k<0；当时，有，得到y随x的增大而增大，所以的比例系数k>0。 ②k>0时，自变量x取最大值时，函数值y就取最大值；k<0时，自变量x取最小值时，函数值y就取最大值。 【题型七：由直线、坐标轴的交点求不等式的解集】 例7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论： ①方程的解在和0之间； ②关于x的不等式的解集为； ③； ④关于x的不等式的解集为时，． 其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 变式7-1.（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 变式7-2.（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． (1)求m的值和直线的解析式； (2)若点在直线上，当时，求的最大值； (3)若点在直线上，当时，请直接写出n的取值范围． 【题型八：直线与坐标轴所围成的图形的面积】 例8．已知一次函数与一次函数的图象的交点坐标为，求这两个一次函数的解析式及两直线与y轴围成的三角形的面积． 变式8-1.（23-24八年级上·安徽滁州·期末）直线经过第一、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形面积为9，求b的值． 变式8-2.如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求四边形的面积． 变式8-3.（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，已知一次函数的图象经过，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若为轴上一点，且的面积为6，求点的坐． 【方法技巧与总结】①待定系数法求直线解析式；②令y=0（x=0）求直线与x轴（y轴）的交点坐标；③割补法求三角形或四边形的面积。 【题型九：分段函数的应用——根据图象信息解决问题】 例9.（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）甲、乙两个蓝莓采摘园为吸引顾客，在蓝莓单价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买元门票，采摘的蓝莓全部打六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘的蓝莓不超过的按原价收费，超过时，超过的部分打折优惠，若某顾客的蓝莓采摘量为x（千克），在甲、乙两园采摘的总费用分别为（元），（元），y与x之间的函数图象如图所示． (1)求乙采摘园蓝莓优惠前的销售单价； (2)分别求出和时关于x的函数关系式； (3)当顾客购买蓝莓时，在哪家采摘园采摘更省钱？能省下多少钱？请你通过计算说明． 变式9-1.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）某工厂同时生产甲、乙两种零件，已知每生产一个甲种零件可获得利润260元，每生产一个乙种零件可获得利润150元，工作2天后为了提高生产效率，现引进新的生产技术，对生产乙种零件的生产工人进行了新技术的培训同时停产一天，新技术培训后生产效率是之前的2倍．甲、乙生产线各自生产的零件个数y（件）与生产时间x（天）的函数关系如图所示． (1)求生产甲种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式； (2)求新技术培训后生产乙种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式； (3)该工厂前7天的总利润是多少？ 变式9-2.（23-24八年级上·安徽六安·期末）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以80千米/小时的速度匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是________千米，________； (2)求货车返回时的速度； (3)在整个运输途中，巡逻车与货车何时相遇？ 一、选择题 1．下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2.关于正比例函数，下列说法正确的是（　　） A．随的增大而增大 B．图象是经过第一、第二象限的一条直线 C．图象向上平移1个单位长度后得到直线 D．点在其图象上 3．已知点，都在正比例函数的图象上，则（　　） A． B． C． D．无法确定 4．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，常数k和b互为相反数，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（          ） A．  B．  C．  D．   5．若一次函数的函数值y随着自变量x的增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.已知点，在一次函数的图象上，则，，0的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图，直线与直线的交点在第二象限．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为(    ) A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移2个单位长度，平移后的图象与轴的交点坐标为 ． 12．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 13．若一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，则的取值范围是 ． 14．已知点和点是一次函数图象上的两点，则a与b的大小关系是 ． 15．（23-24八年级下·青海海东·期末）已知一次函数（是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 0 2 4 6 则关于x的方程的解为 ． 三、解答题 16．（23-24八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，用描点法画出一次函数的图象． 17．已知正比例函数图象过点且点在这个函数的图象上，求a的值． 18．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）已知正比例函数与的交点到轴的距离为1，求正比例函数的解析式． 19．一次函数（k为常数，且），经过点． (1)求k的值； (2)画出的图象； (3)正比例函数的图象如图所示，若该图象与的图象交于点A，请直接写出当时自变量x的取值范围： ． 20．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，点，点M在x轴的负半轴上，，点A为线段上一点，轴，垂足为点B，轴，垂足为点C．    (1)求直线的表达式； (2)若点A的横坐标为，求四边形的面积． 21．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． (1)求一次函数的解析式； (2)求C点的坐标； (3)求的面积； (4)直接写出不等式的解集 ． 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过，． （1）则该一次函数的解析式为 ； （2）若直线与线段有公共点，则的取值范围为 ． 2．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 3．一次函数与的图象如图，则下列结论： ①；②；③关于x的方程的解是；④当时，中．则正确的序号有 ． 4．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）定义运算：当时，；当时，；如：；；根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出的x取值范围是__________； (3)若，求x的取值范围． 5．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴与轴于点，，，与直线交于点．    (1)求的表达式； (2)求的表达式及点的坐标； (3)点为直线上一点，其横坐标为，过点作轴于点，与直线交于点，，求点的坐标． 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）小明和小华家在同一小区，周末两人从小区同时出发去广场．已知小华匀速步行前往，小明先以150米/分的速度骑自行车前往，中间休息了20分钟后再重新以另一速度骑行到达广场．如图是两人与小区的距离y（米）关于出发时间x（分）之间的函数图象． (1)_________，_________； (2)求小明和小华第二次相遇时，与广场之间的距离； (3)小明重新出发后，再骑行多长时间与小华相距300米？ 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）已知：甲乙两车分别从相距千米的、两地同时出发相向而行，其中甲到达地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)求甲车离出发地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系式； (2)若已知乙车行驶的速度是千米/小时，求出发后多长时间，两车离各自出发地的距离相等； (3)在上述条件下，求出它们在行驶过程中相遇时的时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2 一次函数 课程标准 学习目标 1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 2.能画一次函效的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索井理解k>0和k <0时图象的变化情况。 3.理解正比例函数与一次函数关系 4.体会一次函数与二元一次方程的关系。 5.能用一次函数解决简单实际问题。 ①理解次函数和正比例函数的概念及其关系； ②会正确画出一次函数的图象，掌握握一次函数的图象和性质，能从一次函数的图象中获取所需要的信息； ③能够熟练地运用待定系数法确定一次函数的表达式 ④理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系； ⑤能够运用一次函数解决简单的实际问题； ⑥理解函数的概念，初步掌握学习函数的基本方法。 编排说明：本节内容共计6个课时，知识点顺序即课时顺序 知识点01 一次函数的概念 ·一次函数 一般地，形如y=kx+b（k，ｂ为常数，且k ≠０）的函数叫做一次函数． ·正比例函数 形如y=kx（k为常数，且k ≠０）的函数叫做正比例函数 【即学即练1】（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，y是x的正比例函数，故A符合题意； B、，y不是x的正比例函数，故B不符合题意； C、，y不是x的正比例函数，故C不符合题意； D、，y不是x的正比例函数，故D不符合题意． 故选：A． 【即学即练2】（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若函数是关于x的一次函数，则m的值为（    ） A．1或 B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：函数是一次函数， ， ， 故选：C． 知识点02 正比例函数的图象 y=kx（k ≠０） k>0 k<0 函数图象 过原点（0，0） 【即学即练3】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）同一坐标系中，正比例函数，，，的图象如图所示，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数，图象经过二、四象限， ∴，， ∵比的图象陡些， ∴， ∴， ∵正比例函数，图象经过一、三象限， ∴，， ∵比的图象陡些， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 知识点03 正比例函数的性质 一般地，正比例函数y=kx（k为常数，且k ≠０）有下列性质： 当k＞０时，ｙ随ｘ的增大而增大（图象是自左向右上升的）； 当k＜０时，ｙ随ｘ的增大而减小（图象是自左向右下降的）． 【即学即练4】（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，不符合题意； B、当时，，图象不经过点，不符合题意； C、，图象经过第一、三象限，符合题意； D、，y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：C． 【即学即练5】已知点，都在正比例函数的图象上，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵点，都在正比例函数的图像上，且， ∴， 故选：C． 知识点04 一次函数的图象 y=kx+b（ｋ≠０） k>0 k<0 b>0 b<0 b>0 b<0 函数图象 直线y=kx+b ·直线y=kx+b与ｙ轴相交于点（０，ｂ），ｂ叫做直线y=kx+b在ｙ轴上的截距，简称截距． 【即学即练6】在平面直角坐标系中， 已知点在直线上， 则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】解：由题意，将点代入直线得：， 则， ∴ 故选：C． 【即学即练7】在平面直角坐标系中画出一次函数的图象． 【答案】见详解 【详解】解：另，则， 另，则， 解得：， 故一次函数的图象如下： 【即学即练8】（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：一次函数中，令，则；令，则， ∴一次函数的图象经过点和， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 故选：C． 【即学即练9】如果直线经过第一、三、四象限，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴，， 故选：B． 知识点05 一次函数图象的平移 ·一次函数y=kx+b图象与y=kx的关系：直线y=kx+b与直线y=kx平行 直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移｜ｂ｜个单位长度而得到： 当ｂ＞０时，向上平移；ｂ＜０时，向下平移． y=kx+b (b<0) y=kx y=kx+b (b>0) 【即学即练10】（22-23八年级上·江苏常州·期末）直线向上平移1个单位，所得直线的解析式是 ． 【答案】 【详解】解：直线向上平移1个单位所得的直线解析式是． 故答案为：． 【即学即练11】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知函数 (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：一次函数图象经过原点， ∴，解得，， ∴． （2）解：函数的图象与函数的图象平行于直线， ∴，解得，． 知识点06 一次函数的性质 一般地，一次函数y=kx+b（k，ｂ为常数，且k ≠０）有下列性质： 当k＞０时，y随x的增大而增大（图象是自左向右上升的）； 当k＜０时，y随x的增大而减小（图象是自左向右下降的） 【即学即练12】（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 【答案】A 【详解】解：当时，， ∴点 在图象上，故选项正确； ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项错误； ∵， ∴的值随的增大而增大， ∵， ∴，故选项错误； 把代入得，， ∴图象与轴的交点坐标为，故选项错误； 故选：． 知识点07 待定系数法求一次函数解析式 先设所求的一次函数表达式为y=kx+b（ｋ，ｂ是待确定的系数），再根据已知条件列出关于ｋ、b的方程组，求得k、b的值． 这种确定表达式中系数的方法，叫做待定系数法 【即学即练12】一个正比例函数（，且k为常数）的图象经过点． (1)求正比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵正比例函数且是常数的图象经过点， ， ， ∴正比例函数解析式为； （2）解：当时，． 【即学即练13】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数图像经过点和点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点P是该函数图像与x轴的交点，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标 【详解】（1）解：设这个函数的解析式为， 则，解得， ∴这个一次函数的解析式为． （2）解：∵当时，，解得， ∴点的坐标． 【即学即练14】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点是该函数图象上的一点，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，设， ∵当时，， ∴， ∴， 即， 整理得与之间的函数关系式为：； （2）解：∵点是函数图象上的一点， ∴， ∴． 知识点08 分段函数 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数：用括号“y={”表示分段函数的解析式，每个分段函数解析式后需要标明自变量的取值范围。 【即学即练15】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）某商店销售一种产品，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围． 【答案】 【详解】解：设直线的函数关系式为， 将代入， 得：， 解得：． 直线的函数关系式为． 设直线的函数关系式为， ∵线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件． ∴第25天的日销量是325件 故直线经过点 将、代入， ， 解得：， 直线的函数关系式为． 联立两函数解析式成方程组， ， 解得：， 点的坐标为． 与之间的函数关系式为． 知识点09 一次函数与一元一次方程的关系 ·解一元一次方程kx+b=0，都可转化为求一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠０）中y=0时的x值． 从图象上看，就是求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标． ·解一元一次方程k 1x+b1＝k 2 x+b 2，可转化为求直线y＝k 1 x+b 1与直线y= k 2 x+b 2的交点的横坐标． 【即学即练16】（23-24八年级下·海南海口·期末）若直线与x轴交于点，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线与x轴交于点， ∴当时，， ∴方程的解是． 故选：B 【即学即练17】（23-24八年级下·河南南阳·期中）一次函数的图象如图，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：直线过点， ∴当时，， ∴方程的解为； 故选D． 知识点10 一次函数与一元一次不等式的关系 ·解一元一次不等式kx+b＞０（或kx+b＜０），就是求使一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠０）取正值（或负值）时x的取值范围，从图象看，就是求直线y=kx+b在x轴上方（下方）部分的x的范围． ·kx+b＞a（或kx+b＜a）：从图象看，表示直线y=kx+b在直线y=a上方（下方）的x的范围。 ·k 1x+b1>k 2 x+b 2（或k 1x+b1<k 2 x+b 2）：从图象看，表示直线y=k 1x+b1在直线y＝k 2 x+b 2上方（下方）部分的x的范围。 【即学即练18】（23-24八年级下·吉林长春·期末）若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 【答案】B 【详解】解：A. 关于x不等式的解集是，原说法错误； B. 关于x的不等式的解集是，原说法正确； C. 关于x的方程的解是，原说法错误； D. 当时，一次函数值y的取值范围是； 故选B． ·根据平移方式求平移前后的直线的函数解析式：左加右减、上加下减。 表示平移后的解析式： 向上平移a个单位：。例：正比例函数（）向上平移个单位长度： 向下平移a个单位：。例：正比例函数（）向上平移个单位长度： 向左平移a个单位：。例：正比例函数（）向上平移个单位长度： 向右平移a个单位：。例：正比例函数（）向上平移个单位长度： ·求实际问题中的分段函数表达式 ①先根据信息（表格、图象等）对自变量x的范围进行分类讨论； ②根据不同的自变量的范围，用待定系数法或等量关系求出对应的一次函数解析式； ③将几个函数解析式写成分段函数的形式。 例题：参考题型九 【题型一：根据一次函数的定义求参数】 例1．（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 变式1-1.（23-24八年级下·吉林白城·期末）已知函数是正比例函数，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是正比例函数， ∴且． 解得：． 故答案为：． 变式1-2.（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为 ． 【答案】2 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得， 图象经过第一、三象限， ， ， ． 故答案为：2． 【方法技巧与总结】 此类问题，先根据自变量的次数为1列方程求解，再根据自变量系数不为0，确定参数的值。 【题型二：一次函数的定点】 例2．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）已知一次函数，无论k取任意实数，则该一次函数的图象必经过点 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当，即：时，， ∴该一次函数的图象必经过点； 故答案为：． 【方法技巧与总结】 先对式子中的参数进行合并同类项，再根据一次函数的结构求定点： ①一次函数y=k（x-x0）的定点为(x0，0)；②一次函数y=k（x-x0）+y0的定点为(x0，y0)。 【题型三：判断一次函数的图象】 例3．已知方程的解是，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：A． 变式3-1．已知一次函数和．若，，则下列图象正确的是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】∵， ∴一次函数和中，k值相等，即两直线平行， ∵， ∴一次函数和中，与y轴的交点一正一负， A选项符合题意， 故选：A． 变式3-2.函数和在同一坐标系中的图像大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数的图象与y轴交于负半轴，且从左往右上升，故A选项错误，B选项正确； 若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故D选项错误；而C选项不合题意． 故选：B． 【方法技巧与总结】 判断一次函数和正比例函数的图象关键是数形结合． ·一次函数图象与系数的关系：根据系数的正负判断图象的所在的象限 或与坐标轴交点的位置 ※两个一次函数的图象位置：k值相同，两直线平行；k值乘积为-1，两直线垂直； 【题型四：已知函数的图象特点求参数范围】 例4.（23-24八年级下·四川成都·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】D 【详解】解：由图知，过一、二、四象限， ， 故选项A不正确，不符合题意； 由图知，，， ， 故选项B不正确，不符合题意； 由图知，当时，， 故选项C不正确，不符合题意； 由图知，与的交点横坐标为， 的解为， 成立， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 变式4-1．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③：④方程的解是，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】∵一次函数＝经过第一、二、四象限， ∴，，故①③正确； ∵直线＝的图象与轴的交点在轴下方， ∴，故②错误； ∵一次函数＝与＝的图象的交点横坐标为3， ∴当时，＝，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 故选：C． 变式4-2．已知函数． (1)若函数图象与x轴交于点，求m的值； (2)若函数图象平行于直线，求m的值； (3)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵函数图象与x轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：∵函数图象平行于直线， ∴， 解得：； （3）解：∵该函数图象不经过第二象限， ∴，， 解得：． 【方法技巧与总结】①根据一次函数图象所过象限，判断k、b的范围；②根据直线与x轴的交点判断kx+b=0的解；③根据两直线的平行：得出k值相同；④根据两直线ｙ＝ｋ1ｘ＋ｂ1和y=ｋ2ｘ＋ｂ2相交于点(x0,y0)：方程ｋ1ｘ＋ｂ1＝ｋ2ｘ＋ｂ2的解为x=x0． 【题型五：利用一次函数的增减性比较函数值的大小】 例5．已知一次函数图象上两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴随的增大而增大 又∵都在一次函数图象上，且， ∴， 故选：C． 变式5-1．已知点和点是正比例函数图象上的两点，则m与n较大的是 ． 【答案】m 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， 又∵点和点是正比例函数图象上的两点，且， ∴， ∴与较大的是， 故答案为：． 变式5-2.（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若点，都在正比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵正比例函数，， ∴y随x的增大而减小， ∴点，都在正比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 【方法技巧与总结】 给出一次函数y=kx+b上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，且x1<x2，比较y1和y2的大小： k>0时，y1<y2 ；k<0时，y1>y2 . 【题型六：根据一次函数增减性求参数】 例6．（23-24八年级下·四川成都·期末）当时，一次函数有最大值，则实数的值为（    ） A．1 B．1或 C．2 D．2或 【答案】D 【详解】解：∵一次函数中，， ∴该函数随的增大而减小， ∵当时，一次函数有最大值， ∴当时，， 解得：， 故选：D． 变式6-1.若一次函数的函数值y随着自变量x的增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着自变量x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：B． 变式6-2.（23-24八年级下·福建福州·期中）已知点，在一次函数的图象上，当时，有，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的图象性质：当，y随x增大而增大；当时，y将随x的增大而减小，熟悉相关性质是解题的关键．先根据当时，有，得到y随x的增大而减小，所以的比例系数小于0，即可求解． 【详解】解：当，即， ，即， ∴一次函数随着x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 【方法技巧与总结】 ①当时，有，得到y随x的增大而减小，所以的比例系数k<0；当时，有，得到y随x的增大而增大，所以的比例系数k>0。 ②k>0时，自变量x取最大值时，函数值y就取最大值；k<0时，自变量x取最小值时，函数值y就取最大值。 【题型七：由直线、坐标轴的交点求不等式的解集】 例7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论： ①方程的解在和0之间； ②关于x的不等式的解集为； ③； ④关于x的不等式的解集为时，． 其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，画出图象，利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据图象可对①②③进行判断；把，代入，得，解得：，则不等式化为，即可得，再根据不等式的解集为，可得，求解，即可对④进行判断． 【详解】解：如图， 直线、是常数，经过、两点，其中， 直线与轴的交点横坐标在和0之间，故①正确； 由图象可得关于x的不等式的解集为，故②正确； 由图象可知：的图象比的图象平缓， ∴，故③错误； 把，代入，得 ，解得：， 不等式化为， ∵的解集为 ∴ ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 变式7-1.（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察分析函数图象是解题的关键． 首先求出，，得到当时，，观察函数图象得到，当时，的图象都在的图象的上方，且，由此即可得到不等式组的解集． 【详解】解：将代入得， 解得 ∴ ∴将代入得， 解得 ∴ ∴当时，， 当时，的图象都在的图象的上方，且 ∴关于x的不等式组的解集为． 故选：D． 变式7-2.（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． (1)求m的值和直线的解析式； (2)若点在直线上，当时，求的最大值； (3)若点在直线上，当时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）由点在直线上，先求解A的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）将直线解析式整理为：，再建立不等式组求解即可； （3）由点在直线上，可得，再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为． （2）将直线解析式整理为：， ∵即， 解得， ∴的最大值是． （3）∵点在直线上， ∴， 当时，， ∴． 【题型八：直线与坐标轴所围成的图形的面积】 例8．已知一次函数与一次函数的图象的交点坐标为，求这两个一次函数的解析式及两直线与y轴围成的三角形的面积． 【答案】两个一次函数的解析式∶，；两直线与轴围成的三角形的面积为4． 【详解】两个函数图象的交点坐标为， ∴ ，， 解得∶，， ∴两个一次函数的解析式分别为，； 在中令，则；在中令，则； 两个一次函数与轴的交点坐标分别为和， 两直线与y轴围成的三角形面积为． 变式8-1.（23-24八年级上·安徽滁州·期末）直线经过第一、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形面积为9，求b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据平方根的定义解方程．根据题意得出，求出该直线与x轴交点为，与y轴交点为，则，根据三角形的面积公式，列出方程求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， 令直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（舍去）或， 综上：． 变式8-2.如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将的坐标代入求出的值，进而得出直线的解析式，再求出点的坐标，最后利用待定系数法计算即可得出解析式； （2）先求出，再由计算即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，令，则，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 变式8-3.（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，已知一次函数的图象经过，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若为轴上一点，且的面积为6，求点的坐． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）设点坐标为，根据三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）设一次函数的解析式为， 把点，分别代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）设点坐标为， 的面积为6， ， 即 解得或， 或． 【方法技巧与总结】①待定系数法求直线解析式；②令y=0（x=0）求直线与x轴（y轴）的交点坐标；③割补法求三角形或四边形的面积。 【题型九：分段函数的应用——根据图象信息解决问题】 例9.（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）甲、乙两个蓝莓采摘园为吸引顾客，在蓝莓单价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买元门票，采摘的蓝莓全部打六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘的蓝莓不超过的按原价收费，超过时，超过的部分打折优惠，若某顾客的蓝莓采摘量为x（千克），在甲、乙两园采摘的总费用分别为（元），（元），y与x之间的函数图象如图所示． (1)求乙采摘园蓝莓优惠前的销售单价； (2)分别求出和时关于x的函数关系式； (3)当顾客购买蓝莓时，在哪家采摘园采摘更省钱？能省下多少钱？请你通过计算说明． 【答案】(1)元/千克 (2)； (3)甲采摘园更便宜，能省下元 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，一次函数解析式等知识．熟练掌握函数图象，一次函数的应用，一次函数解析式是解题的关键． （1）由图象可知，乙园顾客免门票，可知乙采摘园优惠前的蓝莓单价是，计算求解即可； （2）由两家蓝莓价格相同，可知甲采摘园蓝莓优惠前的销售价格也为元/千克，则打六折优惠后的销售价格为（元/千克），进而可得甲函数的表达式为：；当时，设，将和代入，可求，进而可得乙的表达式． （3）当时，（元），（元），（元），然后作答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙园顾客免门票， ∵， ∴乙采摘园优惠前的蓝莓单价是元/千克． （2）解：∵两家蓝莓价格相同， ∴甲采摘园蓝莓优惠前的销售价格也为元/千克， 打六折优惠后的销售价格为（元/千克）， ∴甲函数的表达式为：； 当时，设， 将和代入得，， 解得，， ∴乙的表达式为． （3）解：当时，（元），（元）， ∵（元）， ∴甲采摘园更便宜，能省下元． 变式9-1.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）某工厂同时生产甲、乙两种零件，已知每生产一个甲种零件可获得利润260元，每生产一个乙种零件可获得利润150元，工作2天后为了提高生产效率，现引进新的生产技术，对生产乙种零件的生产工人进行了新技术的培训同时停产一天，新技术培训后生产效率是之前的2倍．甲、乙生产线各自生产的零件个数y（件）与生产时间x（天）的函数关系如图所示． (1)求生产甲种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式； (2)求新技术培训后生产乙种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式； (3)该工厂前7天的总利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，熟练运用待定系数法求函数的关系式是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出乙当时对应x的值，再利用待定系数法求解即可； （3）该工厂前7天的总利润=前7天生产甲种零件的利润+前7天生产乙种零件的利润，据列代数式计算即可． 【详解】（1）解：设生产甲种零件的个数y与工作时间x的函数关系式为（为常数，且）． 将代入， 得， 解得， ∴． （2）解：新技术培训前的生产效率是（件/天），新技术培训后的生产效率是（件/天）， （天），（天）． 设新技术培训后生产乙种零件的个数y与工作时间x的函数关系式为（、b为常数，且）． 将和 代入， 得， 解得， ∴． （3）解：前7天生产甲种零件的利润为（元）， 生产乙种零件的利润为（元）， （元）， ∴该工厂前7天的总利润是元． 变式9-2.（23-24八年级上·安徽六安·期末）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以80千米/小时的速度匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是________千米，________； (2)求货车返回时的速度； (3)在整个运输途中，巡逻车与货车何时相遇？ 【答案】(1)60，1； (2)； (3)小时或小时． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用路程除以时间即可求解； （3）分两车从A前往B途中和货车从B往A途中，两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 故答案为：60，1； （2）解：， 答：货车返回时的速度为； （3）解：由题意得，巡逻车的速度为：， 则点，点， 设巡逻车对应的函数表达式为：， ∴， 解得， ∴巡逻车对应的函数表达式为：； 点，点，点， 同理求得线段所在直线的函数解析式为， 货车对应的函数表达式为：， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：巡逻车与货车相遇时间为小时或小时． 【方法技巧与总结】一次函数的分段函数图象信息问题： 一、选择题 1．下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是的一次函数，所以A选项不符合题意； B．是的二次函数，所以B选项不符合题意； C．是的反比例函数，所以C选项不符合题意； D．是的正比例函数，所以D选项符合题意． 故选：D． 2.关于正比例函数，下列说法正确的是（　　） A．随的增大而增大 B．图象是经过第一、第二象限的一条直线 C．图象向上平移1个单位长度后得到直线 D．点在其图象上 【答案】C 【详解】解：A、，随的增大而减小，不符合题意； B、图象是经过第二、第四象限的一条直线，不符合题意； C、图象向上平移1个单位长度后得到直线，符合题意； D、当时，，所以点不在其图象上，不符合题意； 故选：C． 3．已知点，都在正比例函数的图象上，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵点，都在正比例函数的图像上，且， ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，常数k和b互为相反数，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（          ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、第三象限， ∴， ∵常数k和b互为相反数， ∴， ∴一次函数在平面直角坐标系中的图象在第一、三、四象限， 故选：D． 5．若一次函数的函数值y随着自变量x的增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着自变量x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：B． 6.已知点，在一次函数的图象上，则，，0的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∵． 故选：D． 7．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 8．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图，直线与直线的交点在第二象限．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图象可知，，的正负不确定， ∴，，， ∴A，C，D正确，B不一定正确． 故选B． 9．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，设一次函数解析式为， 把代入得，， 解得，， 一次函数的解析式为：． 故选：C． 10．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线经过两点，函数图象y随x的增大而增大， ∴的解集是， 故选：A． 二、填空题 11．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移2个单位长度，平移后的图象与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为． 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【详解】解：函数是一次函数， ， ， ， 故答案为：． 13．若一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为：． 14．已知点和点是一次函数图象上的两点，则a与b的大小关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为． 15．（23-24八年级下·青海海东·期末）已知一次函数（是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 0 2 4 6 则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：根据图表可得：当时，，即时，， 因而方程的解是． 故答案为：． 三、解答题 16．（23-24八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，用描点法画出一次函数的图象． 【答案】见详解 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，， 当时，， 画一次函数图像如下： 17．已知正比例函数图象过点且点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】9 【详解】解：设该函数的解析式为， 将代入可得，解得， 与x之间的函数关系式为； ∴把代入中，得：，解得， ∴a的值为9． 18．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）已知正比例函数与的交点到轴的距离为1，求正比例函数的解析式． 【答案】或 【详解】根据题意，得 解得， ∴， ∵交点到轴的距离为1， ∴， 故或， 解得或， 经检验，两个解不是原方程的增根， 故正比例函数解析式为或． 19．一次函数（k为常数，且），经过点． (1)求k的值； (2)画出的图象； (3)正比例函数的图象如图所示，若该图象与的图象交于点A，请直接写出当时自变量x的取值范围： ． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴； （2）解：由（1）得一次函数的解析式为， 函数图象如下所示： （3）解：联立，解得， ∴， 由函数图象可知，当一次函数图象在正比例函数图象上方或二者交点处时，自变量的取值范围为， ∴当时自变量x的取值范围为， 故答案为：． 20．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，点，点M在x轴的负半轴上，，点A为线段上一点，轴，垂足为点B，轴，垂足为点C．    (1)求直线的表达式； (2)若点A的横坐标为，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)3． 【详解】（1）∵点，， ∴． ∵点M在x轴的负半轴上， ∴点M的坐标为． 设直线的表达式为，把点，代入，得 ∴ 解得 ∴直线的表达式为． （2）当时，代入，得， ∴点A的坐标为． ∵轴，垂足为点B，轴，垂足为点C， ∴四边形的面积为． 21．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． (1)求一次函数的解析式； (2)求C点的坐标； (3)求的面积； (4)直接写出不等式的解集 ． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【详解】（1）把代入得， 解得，则， 把，代入 得， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）当时，， ∴； （3）当时，， 解得， ∴， ∴的面积； （4）由图象可得，当时，， ∴不等式的解集为． 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过，． （1）则该一次函数的解析式为 ； （2）若直线与线段有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【详解】解：（1）设一次函数的解析式为， 将，两点坐标代入函数式得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）若直线经过点， 此时，此时， 若直线经过点， 此时， ∴若直线与线段有公共点，则的取值范围为或． 故答案为：，或． 2．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】解：将点代入，可得， ∴点A的坐标为， 将点A坐标代入，可得， ∴， 令可得，，即与x轴的交点为， ∴的解集为． 故答案为：． 3．一次函数与的图象如图，则下列结论： ①；②；③关于x的方程的解是；④当时，中．则正确的序号有 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的图象和性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴，，所以①正确； ∵直线的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴，所以②错误； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴时，，，所以③正确； 当时，的图像在图像的上方， ∴，所以④错误． 故答案为①③． 4．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）定义运算：当时，；当时，；如：；；根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出的x取值范围是__________； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)，x (2)； (3)． 【分析】本题是两直线相交问题，考查了新定义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，能够求得交点坐标并理解新定义的含义是解决本题的关键． （1）根据，的定义，即可求解； （2）根据，的定义，即可求解； （3）根据图象，结合，的定义即可． 【详解】（1）根据定义，得， 当时，， 故答案为：，x； （2）∵， 根据图象，可得x的取值范围：． 故答案为：． （3）∵， ∴， 解得x≥1． ∴x的取值范围是：． 5．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴与轴于点，，，与直线交于点．    (1)求的表达式； (2)求的表达式及点的坐标； (3)点为直线上一点，其横坐标为，过点作轴于点，与直线交于点，，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)；点坐标为； (3)． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， ∴， ∴． （2）解：， ，把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴点坐标为． （3）解：点横坐标为，点在上， ∴点坐标为， 点在上， ∴点坐标为， ∴， ， ， ∴， ∴， 当时 ∴点坐标为． 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限， ， 由图象可知一次函数的图象经过一、三、四象限， ， ，故①正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点，的坐标为， 即的一组解是， 故②正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点的坐标为， 关于x的不等式的解集是，故③正确，符合题意； 直线与和的交点的纵坐标分别为和，距离为， 直线与的交点的坐标为， 两直线与y轴围成的三角形的面积是，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的为①②③， 故选：C． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）小明和小华家在同一小区，周末两人从小区同时出发去广场．已知小华匀速步行前往，小明先以150米/分的速度骑自行车前往，中间休息了20分钟后再重新以另一速度骑行到达广场．如图是两人与小区的距离y（米）关于出发时间x（分）之间的函数图象． (1)_________，_________； (2)求小明和小华第二次相遇时，与广场之间的距离； (3)小明重新出发后，再骑行多长时间与小华相距300米？ 【答案】(1)2400，36 (2)第二次相遇时，两人与广场之间距离为800米 (3)小明重新出发后，再骑行1.5分钟或6.5分钟与小华相距300米 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据距离速度时间计算a，然后根据行驶时间与休息时间的和求出b值即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分为相遇前和相遇后相距 米列方程解题即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由(1)可知，点，点 ， 所以小明重新出发后的速度为(米/分钟)， 设段所对应的函数表达式为，将点代入，得， 所以， 因为点， 所以小华步行速度为(米/分钟)， 所以段所对应的函数表达式为， 令，解得， 所以此时与广场的距离为(米)； （3）解：在两人相遇前相距 米时， ， 解得， (分钟)， 在两人相遇后相距米时， ， 解得, (分钟), 综上所述，小林重新出发后，再骑行分钟或分钟与小双相距米． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）已知：甲乙两车分别从相距千米的、两地同时出发相向而行，其中甲到达地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)求甲车离出发地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系式； (2)若已知乙车行驶的速度是千米/小时，求出发后多长时间，两车离各自出发地的距离相等； (3)在上述条件下，求出它们在行驶过程中相遇时的时间． 【答案】(1) (2)出发后小时，两车离各自出发地的距离相等 (3)两车第一次相遇时间为第小时，第二次相遇时间为第6小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用； （1）由图知，该函数关系在不同的时间里表现成不同的关系，需分段表达．当行驶时间小于3时是正比例函数；当行驶时间大于3小时小于小时是一次函数．可根据待定系数法列方程，求函数关系式． （2）设出发后小时，两车离各自出发地的距离相等，列出方程即可解决问题； （3）两者相向而行，相遇时甲、乙两车行驶的距离之和为千米，列出方程解答，由题意有两次相遇． 【详解】（1）当时，是正比例函数，设为， 时，，代入解得，所以； 当时，是一次函数，设为， 代入两点、，得 解得， 所以． 综合以上得甲车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式为： （2）设出发后小时，两车离各自出发地的距离相等． 由题意， 解得， 答：出发后小时，两车离各自出发地的距离相等． （3）由题意有两次相遇． ①当，，解得； ②当时，，解得． 综上所述，两车第一次相遇时间为第小时，第二次相遇时间为第小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$