数列求和课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第六章 §6.5　数列求和 课标要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法. 数列求和的几种常用方法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式：Sn＝ ＝ . ②等比数列的前n项和公式： Sn＝ na1，q＝1， ＝ ，q≠1. 知识梳理 3 (2)分组求和法与并项求和法 ①分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.幻灯片 7 ②并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.幻灯片 8 知识梳理 (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.幻灯片 9 (4)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.幻灯片 10 知识梳理 常见的裂项技巧 幻灯片 10 知识梳理 例1　已知数列{an}的通项公式为，求其前n项和Sn. 解：Sn=++ 幻灯片 4 跟踪训练 例2 数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝_____. S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17 ＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1×8＝9. 9 幻灯片 4 例3　已知数列{an}满足an＝，求数列{an}的前n项和Sn. 幻灯片 5 解：Sn=1×21 +2×22+3×23+…＋+，① 2Sn=1×22 +2×23+3×24+…＋+，② ①②得 Sn=1×21 +22+23+…＋， 所以Sn= 跟踪训练 例4　已知数列{an}满足，求数列{an}的前n项和Sn. 解： Sn=++ 裂项 幻灯片 5 跟踪训练 1.已知等差数列{an}的首项为1，Sn是数列{an}的前n项和，且S11＝66. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝＋2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 跟踪训练　 解：(1)设{an}的公差为d， 解得d＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n. 幻灯片 4 由(1)知bn＝＋2an＝3n＋2n. 所以Tn＝(3＋2)＋(32＋4)＋…＋(3n＋2n)， 所以Tn＝3＋32＋…＋3n＋2＋4＋…＋2n， (2)若bn＝＋2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 1　已知等比数列{an}满足a1＝1，a4＝8. (1)求数列{an}的通项公式； 解：(1)因为q3= =8，所以q=2，故an＝a1qn-1＝2n－1，n∈N*. (2)设bn＝an＋log2(an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. (2)bn＝an＋log2(an＋1) ＝2n－1＋log2(2n) ＝2n－1＋n， 所以数列{bn}的前n项和Tn＝(20＋1)+(21＋2)+(22＋3)+…＋(2n－1＋n) =(20＋21＋22＋…＋2n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n) = 跟踪训练　 √ 跟踪训练 幻灯片 5 跟踪训练 √ 幻灯片 5 ① ② (1)分组求和法常见题型 ①若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. ②若数列{cn}的通项公式为cn＝ 其中数列{an}，{bn}是 等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和. 思维升华 (2)并项求和法常见题型 ①数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和. ②数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和. 思维升华 错位相减法 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法. (2)错位相减法求和时，应注意： ①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. ②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1. 思维升华 裂项相消法的原则及规律 (1)裂项原则 一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. (2)消项规律 消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项. 思维升华 题型二　错位相减法求和 例2　(12分)(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； [切入点：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)找出an的递推关系] [思路分析] (1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)→an与an－1的递推关系→累乘法求an (2)求bn→错位相减法求Tn 答题模板　规范答题不丢分 解　(1)因为2Sn＝nan， 当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0；(1分) 当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2，(2分) (3分) ①处利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)找an与an－1的递推关系 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1， 所以2Sn－2Sn－1＝nan－(n－1)an－1＝2an， 化简得(n－2)an＝(n－1)an－1， 则当n≥3时， ②处累乘法求an 因为a2＝1，所以an＝n－1，(5分) 当n＝1,2时都满足上式，所以an＝n－1，n∈N*.(6分) ③处错位相减法求和 题型三　裂项相消法求和 4.(2023·邢台模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1－2，等差数列{bn}满足b2＝a2＋2，b3＝S2＋3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n， 当n＝1时，上式也成立，所以an＝2n. 由题意得b2＝a2＋2＝22＋2＝6，b3＝2＋4＋3＝9， 设等差数列{bn}的公差为d， 则d＝b3－b2＝3，b1＝b2－d＝3， 故bn＝b1＋(n－1)d＝3n. 综上，an＝2n，bn＝3n. 由(1)知anbn＝3n·2n， 所以Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn ＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3(n－1)·2n－1＋3n·2n， ① 2Tn＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3(n－1)·2n＋3n·2n＋1， ② 所以Tn＝(3n－3)·2n＋1＋6. (2)求数列{anbn}的前n项和Tn. na1＋d ③＝ . ④＝ . － ⑤＝. ①＝ . － ②＝ . 因为S11＝66，a1＝1，所以11＋×d＝66， 所以Tn＝＋＝＋n2＋n， 所以Tn＝. 2.数列{an}的前n项和为Sn.若an＝，则S5等于 A.1　　　B.　　　C.　　　D. 因为an＝＝－，所以S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝. 3.(选择性必修第二册P40T3改编)Sn＝＋＋＋…＋等于 A. B. C. D. 由Sn＝＋＋＋…＋， 得Sn＝＋＋…＋＋， ①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－＝，∴Sn＝. (2)求数列的前n项和Tn.[关键点：错位相减法求和] ＝，则··…·＝ ··…·，即＝n－1， (2)令bn＝＝，(7分) 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋，①(8分) Tn＝＋＋…＋＋， ②(9分) 由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－ ＝－＝1－，(11分) 即Tn＝2－.(12分) 例3　(2022·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列. (1)求{an}的通项公式； 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 因为a1＝1，＝1， 又是公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×＝， 所以Sn＝an. 又a1＝1也满足上式，所以an＝(n∈N*). 所以an－1＝an(n≥2)， 所以＝(n≥2)， 所以··…··＝×××…··＝(n≥2)， 所以an＝(n≥2)， ＝2＝2<2. (2)证明：＋＋…＋<2. 因为an＝， 所以＝＝2， 所以＋＋…＋ 所以①－②得，－Tn＝3×(21＋22＋23＋…＋2n－1＋2n)－3n·2n＋1＝3×－3n·2n＋1＝(3－3n)·2n＋1－6， $$