18.7 应用举例（应用题型提分练）数学北京版九年级上册

18.7应用举例 同步练习 题型 相似三角形的应用 1．如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙1.2m，BD长0.5m，则梯子的长为（　　） A．3.5m B．3.85m C．4m D．4.2m 【答案】A 【分析】有条件△ADE∽△ABC，可得相似三角形对应边成比例，解答即可． 【详解】解：∵△ADE∽△ABC， ∴AD：AB＝DE：BC， ∴（AB﹣0.5）：AB＝1.2：1.4， ∴AB＝3.5m． ∴梯子AB的长为3.5m． 故选：A． 2．志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（　　） A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元 【答案】C 【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案． 【详解】解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元， ∴每平方厘米的广告费为：180÷50元， ∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×151620元 故选：C． 3．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（　　） A．10m B．12m C．15m D．40m 【答案】C 【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解． 【详解】解：设旗杆高度为x米， 由题意得，， 解得：x＝15． 故选：C． 4．太阳光照射下的某一时刻，1.5m高的竹竿影长2.5m，那么影长为30m的旗杆的高是（　　） A．20m B．18m C．16m D．15m 【答案】B 【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以竹竿高与其影子长的比值等于旗杆高与其影子长的比值． 【详解】解：设旗杆高为x，根据同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的得 ∴x18 ∴旗杆高为18m 故选：B． 5．如图有一块四边形草地ABCD，AD∥BC，其中AB＝4，BC＝5，由于连续降雨使AD间积满污水，现在BA、CD的延长线的交点P处测得PA＝3，则AD的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD中，AD∥BC， ∴△PAD∽△PBC， ∴PA：PB＝AD：BC， ∵PA＝3，AB＝4，BC＝5， ∴3：7＝AD：5， 解得：AD， 故选：C． 6．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（　　） A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米 【答案】B 【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD． 【详解】解：由题意知：AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴解得CD＝3， ∴水面以上深度CD为3米． 故选：B． 7．如图，利用标杆测量楼高，已知AB＝180m，标杆CD＝240m，BD＝30m，DF＝420m，则楼高EF＝　1080m　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意过点A作AM⊥EF，垂足为M，交DC于点N，得出△ANC∽△AME，进而求出EM的长，进而得出答案． 【详解】解：过点A作AM⊥EF，垂足为M，交DC于点N， ∵AB＝180m，CD＝240m，BD＝30m，DF＝420m， ∴CN＝240﹣180＝60（m），AN＝BD＝30m，DF＝MN＝420m， ∵DC∥EF， ∴△ANC∽△AME， ∴， 即， 解得：ME＝900， 故EF＝ME+MF＝900+180＝1080（m）． 故答案为：1080m． 8．某人身高1.7米，某一时刻影长2米，同时一棵树影长为10米，则此树高　8.5　米． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据同时同地物高与影长的比相等列出比例式，然后求解即可． 【详解】解：设此树高x米， 根据题意得，， 解得x＝8.5米． 故答案为：8.5． 9．已知一直立的电线杆在地面上的影长为28m，同时，高为1.4m的测竿在地面上的影长为2.8m，由此可知该电线杆的长为　14　m． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意知道，物体的长度和它影子长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可． 【详解】解：设电线杆的高是x米． 1.4：2.8＝x：28， 解得：x＝14． 故答案为：14． 10．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为　12　m． 【答案】见试题解答内容 【分析】如图，BC＝2m，CE＝16m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长． 【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝16m，AB＝1.5m， 由题意得∠ACB＝∠DCE， ∵∠ABC＝∠DEC， ∴△ACB∽△DCE， ∴，即， ∴DE＝12． 即旗杆的高度为12m． 11．如图，在宽为40米的一条绿化带上开一条路，数据如图所示，求这条路的宽度． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据勾股定理求出DF的长度，然后借助平行四边形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：设这条路的宽为x； 由勾股定理得：DF2＝DC2+FC2＝402+302， ∴DF＝50； ∵S四边形EFDH＝EF•DC＝DF•x， ∴x（m）． 即这条路的宽度为8m． 12．九（1）班的同学到郊外展开活动，在土坡旁看见一棵古树，班上同学很想知道古树AB的高．小王拿尺子量得古树在地面上的影子BC＝8米，在斜坡上面的影子CD＝6米，测得斜坡CD与地面成∠DCE＝30°，同一时刻小李量的1.5米的旗杆在地上面的影子长是2米．请你根据以上数据算出古树的高． 【答案】见试题解答内容 【分析】作DH⊥CE于H，延长AD交CE于F，如图，在Rt△CDH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到DHCD＝3，CHDH＝3，由于同一时刻小李量的1.5米的旗杆在地上面的影子长是2米，根据相似的性质得，可计算出HF＝4，然后利用即可计算出AB． 【详解】解：作DH⊥CE于H，延长AD交CE于F，如图， 在Rt△CDH中，∵∠DCH＝30°， ∴DHCD6＝3， CHDH＝3， ∵同一时刻小李量的1.5米的旗杆在地上面的影子长是2米， ∴， ∴HF＝4， ∴，即， ∴AB（m）， 即古树的高为m． 13．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上，下两底分别为10m，20m的梯形空地种植花木． （1）如图，他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用； （2）若其余地带要种的花卉，有玫瑰花和茉莉花和太阳花三种供选，单价分别为12元/m2，10元/m2，8元/m2，怎样安排栽种面积？请你作出决策． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）证明△AMD∽△BMC，利用相似三角形的性质得（）2，于是得到种满△BMC地带所需的费用为△AMD地带种植费用的4倍； （2）先计算出S△AMD＝20（m2），则S△BMC＝80，再根据相似三角形的性质得，所以S△ACM＝S△BDM＝2S△AMD＝40，然后分别讨论，使总费用不超过1600元即可． 【详解】解：（1）∵AD∥BC， ∴△AMD∽△BMC， ∴（）2＝（）2， 即S△BMC＝4S△AMD， ∵△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元， ∴种满△BMC地带所需的费用＝4×160＝640（元）； （2）∵种太阳花的单价为8元/m2，而△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元， ∴S△AMD20（m2）， ∴S△BMC＝80， ∵△AMD∽△BMC， ∴， ∴S△ACM＝S△BDM＝2S△AMD＝40， 当△ACM和△BDM都种玫瑰花，则费用为12×（40+40）＝960，而△BMC和△AMD种花的费用为160+640＝800（元），此时960+800＞1600； 当△ACM和△BDM都种茉莉花，则费用为10×（40+40）＝800，而△BMC和△AMD种花的费用为160+640＝800（元），此时800+800＝1600； 当△ACM和△BDM都种太阳花，则费用为8×（40+40）＝640，而△BMC和△AMD种花的费用为160+640＝800（元），此时640+800＜1600； 当△ACM种玫瑰花和△BDM种太阳花，则费用为12×40+8×40＝800，而△BMC和△AMD种花的费用为160+640＝800（元），此时800+800＝1600； 当△ACM种玫瑰花和△BDM都种茉莉花，则费用为12×40+10×40＝880，而△BMC和△AMD种花的费用为160+640＝800（元），此时880+800＞1600； 所以可以这样安排：方案一：△AMD和△BMC地带上种植太阳花后，△ACM和△BDM都种茉莉花；方案二：△AMD和△BMC地带上种植太阳花后，△ACM和△BDM都种太阳花；方案三：△ACM种玫瑰花和△BDM种太阳花． 1．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝150cm，CD＝800cm，则树高AB等于（　　） A．550cm B．400cm C．300cm D．都不对 【答案】A 【分析】先判定△DEF∽△DCB，再根据相似三角形对应边成比例解答． 【详解】解：AC＝150cm＝1.5m，CD＝800cm＝8m 在Rt△DEF与Rt△DBC中， ∵∠EDF＝∠CDB，∠FED＝∠BCD＝90°， ∴△DEF∽△DCB． ∴． ∴． ∴BC＝4． ∵AC＝1.5m， ∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（m）． 即树的高为5.5m＝550cm． 故选：A． 2．“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法，如图，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），已知大多数人的眼距长约为6.4厘米左右，而手臂长约为64厘米左右．若CD的估测长度为50米，那么CO的大致距离为（　　）米． A．250 B．320 C．500 D．750 【答案】C 【分析】证明△ABO∽△DCO，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：∵CD∥AB， ∴△ABO∽△DCO， ∴， 根据题意得，OB＝64cm，AB＝6.4cm，CD＝50m， ∴CD500m． 即：CO的大致距离为500m． 故选：C． 3．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为6cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则物距是（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 【答案】B 【分析】过点O作OE⊥AB，根据EF⊥CD，AB∥CD，从而得到∠A＝∠C，∠B＝∠D，然后证明△AOB∽△COD，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F， ∵EF⊥CD，AB∥CD， ∴EF⊥CD，∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∵蜡烛火焰的高度AB 为6cm，像距OF为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度CD是9cm，物距为OE， ∴， 解得：OE＝10cm， ∴物距是10cm． 故选：B． 4．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2．则井深BG为 　4　． 【答案】4． 【分析】根据正方形的性质可得∠ABC＝90°，再根据矩形的性质可得BG＝EF，∠BEF＝90°，从而可得∠ABH＝∠FEH＝90°，然后证明8字模型相似△ABH∽△FEH，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵BE＝2，BH＝0.5， ∴HE＝BE﹣BH＝2﹣0.5＝1.5， ∵四边形BEFG是矩形， ∴BG＝EF，∠BEF＝90°， ∴∠ABH＝∠FEH＝90°， ∵∠AHB＝∠EHF， ∴△ABH∽△FEH， ∴， ∴， ∴EF＝4， ∴BG＝EF＝4， 故答案为：4． 5．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为　11.5　米． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意证出△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA， ∴△DEF∽△DCA， 则，即， 解得：AC＝10， 故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米）， 即旗杆的高度为11.5米； 故答案为：11.5． 6．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，30cm长的箭头AB在暗盒中所成像CD的长为 　　cm． 【答案】． 【分析】正确理解小孔成像的原理，利用相似三角形的判定得出△ABO∽△CDO，结合相似三角形的性质，利用AB的值求出DC． 【详解】解：由题意可得：AB∥DC， 则△ABO∽△CDO， 故， 解得：DC（cm）． 故答案为：． 7．已知：如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN．求正方形的边长． 【答案】见试题解答内容 【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的对边平行可得PN∥BC，然后判断出△APN和△ABC相似，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式进行计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长为x， ∵四边形PQMN是正方形， ∴DE＝PN＝x，PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴， ∵AE＝AD﹣DE＝80﹣x，BC＝120，AD＝80， ∴， ∴x＝48， ∴正方形的边长为48mm． 8．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走80米到C处立一标杆，然后方向不变向前走50米至D处，在D处转90°，沿DE方向走30米，到E处，使A（目标物），C（标杆）与E在同一条直线上，那么可测得A，B间的距离是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据已知条件求出△ACB∽△ECD，再根据相似三角形的对应边成比例，解答即可． 【详解】解：∵∠B＝90°，DE⊥BD， ∴AB∥DE， ∴△ACB∽△ECD， ∴AB：DE＝BC：CD， ∴AB：30＝80：50， ∴AB＝48米， ∴AB的长为48米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.7应用举例 同步练习 题型 相似三角形的应用 1．如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙1.2m，BD长0.5m，则梯子的长为（　　） A．3.5m B．3.85m C．4m D．4.2m 2．志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（　　） A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元 3．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（　　） A．10m B．12m C．15m D．40m 4．太阳光照射下的某一时刻，1.5m高的竹竿影长2.5m，那么影长为30m的旗杆的高是（　　） A．20m B．18m C．16m D．15m 5．如图有一块四边形草地ABCD，AD∥BC，其中AB＝4，BC＝5，由于连续降雨使AD间积满污水，现在BA、CD的延长线的交点P处测得PA＝3，则AD的长度为（　　） A．2 B． C． D． 6．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（　　） A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米 7．如图，利用标杆测量楼高，已知AB＝180m，标杆CD＝240m，BD＝30m，DF＝420m，则楼高EF＝　 　． 8．某人身高1.7米，某一时刻影长2米，同时一棵树影长为10米，则此树高　 　米． 9．已知一直立的电线杆在地面上的影长为28m，同时，高为1.4m的测竿在地面上的影长为2.8m，由此可知该电线杆的长为　 　m． 10．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为　 　m． 11．如图，在宽为40米的一条绿化带上开一条路，数据如图所示，求这条路的宽度． 12．九（1）班的同学到郊外展开活动，在土坡旁看见一棵古树，班上同学很想知道古树AB的高．小王拿尺子量得古树在地面上的影子BC＝8米，在斜坡上面的影子CD＝6米，测得斜坡CD与地面成∠DCE＝30°，同一时刻小李量的1.5米的旗杆在地上面的影子长是2米．请你根据以上数据算出古树的高． 13．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上，下两底分别为10m，20m的梯形空地种植花木． （1）如图，他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用； （2）若其余地带要种的花卉，有玫瑰花和茉莉花和太阳花三种供选，单价分别为12元/m2，10元/m2，8元/m2，怎样安排栽种面积？请你作出决策． 1．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝150cm，CD＝800cm，则树高AB等于（　　） A．550cm B．400cm C．300cm D．都不对 2．“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法，如图，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），已知大多数人的眼距长约为6.4厘米左右，而手臂长约为64厘米左右．若CD的估测长度为50米，那么CO的大致距离为（　　）米． A．250 B．320 C．500 D．750 3．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为6cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则物距是（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 4．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2．则井深BG为 　 　． 5．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为　 　米． 6．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，30cm长的箭头AB在暗盒中所成像CD的长为 　 　cm． 7．已知：如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN．求正方形的边长． 8．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走80米到C处立一标杆，然后方向不变向前走50米至D处，在D处转90°，沿DE方向走30米，到E处，使A（目标物），C（标杆）与E在同一条直线上，那么可测得A，B间的距离是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$