18.7 应用举例（教学课件）数学北京版九年级上册

18.7 应用举例 主讲： 京改版九年级上册 第18章 相似形 复习导入 相似三角形的判定： 1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似； 2．平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； 3．两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 4．两角分别相等，两三角形相似； 5．三边对应成比例，两三角形相似． 1．相似三角形的对应边成比例； 2．相似三角形的对应角相等； 3．相似三角形的对应高的比等于相似比；(对应中线、对应角平分线等） 4．相似三角形的周长比等于相似比； 5．相似三角形的面积比等于相似比的平方． 相似三角形的性质： 学习目标 目标 1 目标 2 1.运用三角形相似的知识计算实际生活中的高度和距离。 目标 3 2.能够把实际问题转化为与三角形有个的数学模型，了解数学建模思想。 3.体会数学在生活中的作用，提高运用数学方法解决问题的能力。 自学指导 仔细阅读教材P28---P29。用3分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1.如何将三角形相似应用到实际生活中，解决高度或者是距离的问题？ 实践 探究新知 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯游历古埃及时，只利用一根木棒和一把尺子就测量并计算了金字塔的高度，使古埃及法老阿美西斯钦羡不已． 还记得章前页介绍的古希腊数学家泰勒斯测算金字塔高度的故事 吗?学习相似三角形的有关知识之后，你能够解决这个问题吗? 为了测算金字塔的高度OB，先竖一根1m长的木杆EF，测得它的影长DF为2m，金字塔的影长OA为274m，即可算出金字塔的近似高度OB． 典型例题 即该金字塔的高约为137米． 解：由于太阳光近似于平行光线， 方法1 想一想：还有其他方法可以测得金字塔的高吗？ 方法2 与光的反射定律联系起来 测高：不易到达顶部，不能直接使用测量工具进行测量，通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解． 方法1 方法2 小技巧 回顾：学过的测量池塘的宽度的方法 全等三角形的判定 三角形中位线定理 探究新知 A C B M N B A C E D 思考：能否运用三角形相似求宽度呢？ 连结PQ，QB，使得QB⊥PQ， 地质勘探人员估算某条河的宽度．在河对岸选定一个目标P，再在他们所在的这一侧选点B，Q， 再在他们所在的这一侧选点A，连结AB，使得AB⊥QB． 确定AP和QB的交点O．需要测出哪些量能求得这条河宽PQ呢？ A B O Q P 典型例题 如果测得OQ=12m，OB=6m，AB=8m，求这条河宽PQ． 解：∵∠POQ＝∠AOB，∠Q＝∠B＝90°， ∴△POQ∽△AOB， ∴， ∵OQ＝12m，OB＝6m，AB＝8m， ∴P16（m）， 方法1 想一想：还有其他方法可以求得河宽吗？ 在河对岸选定一个目标P，在他们所在的这一侧选点Q，S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直， 接着过点S作与PS垂直的直线a，在a上选择适当的点R，过点Q作垂直PS的直线b， 确定PR与直线b的交点O．需要测出哪些量能求得这条河宽PQ呢？ O 如果测得QS，SR，OQ的长度，可求得河宽PQ． O 方法2 测距：不易直接测量的两点间的距离，常构造相似三角形求解． 方法1 方法2 小总结 学习了相似三角形的知识，数学兴趣小组的同学们便测量了学校附近树的高度． 典型例题 解：由于太阳光近似于平行光线， 因此这棵树的高为6米． ∴=. ∵=. ∴AB＝6， 类型1．小明测得长为1m的竹竿影长为0.9m．同时，小李测得一棵树的影长为5.4m，如何计算这棵树的高度？ 类型2．小明测竹杆影长的同时，小王测树时发现树影的一部分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7m，留在墙上部分的影长为1.2m，请计算这棵树的高． 2.7 1.2 想一想：如何利用相似三角形的知识解决呢？ 解：延长AD，BC相交于点E，则CE为树影长的一部分． 因此这棵树的高为4.2米． 解得1.08， BE=BC+CE=3.78 解得AB=4.2 方法1 想一想:还有其他方法构造相似三角形吗？ 解：过点D作 交AB于点F． 因此这棵树的高为4.2米． 方法2 = , = , 因此这棵树的高为4.2米． 方法3 解：过点C做CG平行于AD交AB于点G. AG=DC=1.2. = , = , 解得，BG=3. 方法小结 方法1 方法2 方法3 类型3．小红测得长为1米的竹竿影长为2m，同时，小张测量一棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面影长为10m，在斜坡上影长为4m，斜坡的倾斜角为30°，请计算这棵树的高． 30° 30° 解：过点Q作 的延长线交于点R． ， ， ， ． ． ． 且 ， ． ． 因此这棵树的高为( )米． 过点Q作 于点S． 方法1 方法2 方法3 △QRK∽△EFD △MNK∽△EFD △GNR∽△EFD △MSQ∽△EFD = 方法汇总 4．小兰用标杆测量树的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与树的水平距离BD=15m，她的眼睛与地面高度EF=1.6m，小兰与标杆CD的水平距离DF=2m，请计算这棵树的高． C D B E F A 由四边形EFDG、 EFBH为矩形， ． ． ． ． ． 因此这棵树的高为13.5米． ． 解：过E作EG垂直CD交CD于G，由于人、标杆、树互相平行． 阅读问题 体会情境 抽象模型 画出图形 总结归纳 回归实际 运用相似 解决问题 应用举例 知识要点 1．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 基础检测 分析:根据题意可得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO，从而可得∠AHO＝∠BOH＝90°，然后证明8字模型相似△AHF1∽△BOF1，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． D 2．操场上有一根竖直的旗杆AB，它的一部分影子（BC）落在水平地面上，另一部分影子（CD）落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2m，地面的影长为2.8m，同时测得一根高为2m的竹竿OM的影长是ON＝1.4m，请根据以上信息，则旗杆的高度是（　　） A．4.5m B．104.7m C．5.2m D．5.7m 分析:过点D作DE⊥AB于点E，根据同一时刻，物高与影长成正比得出方程求出AB的长即可． C 一展身手 1.如图，数学活动课上；为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为多少米？ 解：如图：∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC∽△EDC，∴， 即， ∴DE＝8（m），∴旗杆高度为8米． 2.某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度． 解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N， 由题意得：AN＝2米，CN＝1.9-1.6＝0.3（米），MN＝38米， ∵CN∥EM， ∴△ACN∽△AEM，∴， ∴，∴EM＝6， ∵AB＝MF＝1.7米， ∴城楼的高度为：6+1.6-1.7＝5.9（米）． 挑战自我 1.学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即PE＝20米）的点P处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在C，D两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即A，C，P三点共线，B，D，P三点共线）．已知电线杆A，B之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离CD为30米，求这条河的宽度． 解：延长PE交AB于点F，如图所示， ∵PE⊥CD，AB∥CD， ∴PF⊥AB， 设这条河的宽度为x米． ∵AB∥CD， ∴△PBA∽△PDC， ∴， ∵CD＝30米，AB＝75米，PE＝20米， ∴， ∴x＝30， 答：这条河的宽度为30米． 课堂小结 应用举例 1.应用相似三角形的性质判定解决测距问题； 2.应用相似三角形的性质判定解决测高问题； 3.应用相似三角形的性质判定，使用不同的方法解决各种实际问题。 主讲： 感谢聆听 京改版九年级上册 $$