三角函数的概念及诱导公式-2025届高三体育单招数学一轮复习零基础讲义

【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 三角函数的概念及诱导公式知识点·梳理 1、任意角与弧度制 ①角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． ②角的分类： ③终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． ④象限角与轴线角： ⑤弧度制与扇形的弧长和面积公式： 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． 角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 ①rad； 弧长公式 扇形面积公式 2、三角函数的概念 ①定义：设是任意角,为终边上一点,则 . ②三角函数值的正负 （1）在一、二象限为正; （2）在一、四象限为正; （3）在一、三象限为正; ③同角三角函数之间的关系 （1）平方关系：; （2）商数关系：; ④特殊角的三角函数值 角度 弧度 0 π 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 3、诱导公式 ①诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 ②口诀：奇变偶不变，符号看象限. 1）奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“”中的是奇数还是偶数． 2）“变”与“不变”是指函数的名称的变化． 3）“符号看象限”指的是在“”中，将α看成锐角时，“”的终边所在的象限． 重点题型·归类精讲 题型一 角的概念 【例1-1】（2005年真题）"cos"是""的 A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【变式1】已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】“”成立的充要条件是（    ） A． B．， C．， D．， 题型二 三角函数的定义 【例2-1】若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知角α的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知是角的终边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 题型三 三角函数的定义--三角函数值的正负 【例3-1】（2006年真题）设角使得与同时成立，则角是 A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 【例3-2】已知为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知角终边上有一点，则是（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四 同角三角函数关系--知一求二 【例4-1】（2010年真题）已知，则 A、 B、 C、 D、 【例4-2】（2004年真题）已知，那么的值是 A、 B、 C、 D、 【例4-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，且，那么（ ） A． B． C． D． 题型五 同角三角函数关系--弦的齐次 【例5-1】（2020年真题）已知，则 A、 B、 C、 D、 【例5-2】已知tan α＝2，则的值为 ． 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】，则（ ） A． B． C． D． 题型六 同角三角函数关系--与 【例6-1】（2021年真题）若，则（    ） A. B. C. D. 【例6-2】（2018年真题） A、 B、 C、 D、 【例6-3】（2017年真题）设，则 A、 B、 C、 D、 【例6-4】（2013年真题），则 A、 B、 C、 D、 【变式1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D． 题型七 三角函数诱导公式 【例7-1】（2019年真题）已知，则 A、-1 B、 C、 D、1 【例7-2】（2016年真题）已知为第四象限角，且则 A、 B、 C、 D、 【例7-3】（2015年真题），则___ 【例7-4】（2008年真题）已知函数，则 A.0 B.1 C. D. 【例7-5】（2007年真题）已知是第四象限的角，且，则 A、 B、 C、 D、 【例7-6】（2003年真题）的值是 A、 B、 C、 D、 【变式1】已知． (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求的值． 【变式2】平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则（    ）. A． B． C．1 D．3 课后模拟·巩固练习 1、已知：角的终边过点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3、设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、若，且，则角是第（ ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 5、已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ＝（ ） A． B．－ C． D．－ 6、已知，则（    ） A．3 B． C． D． 7、已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D．或 8、已知是终边上的一点，则 . 9、已知角的终边经过点，则 ， ． 10、若，则的值为 . 11、已知，则 . 12、若，，则 ． 13、已知，则等于（    ） A．1 B．－ C． D．－ 14、已知 (1)化简； (2)若，求的值． 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 三角函数的概念及诱导公式知识点·梳理 1、任意角与弧度制 ①角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． ②角的分类： ③终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． ④象限角与轴线角： ⑤弧度制与扇形的弧长和面积公式： 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． 角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 ①rad； 弧长公式 扇形面积公式 2、三角函数的概念 ①定义：设是任意角,为终边上一点,则 . ②三角函数值的正负 （1）在一、二象限为正; （2）在一、四象限为正; （3）在一、三象限为正; ③同角三角函数之间的关系 （1）平方关系：; （2）商数关系：; ④特殊角的三角函数值 角度 弧度 0 π 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 3、诱导公式 ①诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 ②口诀：奇变偶不变，符号看象限. 1）奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“”中的是奇数还是偶数． 2）“变”与“不变”是指函数的名称的变化． 3）“符号看象限”指的是在“”中，将α看成锐角时，“”的终边所在的象限． 重点题型·归类精讲 题型一 角的概念 【例1-1】（2005年真题）"cos"是""的 A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由""推不出""，或;由""可以推出""所以"cos"是""的必要不充分条件 【变式1】已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由已知，可根据，求解出，，然后带入，中，判定从而确定充分性；然后再根据，列式求解出的值，与条件对比，不满足必要性，故可以完成解答. 【详解】由已知，，所以，， 此时，，所以； 若，由，可得： ，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】“”成立的充要条件是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质判断即可. 【详解】解：若，则，， 即“”成立的充要条件是，； 故选：C 题型二 三角函数的定义 【例2-1】若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则点到原点的距离为，则.故选：D 【例2-2】角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边经过点，则.故选：D 【变式1】已知角α的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】即，则故选：B 【变式2】已知是角的终边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三角函数的定义知:，所以.故选：A. 题型三 三角函数的定义--三角函数值的正负 【例3-1】（2006年真题）设角使得与同时成立，则角是 A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 【答案】C 【解析】，角位于第二象限或第三象限;，若位于第二象限，则，，故位于第三象限 【例3-2】已知为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为第二象限角，所以，，， 则，，，而的取值不确定.故选：C 【变式1】已知角终边上有一点，则是（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】因为是第二象限角，所以，所以点P在第四象限，即角为第四象限角， 所以为第一象限角，所以为第三象限角.故选：C 【变式2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则成立，故充分性成立；若，则，不一定为，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 题型四 同角三角函数关系--知一求二 【例4-1】（2010年真题）已知，则 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】如图，当时，角位于第二象限， 正切，即， 设对边为2，则邻边-1，斜边，正弦余弦 【例4-2】（2004年真题）已知，那么的值是 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】在第四象限，，余弦 【例4-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，故选：C 【变式1】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】且，，， 由得：.故选：. 【变式2】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，则，故选：A 【变式3】已知，且，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，故， ， 又，解得：故选：B 题型五 同角三角函数关系--弦的齐次 【例5-1】（2020年真题）已知，则 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】若为第二象限角，，则对边、邻边，斜边;当为第四象限角，，则对边、邻边，斜边。 【例5-2】已知tan α＝2，则的值为 ． 【答案】3 【解析】原式＝＝＝3. 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，则，故选：D 【变式2】已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得.故选：A. 【变式3】，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，．故选： 题型六 同角三角函数关系--与 【例6-1】（2021年真题）若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 [完全平方公式] 【例6-2】（2018年真题） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 【例6-3】（2017年真题）设，则 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】左右两边同时平方 【例6-4】（2013年真题），则 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】， 【变式1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，平方可得，所以.故选：D. 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，得， 则，由可知，所以.故选：B 题型七 三角函数诱导公式 【例7-1】（2019年真题）已知，则 A、-1 B、 C、 D、1 【答案】D 【解析】，也就是说终边相同，角的三角函数值也相同)。 【例7-2】（2016年真题）已知为第四象限角，且则 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】为第四象限角， 【例7-3】（2015年真题），则___ 【答案】 【解析】; 【例7-4】（2008年真题）已知函数，则 A.0 8 B.1 8 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【例7-5】（2007年真题）已知是第四象限的角，且，则 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】 是第四象限的角，，所以 【例7-6】（2003年真题）的值是 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 【变式1】已知． (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求的值． 【答案】(1)(2). 【解析】（1）即 （2）由，可得．因为为第三象限角， 因此，故 【变式2】平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为角的终边经过点，所以，所以.故选：A 【变式3】已知，则（    ）. A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】由诱导公式可得， 将代入计算可得，原式.故选：A 课后模拟·巩固练习 1、已知：角的终边过点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若角的终边经过点，则，故充分性成立，若，设的终边上一点为，则，不妨设，则,，解得，或，显然当时，的终边不过点，故必要性不成立.综上，是的充分不必要条件. 2、已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设.故选：A 3、设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，则，故充分性不成立， 由，则，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件，故选：B 4、若，且，则角是第（ ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【解析】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角.综上可知，为第三象限角.故选：C 5、已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ＝（ ） A． B．－ C． D．－ 【答案】B 【解析】由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，得2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，由0<θ≤，知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝.故选：B 6、已知，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，所以.故选：B 7、已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】将两边同时平方可得，，可得； 又，所以；易知，可得；又,所以.故选：C 8、已知是终边上的一点，则 . 【答案】/ 【解析】由题可知，,所以所以 9、已知角的终边经过点，则 ， ． 【答案】 【解析】由已知得，所以 . 10、若，则的值为 . 【答案】/ 【解析】因为，所以，所以，解得.故答案为： 11、已知，则 . 【答案】 【解析】因为，则.故答案为： 12、若，，则 ． 【答案】/ 【解析】由题意知，，等式两边同时平方，得，即，所以，又，所以，所以，由，解得，所以.故答案为： 13、已知，则等于（    ） A．1 B．－ C． D．－ 【答案】D 【解析】因为，所以， 又因为，故选:D. 14、已知 (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1)(2) 【解析】（1） （2）由（1）易得，所以 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$