导数的概念及其应用-2025届高三体育单招数学一轮复习零基础讲义

【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 导数的概念及其应用知识点·梳理 1、导数的概念及其意义 ①导数的定义 ②导数的几何意义 在处的导数表示在处切线的斜率 2、导数的运算 ①基本初等函数的导数公式 函数 导数 （为常数） ②导数的四则运算法则 1）；（求导之后再相加减） 2）；（前导后不导加上前不导后导） 3）;（分母的平方分之上导下不导减去上不导下导） 4）复合函数的导数:若，则. 3、函数的单调性与导数 ①函数的单调性与导数的关系，函数在某个区间内可导, 1）如果在区间上恒成立，则在区间内单调递增； 2）如果在区间上恒成立，则在区间内单调递减； ②求函数单调区间的步骤 1）确定函数的定义域; 2）求导函数; 3）解不等式,解集在定义域内的部分为单调递增区间； 4）解不等式,解集在定义域内的部分为单调递减区间； 易错点：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开． 4、函数的极值与导数 1）函数的极值与导数的关系 1°如果在两侧满足“左增右减”，则是的极大值点, 是极大值； 2°如果在两侧满足“左减右增”，则是的极小值点，是极小值. 2）求可导函数的极值的步骤 1°求函数的定义域; 2°求导函数; 3°令导函数（或）求单调区间; 4°根据单调性下结论并求出极值. 5、函数的最值与导数 1）求函数的最大值与最小值的步骤： 1°求在内的极值; 2°求在的端点值; 3°将极值与端点值的大小进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值. 重点题型·归类精讲 题型一 求具体函数的导数 【例1-1】（2005年真题）函数的导数___ 【变式1】求下列函数的导数 （1） （2） （3） （4） 【变式2】求下列函数的导数 (1)；(2)；(3)；(4)． 【变式3】求下列函数的导数 (1) ；(2)；(3)；(4) ； (5)；(6) ；(7) ；(8)． 【变式4】已知函数，若，则___________. 【变式5】函数，若，则______________. 题型二 导数与函数切线方程--求具体函数在某一点的切线方程 【例2-1】（2018年真题）曲线在点处的切线方程是___ 【变式1】函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的图象在点处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 【变式3】曲线在处的切线斜率为（ ） A． B． C．1 D． 【变式4】已知函数，则函数在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式5】函数.的图象在点处的切线的斜率为___________. 【变式6】曲线在点处的切线方程为______． 题型三 导数与函数切线方程--已知切线求参数 【例3-1】（2023年真题）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行。 (1)求 【变式1】已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（     ） A． B． C．-2 D． 【变式2】曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（ ） A． B． C． D． 【变式4】若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A．3 B． C．2 D． 【变式5】直线与曲线相切，则实数t的值为________ ． 【变式6】函数的图象在处的切线倾斜角为150°，则实数______． 题型四 导数与函数单调性的运用--无参函数求单调区间 【例1】求下列函数的单调区间. （1）f(x)＝x3－3x＋1；（2）y＝x＋.（3）3；（4）y＝ln(2x＋3)＋x2. 【变式1】（1）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． （2）设函数，则其单调增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式2】函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【变式3】函数的单调递增区间是（ ） A．和B．和C．D． 【变式4】设，则的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【变式5】函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 题型五 导数与函数单调性的运用--已知单调性求参数 【例5-1】（2023年真题）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是 ． 【变式1】若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（ ） A．－12 B．－10 C．8 D．10 【变式4】函数的一个单调递增区间为，，则减区间是（ ） A． B． C． D．， 题型六 导数与函数极值的相关问题--求函数极值（无参） 【例6-1】（2023年）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行。 (1)求（） (2)求的极值 【例6-2】（2022年）已知函数，是等差数列，且 (1)求的前项和； (2)求的极值。 【例6-3】（2017年真题）已知函数 (1)若，求的取值范围 (2)求的极小值 【变式1】已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】求下列函数的极值，并画出大致图象． (1)； (2)． 【变式3】已知函数 （1）求曲线在处的切线的方程； （2）求函数的极值； 题型七 导数与函数极值的相关问题--已知极值求参数 【例1】已知为函数的极小值点，则（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【例2】若函数在处取得极值，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知函数在处取得极小值，则的极大值为__________ 【变式2】若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 题型八 导数与函数最值的相关问题 【例1】函数在区间上的最大值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式1】设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【变式2】设 (1)求的极值点； (2)求的单调区间； (3)求在的最大值与最小值； (4)画的草图. 课后模拟·巩固练习 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C．4 D．2 2．已知曲线在处的切线斜率为2，则（    ） A． B．18 C． D．8 3．已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．函数在处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 5．函数在点处的切线与直线垂直，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 8．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 9．函数，的最小值为（    ） A． B． C．9 D．16 10．函数在上的最大值是（    ） A． B．0 C． D． 11．已知曲线在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C．1 D．-1 12．若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 14．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 15．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 16．已知函数． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)若（为函数的导函数），求在区间上的最大值和最小值． 17．已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 18．求下列各函数的导数： (1)； (2). 19．已知曲线：. (1)求在点处的切线方程； (2)求的极值. 20．已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 21．设函数，其中，曲线在点处的切线垂直于轴. (1)求的值； (2)求函数的极值. 22．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 导数的概念及其应用知识点·梳理 1、导数的概念及其意义 ①导数的定义 ②导数的几何意义 在处的导数表示在处切线的斜率 2、导数的运算 ①基本初等函数的导数公式 函数 导数 （为常数） ②导数的四则运算法则 1）；（求导之后再相加减） 2）；（前导后不导加上前不导后导） 3）;（分母的平方分之上导下不导减去上不导下导） 4）复合函数的导数:若，则. 3、函数的单调性与导数 ①函数的单调性与导数的关系，函数在某个区间内可导, 1）如果在区间上恒成立，则在区间内单调递增； 2）如果在区间上恒成立，则在区间内单调递减； ②求函数单调区间的步骤 1）确定函数的定义域; 2）求导函数; 3）解不等式,解集在定义域内的部分为单调递增区间； 4）解不等式,解集在定义域内的部分为单调递减区间； 易错点：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开． 4、函数的极值与导数 1）函数的极值与导数的关系 1°如果在两侧满足“左增右减”，则是的极大值点, 是极大值； 2°如果在两侧满足“左减右增”，则是的极小值点，是极小值. 2）求可导函数的极值的步骤 1°求函数的定义域; 2°求导函数; 3°令导函数（或）求单调区间; 4°根据单调性下结论并求出极值. 5、函数的最值与导数 1）求函数的最大值与最小值的步骤： 1°求在内的极值; 2°求在的端点值; 3°将极值与端点值的大小进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值. 重点题型·归类精讲 题型一 求具体函数的导数 【例1-1】（2005年真题）函数的导数___ 【答案】 【解析】导数(最高次2乘以系数得2，最高次降1次)，导数 【变式1】求下列函数的导数 （1） 【解析】因为，所以； （2） 【解析】因为，所以 （3） 【解析】 （4） 【解析】 【变式2】求下列函数的导数 (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）（2） （3）．（4）． 【变式3】求下列函数的导数 (1) ；(2)；(3)；(4) ； (5)；(6) ；(7) ；(8)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) (7)(8) 【解析】（1）．（2） ． （3） ．（4）．（5） ．（6）． （7）．（8）方法一： ；方法二：，． 【变式4】已知函数，若，则___________. 【答案】 【解析】由已知，则，解得 ,故答案为：. 【变式5】函数，若，则______________. 【答案】 【解析】由题求导得，所以，解得.故答案为： 题型二 导数与函数切线方程--求具体函数在某一点的切线方程 【例2-1】（2018年真题）曲线在点处的切线方程是___ 【答案】 【解析】本题考查函数求导，的导函数为(次方次数降1、与前面系数相乘)在处切线的斜率，把横坐标2代入导函数求值，所以直线方程为；或设直线方程为、即，把代入求，当时、即，解得，所以直线方程为。 【变式1】函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数几何意义求切线方程即可. 【详解】因为，所以， 则，， 所以所求切线的方程为，即. 故选：A. 【变式2】函数的图象在点处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，故，而， 故图象在点处的切线方程为即.故选：D. 【变式3】曲线在处的切线斜率为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】，则，故在处的切线斜率为 故选：B 【变式4】已知函数，则函数在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，故函数在点处的切线方程为，化简得.故选：C. 【变式5】函数.的图象在点处的切线的斜率为___________. 【答案】 【解析】因为，所以.故答案为：. 【变式6】曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】函数定义域为，，则， 于是得，即，所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为： 题型三 导数与函数切线方程--已知切线求参数 【例3-1】（2023年真题）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行。 (1)求 解:(1) 若切线斜率与直线平行，则切线在点处的斜率 即，解得 【变式1】已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（     ） A． B． C．-2 D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】，由题意可知，切线的斜率，则 ，解得：，， 所以. 故选：A 【变式2】曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，当时，，所以，由万能公式得：所以故选：B 【变式3】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的导数为， 可得在点处的切线的斜率为， 又切线与直线垂直，所以，解得.故选：C． 【变式4】若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】，依题意可得，即，因为，所以.故选：D 【变式5】直线与曲线相切，则实数t的值为________ ． 【答案】 【解析】设直线与曲线切于点，由，得，则，得， 所以，所以切点为，所以，得，故答案为： 【变式6】函数的图象在处的切线倾斜角为150°，则实数______． 【答案】 【解析】∵，∴，∴，∴．故答案为： 题型四 导数与函数单调性的运用--无参函数求单调区间 【例1】求下列函数的单调区间. （1）f(x)＝x3－3x＋1；（2）y＝x＋.（3）3；（4）y＝ln(2x＋3)＋x2. 【答案】（1）增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1)； （2）增区间为(－∞，-)和(，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，). （3）单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)； （4）单调递增区间为，，单调递减区间为 【变式1】（1）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． （2）设函数，则其单调增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）B（2）C 【解析】（1）因为，定义域为，则，令，则，故选：B （2）因为函数，所以， 令，得，所以的单调递增区间是，故选：C. 【变式2】函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为：， ， 当时，函数单调递减，因为，所以解得，故选：D 【变式3】函数的单调递增区间是（ ） A．和B．和C．D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为，由，得， 令，得，所以函数的增区间为，故选：D 【变式4】设，则的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数，可得函数的定义域为， 则，令，解得， 因为，解得，所以函数的单调区间为.故选：B. 【变式5】函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴， 令，解得，即函数的单调递减区间为，故选：A. 题型五 导数与函数单调性的运用--已知单调性求参数 【例5-1】（2023年真题）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查函数求导 函数为3次函数，若函数在方向单调递增，则 令，即 解得，或 令，解得，或，大于取两边 令，解得 所以函数在单调递增，即， 【变式1】若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，，由存在递减区间，即存在使， ∴，可得或.故选：B 【变式2】设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在上单调递减，当时，， 在时恒成立，即，，又在单调递减， 故，故．故选：B 【变式3】若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（ ） A．－12 B．－10 C．8 D．10 【答案】A 【解析】＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解， ∴－1，3是＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.故选：A． 【变式4】函数的一个单调递增区间为，，则减区间是（ ） A． B． C． D．， 【答案】B 【解析】函数，则， 当时，恒成立，函数在其定义域内是递增． 当时，令，解得：， 当时，，函数是递增． 函数的一个单调递增区间为，故得：，解得：， 在时，，函数是递减．故选：B． 题型六 导数与函数极值的相关问题--求函数极值（无参） 【例6-1】（2023年）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行。 (1)求（） (2)求的极值 解(2)由(1)得， 令，即，，解得令，解得或;令，解得 极大值为;极小值为 【例6-2】（2022年）已知函数，是等差数列，且 (1)求的前项和； (2)求的极值。 解:(1) 为等差数列 ,即 解得 公差,首项16 前项和 (2)由(1)得 原函数 令,即,解得 ,解得；,解得 函数先减后增,在时取极小值 极小值 【例6-3】（2017年真题）已知函数 (1)若，求的取值范围 (2)求的极小值 解：，若，则，且，即的取值范围是 (2)，令，解得 在区间单调递增，在单调递减，在处取极小值， 【变式1】已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而由极值的定义可求出函数的极小值. 【详解】因为，， 所以. 当或时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，. 故选：D. 【变式2】求下列函数的极值，并画出大致图象． (1)； (2)． 【答案】(1)极小值为，极大值为2，图象见解析 (2)极小值为，无极大值，图象见解析 【分析】求导得到函数的单调性，根据单调性求极值和画函数图象即可. 【详解】（1），令，解得，令，解得或， 所以函数在，上单调递减，上单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为，在处取得极大值，极大值为2， 函数图象如下：    （2），令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值， 图象如下所示：    【变式3】已知函数 （1）求曲线在处的切线的方程； （2）求函数的极值； 【答案】（1）（2）的极小值为，极大值为 【解析】（1）因为，所以，所以 所以曲线在处的切线的方程为，即 （2）因为 所以当时，当时 所以在、上单调递增，在上单调递减 所以的极小值为，极大值为 题型七 导数与函数极值的相关问题--已知极值求参数 【例1】已知为函数的极小值点，则（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【解析】， 所以当时，当时 则在和上单调递增，在上单调递减，故.故选：B 【例2】若函数在处取得极值，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为，所以， 又函数在处取得极值，所以，即． 此时，当或时，，当时，， 故是的极大值点，故符合题意．故选：D． 【变式1】已知函数在处取得极小值，则的极大值为__________ 【答案】 【解析】由题意得，， ，解得， ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为. 故答案为： 【变式2】若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得 ， 恒成立，为开口向上的抛物线， 若函数在上无极值，则恒成立，所以，解得：，所以实数的取值范围为，故选：D. 题型八 导数与函数最值的相关问题 【例1】函数在区间上的最大值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】求导得到的单调性，然后根据单调性求最大值即可. 【详解】，定义域为， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，单调递减， 所以在区间上的最大值为. 故选：D. 【变式1】设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）求出函数的单调区间，从而列出表格，计算出极小值与端点处的函数值，即可得到函数的最值. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以曲线在点处的切线方程为； （2），函数的定义域为， ，令，解得或， 令，解得， 对列表如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 又，且， 所以，即， 所以， 故函数在区间上的，. 【变式2】设 (1)求的极值点； (2)求的单调区间； (3)求在的最大值与最小值； (4)画的草图. 【答案】(1)极小值点，极大值点； 单调递增区间为，单调递减区间为和； 最大值为63，最小值为0； (4)草图见解析. 【解析】由题意，，令，解得，，， 当变化是，，变化状态如下表： 极小值 极大值 (1)为为的极小值点，为的极大值点； (2) 的单调递增区间为，单调递减区间为和； (3)由表可知，的极小值为，的极大值为， 又因为， 故在上的最大值为63，最小值为0； (4) 的草图如下所示： 课后模拟·巩固练习 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C．4 D．2 【答案】C 【详解】由，可得，则.故选：C. 2．已知曲线在处的切线斜率为2，则（    ） A． B．18 C． D．8 【答案】C 【详解】，由题意，解得.故选：C. 3．已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为，令得.故选：A 4．函数在处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则，，所以函数在处的切线斜率为， 5．函数在点处的切线与直线垂直，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知，故.由于的斜率为，故在点处的切线斜率为.所以，故，得.故选：A. 6．已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由在上单调递减，可得在上恒成立，故， 所以，故选：A 7．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，，令，解得.所以函数的单调减区间是.故选：C 8．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，求导得，则，所以所求切线方程为，即.故选：B 9．函数，的最小值为（    ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【详解】由可得，，由解得，或，因，当时，，单调递减；当时，，单调递增.故时，.故选：A. 10．函数在上的最大值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】由题，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.故选：B. 11．已知曲线在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【详解】函数，求导得，依题意，，得，显然，因此，所以．故选：A 12．若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在内无极值，所以在内无变号零点，根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增，所以或即可， 解得或，故选：C. 13．函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 【答案】D 【详解】因为，令，得时；令，得，所以当时，函数取得极大值．故选：D. 14．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，，令，解得：多取一个端点不影响单调性，所以在上单调递减.故选：D 15．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴，令，解得，即函数的单调递减区间为，故选：B. 二、解答题 16．已知函数． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)若（为函数的导函数），求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)(2)最大值为，最小值为 【详解】（1），，，则有，化简得，即的图象在点处的切线方程为； （2），则，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，则有最大值，又，，故在区间上的最大值和最小值分别为、. 17．已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)3(2)⋅ 【详解】（1）由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． （2）由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 18．求下列各函数的导数： (1)； (2). 【答案】(1)(2) 【详解】（1），； （2）由 求导可得，. 19．已知曲线：. (1)求在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1)(2)极大值为，极小值为 【详解】（1）因为，得 ，又因为，故切点为，所以切线方程为，即； （2）由（1）知，令，解得或3， ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数的极大值为，极小值为． 20．已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1)(2)极大值为，极小值为. 【详解】（1）由，的定义域为，得，所以，又，所以在点处的切线方程为，即； （2）， 由，得，或，当或时，，在上均单调递增；当时，，在上单调递减； 故函数在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值为. 故函数有极大值，也有极小值，极大值为，极小值为. 21．设函数，其中，曲线在点处的切线垂直于轴. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1)； (2)极大值为，无极小值. 【详解】（1）的定义域为，且，因为曲线在点处的切线垂直于轴，所以，即，解得. （2）由(1)可得，则，令，解得；令，解得，则在上单调递增，在上单调递减， 故有极大值，无极小值. 22．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1)；(2)极小值为，极大值为． 【详解】（1）由已知得，所以．因为，所以切点为，故曲线在点处的切线方程为． （2）由（1）知，，．令，得，令，得或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，．所以有极小值为，极大值为． 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$