空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2025届高三数学一轮复习

第七章 立体几何与空间向量 第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系 ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI 知识诊断 基础夯实 1 1.与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过________________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 不在一条直线上 3 基本 事实2 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条__________________ P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 两个点 过该点的公共直线 4 (2)基本事实1的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 5 2.空间点、直线、平面之间的位置关系   直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 6 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形 语言   符号 语言 a，b是 异面直线 a⊂α   3.基本事实4和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线__________. 等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________. 4.异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 互相平行 相等或互补 1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3. 2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. × 解析　(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误. (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误. (4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(　　) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.(　　) √ × × ABC 解析　依题意，m∩α＝A，n⊂α， ∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行. 2.(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是(　　 ) A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行 D 解析　由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交. 若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾. 故l至少与l1，l2中的一条相交. 3.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　) A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交 解析　如图，连接BE，因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即为∠EAB. 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　) C 解析　∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上. 同理可知，点C也在γ与β的交线上. 5.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　) A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M D 解析　连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线， 又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1， 所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确. 6.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是(　　) A.AP与CM是异面直线 B.AP，CM，DD1相交于一点 C.MN∥BD1 D.MN∥平面BB1D1D BD 令AC∩BD＝O，连接OD1，ON. 因为M，N分别是C1D1，BC的中点， 则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1， 因为MN⊄平面BD1D，OD1⊂平面BD1D， 所以MN∥平面BD1D，C不正确，D正确. KAODIANTUPOTIXINGPOUXI 考点突破 题型剖析 2 证明　∵EF是△D1B1C1的中位线， ∴EF∥B1D1. 在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD. ∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面. 例1 如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线. 证明　在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α. 又Q∈EF，∴Q∈β， 则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点， ∴α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且R∈β， 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线. 证明　因为K∈EH，EH⊂平面ABD， 所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD， 而平面ABD∩平面CBD＝BD， 因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点. 训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点.若EH与FG相交于点K. 求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点. 解析　根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能， 例2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能 D 如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，故选D. (2)(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，则在这个正四面体中(　　 ) A.GH与EF平行 B.BD与MN为异面直线 C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直 解析　还原成正四面体A－DEF，如图所示， 其中H与N重合，A，B，C三点重合，易知GH与EF异面，BD与MN异面. 连接GM，∵△GMH为等边三角形， ∴GH与MN成60°角. 由图易得DE⊥AF，又MN∥AF， ∴MN⊥DE， 因此正确的选项是B，C，D. BCD 解析　如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC， 训练2 (1)(多选)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是(　　 ) A.MN与PD是异面直线 B.MN∥平面PBC C.MN∥AC D.MN⊥PB ABD 由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MN∥HC， 所以MN∥平面PBC，设四边形MHCN确定平面α， 又D∈α，故M，N，D共面，但P∉平面α，D∉MN， 因此MN与PD是异面直线；故A，B说法均正确. 若MN∥AC，由于CH∥MN，则CH∥AC， 事实上AC∩CH＝C，C说法不正确； 因为PC＝BC，H为PB的中点， 所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D说法正确. 解析　连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点， (2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　) A.相交但不垂直 B.相交且垂直 C.异面 D.平行 D 连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点， 解析　如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1， 例3 (1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) D 又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP. 又BP⊂平面B1BP，所以有C1P⊥BP. 连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角. 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， (2)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为(　　) A.90° B.60° C.45° D.30° 解析　如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N， B 则ON∥CD，MN∥AB， 所以∠ONM或其补角即为所求的角. 因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC⊂平面ACD， 所以BO⊥平面ACD，所以BO⊥OD. 所以ON＝MN＝OM＝1. 所以△OMN是等边三角形，∠ONM＝60°. 所以直线AB与CD所成的角为60°. 易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角. 解析　法一　如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1. C 在△B1DE1中，由余弦定理， 法二　如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM， 易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角. 于是在△DMO中，由余弦定理， 解析　如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，∠CA1D1(或其补角)就是异面直线A1C与AD所成的角. 连接D1C. ∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1， 又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1， ∴A1D1⊥平面BCC1B1， C ∴∠CA1D1＝60°. ∵D1C⊂平面BCC1B1，∴A1D1⊥D1C， ∴△A1D1C为直角三角形， 立体几何中的截线、截面问题 利用平面的性质确定截面的形状是解决问题的关键. (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线. (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线. 设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形. 解析　先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点. C 一、　截面问题 (2)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　) 解析　如图，依题意，平面α与棱BA，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB1C符合题意，进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意. A 由对称性，知过正方体ABCD－A1B1C1D1中心的截面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ. 解析　如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD， 知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2， ∴△D1B1C1为等边三角形， 二、截线问题 ∴P，Q分别为BB1，CC1的中点， 解析　如图所示， 连接EF，A1B，连接A1C1，B1D1交于点M， 连接B1E，BC1交于点N， 由EF∥B1D1，即E，F，B1，D1共面， 由P是线段A1B上的动点， 当P重合于A1或B时，C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N， 即Q的轨迹为MN， 由A1B＝BC1＝A1C1， 得∠A1C1B＝60°， FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG 分层训练 巩固提升 3 解析　若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面； 若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面； 若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面； 由异面直线所成的角的定义知C正确. 1.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　) A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c C 2.给出以下四个命题： ①依次首尾相接的四条线段必共面； ②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； ③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B 解析　①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误； ②中，由基本事实1知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确； ③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误； ④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误. 解析　图A中，直线GH∥MN； 图B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面； 图C中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图D中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN， 因此GH与MN异面. 3.(多选)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　) BD 解析　∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1， ∴M∈平面A1ACC1， 又∵M∈平面AB1D1， ∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上， 即A，M，O三点共线， ∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面， ∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1， ∴M在平面BB1D1D外， 即B，B1，O，M不共面，故选A，B，C. 4.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　 ) A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面 C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面 ABC A.E，F，G，H四点共面 B.FG∥平面ADC C.若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线 D.若△ABD的面积为6，则△BCD的面积为3 ACD 因此E，F，G，H共面，A项正确； 假设FG∥平面ADC成立，因为平面ABC∩平面DAC＝AC， 因为FG⊂平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC， 因为平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线， 因此C正确； 解析　延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE， 6.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为(　　) A 得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形， ∴△AMN中MN边上的高 ∴AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积 解析　因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交. 7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________. 4 解析　如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为P，容易证明OP∥A1D，所以直线l即为直线OP，角θ即∠POC1. 8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cos θ＝________. 设正方体的棱长为2，则 解析　如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α， 9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________. 由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点， ∴等腰梯形MNDB的高为 证明　由已知FG＝GA，FH＝HD， ∴四边形BCHG为平行四边形. 由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH， ∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面. (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 解　由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4， 所以四棱锥O－ABCD的体积 11.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点. (1)求四棱锥O－ABCD的体积； 即DE2＋EM2＝MD2， (2)求异面直线OC与MD所成角的正切值. 解　如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点， ∴ME∥OC， 则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角， ∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°， 解析　如图，分别取BC，AA1，CC1的中点为H，M，N，连接EH，HN，GN，FM，ME，容易得出FG∥EH，GN∥ME，HN∥FM， 12.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱AB，A1D1，C1D1的中点，经过E，F，G三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为(　　) B 则点E，F，G，H，M，N共面， 即经过E，F，G三点的截面图形为正六边形EHNGFM. 连接MN，EG，FH，且相交于点O， 连接AO1，O1D，OD，O1E，OE， 解析　如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R， 2π 在Rt△OO1D中， R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2， ∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO1中， 过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小， 解　∵正方形ABCD的边长为4，且△PAB为等边三角形，E为AB的中点， 14.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE⊥平面ABCD. (1)若△PAB为等边三角形，求四棱锥P－ABCD的体积； 又PE⊥平面ABCD， (2)若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值. 解　∵AD∥BC， ∴∠PCB即PC与AD所成的角. 如图，连接EF，∵PE⊥平面ABCD，EF，BC⊂平面ABCD， ∴PE⊥EF，PE⊥BC， 又PF与平面ABCD所成角为45°， 即∠PFE＝45°， ∴PE＝EF·tan ∠PFE＝4， 又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB， 又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB， (2)范围：_______. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝＝. A. B. C. D. 不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝. 所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝CD， 所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝， 所以＝，所以EF∥BD1. A. B. C. D. 则在Rt△C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin ∠PBC1＝＝， 所以∠PBC1＝. 且ON＝CD， MN＝AB， 设正方形边长为2，OB＝OD＝， 所以BD＝2，则OM＝BD＝1. 训练3 (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),6) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(2),2) 所以DE1＝＝＝2， 因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝， DB1＝＝，B1E1＝＝＝， 得cos∠B1DE1＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝， 得cos∠MOD＝＝， DB1＝＝， 所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝， 即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝，则异面直线A1C与AD所成角的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝， 例1 (1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝eq \f(1,3)DD1，NB＝eq \f(1,3)BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 A. B. C. D. 易知正六边形EFGHIJ的边长为，将该正六边形分成6个边长为的正三角形. 故其面积为6××＝. 例2 (1)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，eq \r(5)为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为__________. 则D1E＝且D1E⊥平面BCC1B1， 知的长为×＝. ∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝＝＝. 可得EP＝EQ＝，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ. 又D1P＝，∴B1P＝＝1，同理C1Q＝1， ∴∠PEQ＝， (2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为________. 则NC1＝BC1＝4， 则MN＝＝＝. 由棱长为3， 得C1M＝A1C1＝3，则BC1＝6， 又＝＝， 5.(多选)如图，已知二面角A－BD－C的大小为eq \f(π,3)，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在AD，AB上，eq \f(AE,AD)＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,3)，且AC⊥平面BCD，则以下说法正确的是(　　 ) 所以FG∥AC，又G是BC的中点，所以F是AB的中点，与＝矛盾，B项不正确； 解析　由＝＝知EF綉BD. 又GH綉BD，∴EF∥GH， 易知S△BCD＝cos·S△ABD＝×6＝3，D正确. A. B. C. D. 由题意解三角形可得NE＝ME＝， AM＝AN＝，MN＝. h1＝＝，△EMN中MN边上的高h2＝＝. S＝S△AMN＋S△EMN＝MN·(h1＋h2)＝××＝. 则cos∠POC1＝＝＝. OP＝A1D＝，OC1＝，PC1＝， 故BD＝2，MN＝， 且BM＝DN＝， ∴梯形MNDB的面积为×(＋2)×＝. h＝＝， 10.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq \f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq \f(1,2)AF，G，H分别为FA，FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； 可得GH綉AD.又BC綉AD， ∴GH綉BC. 解　共面.∵BE綉AF，G是FA的中点， ∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. V＝×4×2＝. 由已知可得DE＝，EM＝，MD＝， ∵()2＋()2＝()2， ∴tan∠EMD＝＝＝. ∴异面直线OC与MD所成角的正切值为. 且FG＝EH＝GN＝ME＝HN＝FM＝＝， A. B. C.1 D.2 所以OE＝OH＝ON＝OG＝OF＝OM＝， 因为MN＝AC＝＝， 则截面图形的面积为×6＝. 13.已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝2eq \r(3)，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是________. 则O1D＝3sin 60°×＝， AO1＝＝3， 此时截面圆的半径为＝，面积为2π. O1E＝＝1， ∴OE＝＝， ∴PE＝PB·sin∠PBE＝AB·sin 60°＝2， ∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×42×2＝. ∴PB＝＝＝2. ∴tan ∠PCB＝＝， ∴PC与AD所成角的正切值为. $$