专题03 函数的奇偶性重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优含多选题）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题03 函数的奇偶性重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优含多选题） 题型一 函数奇偶性的定义与判断 题型二 由奇偶性求函数解析式 题型三 函数奇偶性的应用 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 由奇偶性求参数 题型六 由函数奇偶性解不等式 题型七 奇偶函数对称性的应用 题型八 函数奇偶性的综合应用 知识点01：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点02：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点03：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【经典例题一 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，其中，则关于函数的叙述中正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．的值域是 1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·黑龙江鸡西·期末）已知函数满足以下条件： ①图像关于y轴对称； ②的值域为； ③在内为减函数. 则满足上述条件的一个函数 .（只需任意写出一个即可） 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数． (1)试证明函数是偶函数； (2)画出的大致图象． 【经典例题二 由奇偶性求函数解析式】 【例2】（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，，下列说法正确的是（    ） A．时，函数解析式为 B．函数在定义域上为增函数 C．不等式的解集为 D．不等式恒成立 1．（23-24高一上·重庆开州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于，，都有成立，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知奇函数的定义域是，且，当时，. (1)求证：是周期为2的函数； (2)求在区间上的解析式. 【经典例题三 函数奇偶性的应用】 【例3】（23-24高一下·上海宝山·期末）设函数是定义在上的奇函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 1．（2024高三下·全国·专题练习）若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（    ） A．4 B．8 C．6 D．12 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， . 3．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【经典例题四 抽象函数的奇偶性】 【例4】（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 2．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 3．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【经典例题五 由奇偶性求参数】 【例5】（23-24高一上·湖北·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 1．（23-24高一上·河南·期中）已知函数是奇函数，且在区间上的最大值为2，则（    ） A．2或 B． C．3 D．3或 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知的定义域为R，且图象关于原点对称，且时，，则 ，的解析式为 ． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数． (1)若函数为偶函数，写出的值，并说明理由； (2)函数为定义在上的奇函数，在（1）的结论下，若当时，，求的表达式，并解不等式． 【经典例题六 由函数奇偶性解不等式】 【例6】（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则x的取值范围为 ． 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 【经典例题七 奇偶函数对称性的应用】 【例7】．（23-24高一上·湖南长沙·期末）在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（    ）． A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 1、（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若定义在上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·河北衡水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都有，且. (1)求证：； (2)判断奇偶性，并证明； (3)若，且在上单调递增，解关于的不等式. 【经典例题八 函数奇偶性的综合应用】 【例8】（23-24高一下·湖北咸宁·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数对都有，若的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．是周期为4的周期函数 D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于定义域为的函数，下述判断正确的是 ．（填序号） ①若函数是偶函数，则；②若，则函数是偶函数；③若，则函数不是偶函数． 3．（23-24高一下·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是上的奇函数且，当时，，则（    ） A．-2 B．2 C．0 D．2023 2．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽·期末）定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题 6．（25-26高一上·全国·单元测试）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 7．（22-23高一上·山西晋中·期中）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递增区间为 B． C．的最大值为4 D．的解集为 8．（23-24高一上·青海海东·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上的值域是 C．在上是增函数 D． 9．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（    ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 10．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果奇函数在区间上是严格增函数且最小值为5，那么在区间上最大值为 ． 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数为奇函数，则 ． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若奇函数定义域为R，当时，，则是 函数（填写单调性）；不等式的解集是 ． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是 ． 15．（24-25高一上·全国·假期作业）已知定义在上的奇函数满足，且．若，，，，则不等式的解集为 ． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，的最大值为1，求的值． 17．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知函数. (1)若为奇函数，求a的值； (2)求在上的最值. 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）若奇函数在区间上是增函数，且满足. (1)画出一个满足条件的函数的图象； (2)求不等式的解集. 19．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 20．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的奇偶性重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优含多选题） 题型一 函数奇偶性的定义与判断 题型二 由奇偶性求函数解析式 题型三 函数奇偶性的应用 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 由奇偶性求参数 题型六 由函数奇偶性解不等式 题型七 奇偶函数对称性的应用 题型八 函数奇偶性的综合应用 知识点01：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点02：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点03：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【经典例题一 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，其中，则关于函数的叙述中正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．的值域是 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义直接判断各选项. 【详解】因为， 所以， 所以为偶函数，B选项错误； ， 所以为偶函数，A选项正确，C选项错误； 又因为，所以， 所以值域不可能负数，D选项错误； 故选：A. 1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项. 【详解】因为， 对于A选项，， 令，该函数的定义域为， ，则为奇函数，A满足要求； 对于B选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，B不满足条件； 对于C选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，C不满足条件； 对于D选项，， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，D不满足要求. 故选：A. 2．（21-22高一上·黑龙江鸡西·期末）已知函数满足以下条件： ①图像关于y轴对称； ②的值域为； ③在内为减函数. 则满足上述条件的一个函数 .（只需任意写出一个即可） 【答案】，答案不唯一 【分析】根据函数奇偶性定义，函数单调性定义及函数值域来判断可得结果. 【详解】如函数 ， 因为函数定义域为，所以，故为偶函数，图像关于y轴对称，满足条件①； 又显然当时，所以满足条件②； 任取，且， 因为，即，所以在内为减函数,故满足条件③； 综上符合条件①②③，所以，(答案不唯一). 故答案为：(答案不唯一). 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数． (1)试证明函数是偶函数； (2)画出的大致图象． 【答案】(1)证明见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）利用偶函数的定义推理即得. （2）借助二次函数图象及偶函数性质作出的大致图象. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数． （2）当时，，且当时，或， 因此当时，函数是对称轴为，顶点坐标为， 且与轴交于点的抛物线在轴及右侧部分，如图， 再作出上述图象关于轴对称的图形即得的大致图象. 【经典例题二 由奇偶性求函数解析式】 【例2】（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，，下列说法正确的是（    ） A．时，函数解析式为 B．函数在定义域上为增函数 C．不等式的解集为 D．不等式恒成立 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性求得在上的解析式，再判断其单调性，得到恒成立，从而判断和选项即可得解. 【详解】对于A，因为当时，， 所以当时，，则， 又是偶函数，所以，故A错误； 对于B，当时，，其开口向下，对称轴为， 所以当时，单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，又，所以， 又在上为偶函数，所以恒成立， 所以由，可得，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以恒成立，故D正确. 故选：D. 1．（23-24高一上·重庆开州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先可以求出的最大的单调递增区间为，若函数在区间上单调递增，则当且仅当，由此即可得解. 【详解】因为是定义在R上的奇函数， 所以， 因为当时，， 所以当时，，， 所以由二次函数的单调性可知的最大的单调递增区间为， 若函数在区间上单调递增，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于，，都有成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合函数奇偶性的定义可得，分析可知在单调递减，分类讨论的正负，结合二次函数性质运算求解. 【详解】因为，则， 又因为是偶函数，是奇函数，则， 解得：， 因为对于，，都有， 整理得， 可知在单调递减，则有： 当时，满足题意； 当时，开口向上，对称轴为， 要满足题意，则，解得； 当时，开口向下，对称轴为， 要满足题意，则，解得； 综上所述，的取值范围为：． 故答案为：． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知奇函数的定义域是，且，当时，. (1)求证：是周期为2的函数； (2)求在区间上的解析式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由是奇函数，且，可得，即可得是周期为2的函数； （2）由当时，，可得当时，，则当时，可得. 【详解】（1）因为是奇函数，且，所以 ， 所以是周期为2的函数. （2）∵当时，，， ∴当时，， ∴当时， 所以， 即在区间上的解析式为. 【经典例题三 函数奇偶性的应用】 【例3】（23-24高一下·上海宝山·期末）设函数是定义在上的奇函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】结合严格增函数与奇函数定义，假设在上为严格增函数去推导能否得到在上的最小值为，及假设在上的最小值为去推导能否得到在上为严格增函数，即可得解. 【详解】若在上为严格增函数， 由奇函数性质可得在上为严格增函数， 则在上的最小值为， 若在上的最小值为， 不能得到在上为严格增函数， 即不能得到在上为严格增函数， 故“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的充分非必要条件. 故选：A. 1．（2024高三下·全国·专题练习）若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（    ） A．4 B．8 C．6 D．12 【答案】B 【分析】利用赋值法可得以及，即可构造函数，判断奇偶性，即可根据奇偶性的性质可得为奇函数以及最值. 【详解】，．有， 取，则，故， 取，则，故， 令，则,故为奇函数， ，设， ，故为奇函数，故为奇函数， 故， 则， 故 故函数在上的最大值和最小值的和是8， 故选：B． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， . 【答案】 / / 【分析】结合已知函数解析式，利用奇函数性质求得，再结合偶函数性质求得，进而求得. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以， 又函数为偶函数，得， 所以， 所以，所以. 故答案为：； 3．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 【经典例题四 抽象函数的奇偶性】 【例4】（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【答案】B 【分析】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断. 【详解】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【详解】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 2．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下：    由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 3．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果； （2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果； （3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果. 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 【经典例题五 由奇偶性求参数】 【例5】（23-24高一上·湖北·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可. 【详解】函数是定义在区间上的奇函数， 则，解得，定义域为，，则， ，定义域为，，函数为奇函数，满足， 故. 故选：C 1．（23-24高一上·河南·期中）已知函数是奇函数，且在区间上的最大值为2，则（    ） A．2或 B． C．3 D．3或 【答案】D 【分析】通过可得的值，判断出的单调性，列出关于的方程解出即可. 【详解】由题可知，即， 则，，所以. 因为在区间上单调递增，所以， 解得或. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知的定义域为R，且图象关于原点对称，且时，，则 ，的解析式为 ． 【答案】 【分析】由题意可得为R上的奇函数，则由可求出，设，则，然后利用已知的解析式结合奇函数的性质可求出时的解析式. 【详解】因为的定义域为R，图象关于原点对称， 所以为R上的奇函数， 所以，得， 所以当时，， 设，则，所以， 因为为奇函数，所以， 所以，得， 所以. 故答案为：， 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数． (1)若函数为偶函数，写出的值，并说明理由； (2)函数为定义在上的奇函数，在（1）的结论下，若当时，，求的表达式，并解不等式． 【答案】(1)0，理由见解析 (2)，或． 【分析】（1）求出，然后用偶函数的定义证明即可； （2）利用奇函数的性质求解析式，然后分情况解不等式即可. 【详解】（1）， 理由：的定义域为，为偶函数，关于轴对称， ∴， ∴，即， ∴的值为0． （2）由（1）可得，当时，； 当时，，． 因为为定义在上的奇函数，所以． 当时，． 所以的表达式为 当时，令，解得；，符合； 当时，令，解得． 综上，不等式的解集为或． 【经典例题六 由函数奇偶性解不等式】 【例6】（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解. 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 1．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的奇偶性与单调性求得与的解，从而分类讨论即可得解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又在上是增函数，， 当时，不成立； 当时，由，得，则，故或； 由，得，则，故或； 而由，得或，解得或， 即的解集为. 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可知：是偶函数，且在内单调递增，在内单调递减，进而可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为， 若，则，可得； 同理可得：当时，； 且时，； 综上所述：是偶函数． 因为开口向上，且对称轴为， 可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减， 则不等式等价于， 即，整理得，解得或， 所以x的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）借助奇函数的性质计算可得、，借助可得，即可得解； （2）借助单调性的定义，令后计算的正负即可得； （3）结合函数定义域，奇函数的性质与函数的单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，即，故，， 又，故，即； （2）在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， 由，则，，， 故， 故在上单调递增； （3）由函数为奇函数，故， 又函数在上单调递增，故有， 解得. 所以不等式的解集为. 【经典例题七 奇偶函数对称性的应用】 【例7】．（23-24高一上·湖南长沙·期末）在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（    ）． A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】B 【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解. 【详解】因为，所以函数关于成轴对称， 所以区间与区间，区间与关于对称， 由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数， 又函数是偶函数，所以函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 故选：B 1、（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若定义在上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知有偶函数在上递减，在上递增，且，结合不等关系有即可求解集. 【详解】由题设，偶函数在上递减，在上递增，且， 由，则， 所以解集为. 故选：D 2．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令，根据已知结合单调性的定义可得出在上的单调性.根据奇函数的性质，即可得出在R上的单调性.将不等式化为，分以及，化简不等式，结合的单调性，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】令， 可得，， 由可得，， 即成立，所以在上为减函数. 又为R上的偶函数，所以， 所以，，为R上的奇函数. 又在上为减函数，，所以在R上为减函数. 由可得，. ①当时，不等式可化为， 即， 根据的单调性可得，， 整理可得，解得或，所以； ②当时，不等式可化为， 即， 根据的单调性可得，， 整理可得，解得，所以. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·河北衡水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都有，且. (1)求证：； (2)判断奇偶性，并证明； (3)若，且在上单调递增，解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2)偶函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）令即可证； （2）令并代入题设关系式，结合奇偶性定义即可证； （3）令得，再由偶函数性质确定区间单调性，应用奇偶、单调性解不等式求解集. 【详解】（1）令，则，得证； （2）为偶函数，证明：令，则， 因为定义域为R，所以函数为偶函数； （3）由题设，令得， 由（2）得：函数为偶函数，且在上递增，则在上递减， 所以，则，解得， 所以不等式的解集为. 【经典例题八 函数奇偶性的综合应用】 【例8】（23-24高一下·湖北咸宁·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，得到，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以越靠近对称轴函数值越小， 由得， 由于，所以，故， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，，此时， 在时单调递减，，此时， 则实数的取值范围为. 故选：A 1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数对都有，若的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．是周期为4的周期函数 D． 【答案】D 【分析】由图象的平移可得是偶函数，从而判断B；对都有，取，可求得，进而得到成立，从而判断C；再由已知可得在上单调递减，结合偶函数的性质及周期性，从而判断D，最后判断A. 【详解】对于B，因为函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称，且定义域为， 故是偶函数，故B错误； 对于C，因为函数对都有， 所以取，可得， 又是偶函数，所以，从而可得， 则，故是周期为6的周期函数，故C错误； 对于D，因为是偶函数，且是周期为6的周期函数， 所以， ， 又对，当时，都有， 所以在上单调递减，则， 即，故D正确； 对于A，由在上单调递减，，可得，故A错误. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于定义域为的函数，下述判断正确的是 ．（填序号） ①若函数是偶函数，则；②若，则函数是偶函数；③若，则函数不是偶函数． 【答案】①③ 【分析】根据奇偶函数的定义和性质逐项判断即可. 【详解】①若函数是偶函数，则，则，故①正确； ②令，为定义在上的函数，且满足，但函数不是偶函数，故②错误； ③对于定义域为的函数，若，根据偶函数定义，则函数不是偶函数，故③正确， 故答案为：①③. 3．（23-24高一下·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)是增长函数 (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解； （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】（1）的定义域为，，，， 即，所以为区间上的增长函数； （2）依题意，，恒成立， 即在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数是增函数， 所以当时，， 所以，解得， 所以正整数的最小值为； （3）由题意可得：当时，， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，则， 故， 当时，，， 故为上的增长函数， 所以符合题意； 当时，则可得函数大致图象如图： 易知图象与轴交点为，， 而，， 因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上， 所以， 又因为当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述：当时，对均有成立， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决； （2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论. 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是上的奇函数且，当时，，则（    ） A．-2 B．2 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】利用条件求出函数的周期，结合奇函数求出，从而得到答案. 【详解】,则，则函数的周期，则， 又函数为奇函数，所以，所以. 故选：B. 2．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的奇偶性与单调性求得与的解，从而分类讨论即可得解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又在上是增函数，， 当时，不成立； 当时，由，得，则，故或； 由，得，则，故或； 而由，得或，解得或， 即的解集为. 故选：A. 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质，分段解不等式即得. 【详解】函数是上的偶函数，在上是减函数，则在上是增函数，， 不等式化为：或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 4．（23-24高一上·安徽·期末）定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的奇偶性与单调性得到在上单调递增与，再分类讨论的取值范围，结合偶函数的性质即可得解. 【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且， 所以在上单调递增，， 因为， 当，即时，，即， 所以，即，解得，故； 当，即时，，即， 所以，即或，解得或，故； 综上：或. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质，从而简化运算得解. 5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题得出的性质，然后作出草图即可得出答案. 【详解】对任意的且都有，所以时，严格减，又是上奇函数，且，所以可以画出的草图如下：    由图易知，当时，，此时；当时，，此时，故不等式解集为或， 故选：D. 二、多选题 6．（25-26高一上·全国·单元测试）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】ABC 【分析】根据函数的奇偶性结合函数的对称性结合函数的单调性分别判断各个选项即可. 【详解】令，因为是奇函数， 所以， 即的图象关于点对称． 令，因为是偶函数， 所以， 即的图象关于直线对称． A选项，由，令，可得， 由，令，可得，故A正确． B选项，由，令，可得，故B正确． C选项，由，令，可得，故C正确． D选项，由在上单调递减，结合的图象关于点对称，可知在上单调递减， 由可知在上单调递减，又的图象关于直线对称，则在上单调递增，故D错误． 故选:ABC． 7．（22-23高一上·山西晋中·期中）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递增区间为 B． C．的最大值为4 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】A.由两个单调区间不能合并判断；B.由是定义在R上的偶函数和二次函数的性质判断；C.由时，结合是偶函数判断；D.利用函数图象判断. 【详解】A.两个单调区间中间要用和分开，故A错误； B. 因为是定义在R上的偶函数，所以， 又在上单调递减，则，故B错误； C.当时，，最大值为4， 又因为是偶函数，所以的最大值为4，故C正确； D. 如图所示：的解集为，故D错误． 故选：ABD． 8．（23-24高一上·青海海东·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上的值域是 C．在上是增函数 D． 【答案】ABD 【分析】根据偶函数定义可判断A；求出的范围，根据新定义求函数值可判断B；取特值验证可判断C；根据新定义可知，然后可判断D. 【详解】对于A，的定义域为，又， 所以是偶函数，故A选项正确； 对于B，，当时，，此时，， 所以在的值域是，故B选项正确； 对于C，因为，所以在上不是增函数，故C选项不正确； 对于D，因为恒成立，所以，故D选项正确． 故选：ABD 9．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（    ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 【答案】CD 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是偶函数，图象关于轴对称， 所以关于直线对称. ，，且时，都有， 所以在上单调递增，则在上单调递减， ，由此画出的大致图象如下图所示， 所以，A选项错误. 若，则，B选项错误. 若，则，即， 所以或，所以，C选项正确. 由于函数的图象连续不间断，结合图象以及单调性可知： ，，使得，D选项正确. 故选：CD 【点睛】形如的函数表达式，可根据函数图象变换的知识来进行分析，如与的图象关系是：的图象向左平移个单位长度得到的图象，所以的图象的对称性与的图象的对称性有关系. 10．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，利用赋值法逐项判断. 【详解】因为， 令，得，因为，所以，故B错误； 令，则，即，所以，故A正确； 令，则，所以， 令，则，所以，则， 所以函数周期为，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果奇函数在区间上是严格增函数且最小值为5，那么在区间上最大值为 ． 【答案】 【分析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，则奇函数在区间上最大值即为在区间上的最小值的相反数，即可得到所求答案． 【详解】因为奇函数的图象关于原点对称， 所以奇函数在区间上是严格增函数，且最小值为5，即， ，，即， 因为在区间上是严格增函数，所以当时取得最大值， 所以在区间上最大值为. 故答案为：． 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数为奇函数，则 ． 【答案】－1 【分析】利用函特殊函数值求出，再验证即可. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，即 ，解得， 可得， 因为函数定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数，故. 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若奇函数定义域为R，当时，，则是 函数（填写单调性）；不等式的解集是 ． 【答案】 严格减 【分析】设,由条件推出即得单调性；利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式，最后解一元二次不等式即得. 【详解】由，不妨设， 由可得，，即， 故是严格减函数． 由可得，． 因函数是奇函数，则有． 又函数是严格减函数， 则，解得或． 故答案为：严格减；. 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：因为的图象的对称轴为，且开口向上， 所以在上严格增，且在R上是偶函数， 所以，两边平方得， 所以. 故答案为： 15．（24-25高一上·全国·假期作业）已知定义在上的奇函数满足，且．若，，，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令，，即可得到在上单调递减，再判断的单调性，然后求出的值，则不等式等价于，结合奇偶性与单调性转化为自变量的不等式，解得即可． 【详解】令，， 因为，，，， 即，，，， 所以在上单调递减， 又为定义在上的奇函数， 所以，所以， 所以为偶函数， 所以在上单调递增， 又，且， 所以，所以， 不等式（依题意，则）等价于， 即，所以，则且， 解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，的最大值为1，求的值． 【答案】 【分析】由在上的奇函数，得出解得，再由函数单调性的定义判断出在上单调递增，进而得出，即可求得的值． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时． 当时，任取，且， 则， 因为，所以， 所以，故， 所以在上单调递增， 所以的最大值为，解得． 综上，． 17．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知函数. (1)若为奇函数，求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，无最小值 【分析】（1）由奇函数的定义判断即可； （2）利用定义判断函数的单调性，进而可求得函数的最值． 【详解】（1）由题意， ∵为奇函数，∴， 即 解得； （2）由（1）可知， ，. ∵， ∴，，∴， 即在上是增函数. ∴，无最小值. 综上所述：，无最小值. 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）若奇函数在区间上是增函数，且满足. (1)画出一个满足条件的函数的图象； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质结合已知条件画出图象； （2）将原不等式转化为不等式组，然后结合图象求解即可. 【详解】（1）答案不唯一，如图. （2）由，得或， 由图象可得或， 所以不等式的解集为. 19．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即得. （2）利用函数单调性的定义推理证明即可. （3）求出函数的最大与最小值，进而求出的最小值. 【详解】（1）函数是奇函数， 函数的定义域为，关于数0对称，而， 所以是奇函数. （2）任取， ， 由，得，，则，即， 所以在区间上单调递增. （3）当时，，当且仅当，即时取等号， 因此，而当时，，又，由（1）知是奇函数， 因此当时，，函数的值域为，即， 由对任意的都有，得， 所以的最小值是. 20．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明； （2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证； （3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）令，得，， ， 令，，， 所以函数是奇函数； （2）设任意且， 由题意，， 又由（1）是奇函数， 得， ，， 已知当时，，从而有， 故，即， 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在上也单调递增， 故在上是增函数； （3）对任意恒成立，即， 由（2）得，在上是增函数， 所以当时，， 又（1）可知，函数是奇函数，则，即. 所以对任意恒成立， 设，，要使恒成立， 则，即， 解得或，所以实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$