专题02 函数的单调性与最值重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优含多选题）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题02 函数的单调性与最值重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优含多选题） 题型一 定义法判断或证明函数的单调性 题型二 求函数的单调区间 题型三 根据函数的单调性求参数值 题型四 利用函数单调性求最值或值域 题型五 根据函数的最值求参数 题型六 函数图象相关问题 题型七 复合函数的单调性 题型八 根据函数的单调性解不等式 题型九 比较函数值的大小关系 题型十 根据解析式直接判断函数的单调性 题型十一 函数不等式恒成立问题 题型十二 不同函数的最值问题 知识点01：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点02：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【经典例题一 定义法判断或证明函数的单调性】 【例1】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 ． 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【经典例题二 求函数的单调区间】 【例2】（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 1、（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 2．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 3．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）判断函数的单调递减区间并加以证明. 【经典例题三 根据函数的单调性求参数值】 【例3】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）任意时，恒成立，且函数单调，则 . 3．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上是严格增函数，且． (1)求证：； (2)已知，且，求a的取值范围． 【经典例题四 利用函数单调性求最值或值域】 【例4】（23-24高一下·广东广州·期中）对任意实数，规定取三个值中的最小值，则函数（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 1、（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点与，则函数在区间上的最大值为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上且，，当，时，有． (1)试判断函数在上是增函数还是减函数，并证明． (2)设，求证：． 【经典例题五 根据函数的最值求参数】 【例5】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 【经典例题六 函数图象相关问题】 【例6】（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设函数的定义域是，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024高一下·上海·专题练习）已知函数则下列描述中正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数有最小值，无最大值 D．函数的图象是两条射线 2．（2022高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)作出，的图像； (2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示． 【经典例题七 复合函数的单调性】 【例7】（2024高一·全国·专题练习）下列结论正确的是（    ） A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 1．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 3．（23-24高一下·陕西安康·阶段练习）设函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间的最大值和最小值． 【经典例题八 根据函数的单调性解不等式】 【例8】（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有. (1)求的值； (2)若，求x的取值范围. 【经典例题九 比较函数值的大小关系】 【例9】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）已知，点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)设，试比较的大小，并说明理由； (2)若关于x的不等式在其定义域上恒成立，求实数m的取值范围. 【经典例题十 根据解析式直接判断函数的单调性】 【例10】（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·山东·期中）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·贵州遵义·期末）设函数，若，则 ． 3．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【经典例题十一 函数不等式恒成立问题】 【例11】（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知 （1）若时，的两根为，则的最小值为 . （2）若时，恒成立，则的最小值为 . 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 【经典例题十二 不同函数的最值问题】 【例12】（23-24高一上·江西南昌·期中）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 2．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）若函数（常数），对于任意两个不同的、，当、时，均有（为常数，）成立，如果满足条件的最小正整数为，则实数的取值范围是 . 3．（21-22高一上·河南·阶段练习）已知是二次函数，且满足，，． (1)求函数的解析式，并证明在上单调递增； (2)设函数，，，求函数的最小值． 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知时，，若，且，满足：，对任意的，均有成立，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 7．（21-22高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对于一切恒成立，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）下列说法，正确的是（    ） A．不等式的解集为； B．在区间的值域为； C．的最小值为3； D．若二次函数在区间上为减函数，那么 9．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 10．（23-24高一上·广东惠州·期中）下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 12．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 14．（2022高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是 ． 15．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是 . 16．（21-22高一上·广东湛江·期中）已知函数，设在上单调递增，在上单调递减；． (1)若，求在上的值域； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明： (1)函数在区间上是严格减函数； (2)函数，是严格增函数． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 20．（25-26高一上·上海·单元测试）已知函数． (1)若，在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数在区间上的值域是（m、），求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数的单调性与最值重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优含多选题） 题型一 定义法判断或证明函数的单调性 题型二 求函数的单调区间 题型三 根据函数的单调性求参数值 题型四 利用函数单调性求最值或值域 题型五 根据函数的最值求参数 题型六 函数图象相关问题 题型七 复合函数的单调性 题型八 根据函数的单调性解不等式 题型九 比较函数值的大小关系 题型十 根据解析式直接判断函数的单调性 题型十一 函数不等式恒成立问题 题型十二 不同函数的最值问题 知识点01：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点02：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【经典例题一 定义法判断或证明函数的单调性】 【例1】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 【分析】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性. 【详解】对A，令，则， ，即， 故，所以A不正确； 对B，取代入：， 即，即在上为奇函数， 设， 所以，且， 故： 即：，故B错误； 对C，由B知函数在上单调递增，故C错误； 对D，由C结合函数为奇函数且， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：D. 1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 【答案】A 【分析】对题中条件进行变化，构造新函数，根据增、减函数的定义即可. 【详解】不妨令， ， 令，， 又，∴是增函数． 故选:A. 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，讨论其单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】因为，且， 则两边同时除以可得， 令，则在上单调递减， 由得， 又因为， 所以，解得， 故答案为：. 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【答案】(1)，. (2)为上的减函数，理由见解析. 【分析】（1）取，可得，取，，解得，取，解得，即可得出答案. （2）由题意可知，设，令，则，作差，进而可得答案. 【详解】解：（1）取，则，， 取，则，， 取，解得,则， 取，则，解得， （2）由题意可知， 设，令，则， 所以， 所以， 所以函数在R上为减函数. 【经典例题二 求函数的单调区间】 【例2】（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【详解】解：由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 1、（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 2．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用分离常数法，得，结合的范围可得答案. 【详解】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 3．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）判断函数的单调递减区间并加以证明. 【答案】函数的单调递减区间为，证明见解析. 【分析】首先根据对勾函数单调性得到其单调区间，再利用定义法即可证明. 【详解】函数的单调递减区间为，证明如下： 令， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减，即函数的单调递减区间为. 【经典例题三 根据函数的单调性求参数值】 【例3】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解. 【详解】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 2．（2024高三·全国·专题练习）任意时，恒成立，且函数单调，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数解析式，再求出函数值. 【详解】依题意，令，则，且， 由函数单调，得为正常数，于是，解得， 因此，所以. 故答案为：2020 3．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上是严格增函数，且． (1)求证：； (2)已知，且，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）依题意求得即可得证. （2）由题意求得，故可将不等式转化成，再根据函数定义域和单调性即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以， 因为函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 【经典例题四 利用函数单调性求最值或值域】 【例4】（23-24高一下·广东广州·期中）对任意实数，规定取三个值中的最小值，则函数（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】A 【分析】先依次解出不等式、和的解，进而得函数的解析式，再通过研究函数单调性即可得解. 【详解】因为；；， 所以可得， 又将代入得；将代入得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 将代入得，将代入得， 所以函数在处取得最大值为，无最小值. 故选：A. 1、（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据的单调区间，分、、和讨论即可. 【详解】因为在单调递减，在单调递增， 若，即 时，则在上单调递减， 所以，此时的最小值为1． 若，即 ，则在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即 ，则在上单调递减， 在上单调递增，所以，此时的最小值为． 综上，的最小值为． 故选：D 2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点与，则函数在区间上的最大值为 . 【答案】 【分析】由条件列方程求，由此可得函数的解析式，再由基本不等式求其最大值. 【详解】因为函数的图象过点与， 所以，，则， 解得，， 故函数的解析式为. 又， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 函数在区间上的最大值为. 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上且，，当，时，有． (1)试判断函数在上是增函数还是减函数，并证明． (2)设，求证：． 【答案】(1)增函数，证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）结合已知条件，利用函数单调性定义证明即可. （2）由（1）知在上的最大值为，又，即，则. 【详解】（1）任取，且，则，又． 于是． 由当，时，有， 则， 又，则，即， ∴在上是增函数． （2）由（1）知在上是增函数，则在上的最大值为， 则， 又，则，即， ． 【经典例题五 根据函数的最值求参数】 【例5】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得的表达式，结合对勾函数的单调性，分类讨论a的取值范围，即分和两种情况，根据的值域列式求解，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，在上单调递减且的值域为， 则，， 解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以为此时的最小值，， 因为的值域为， 所以，即， 解得，所以， 综上，a的取值范围为． 故选：B． 1．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对反比例型函数分离常数，由时的最小值为得到n，求出m范围. 【详解】由， 因为在上的最小值为， 所以时，， 所以， 易知反比例型函数在单调递减. 所以在处取到的最小值为， 即 ， 所以. 故选：D 2．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】原不等式可化为，设，只需求出在时的最小值，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为，设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为， 因为恒成立，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 【答案】(1) (2)在上单调递减；证明见解析 (3)1 【分析】（1）代入已知点坐标求得参数值得函数解析式； （2）根据单调性定义证明； （3）结合单调性得最小值从而可求解． 【详解】（1）由题意知函数的图像经过点， 故，解得， 故； （2）函数在上单调递减； 证明：设，且， 则 ， 因为，故， 即，故函数在上单调递减. （3）由（2）知在是减函数， 因此，解得或， 又，所以． 【经典例题六 函数图象相关问题】 【例6】（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设函数的定义域是，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象，求出方程的实数解，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域是，满足，则， 且当时，， 当时，，则， 当时，，则， 且当时，， 则， 令，解得或，如下图所示： 因为对任意，都有，由图可知，， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 1．（2024高一下·上海·专题练习）已知函数则下列描述中正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数有最小值，无最大值 D．函数的图象是两条射线 【答案】B 【分析】画出函数图象即可求解. 【详解】函数的图象如下图所示： 由图可得：函数的图象无对称轴，故A选项错误； 函数的图象关于点对称，故B选项正确； 函数有最小值，有最大值，故C选项错误； 函数的图象是两条射线和一条线段，故D选项错误. 故选：B． 2．（2022高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分， 从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点， 即， 所以． 故答案为：2. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)作出，的图像； (2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据绝对值的性质去绝对值，即可得函数表达式，进而根据一次函数的性质作出图象即可， （2）根据的定义，即可结合函数图象求解. 【详解】（1） 图像如图． （2）函数的图像如图． 表达式为 【经典例题七 复合函数的单调性】 【例7】（2024高一·全国·专题练习）下列结论正确的是（    ） A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 【答案】C 【分析】 根据反比例函数、二次函数以及分段函数的单调性，结合图形，依次判断即可求解. 【详解】 对A，由，解得或， 则函数的定义域为或，如图， 所以函数的单调增区间为，故A错误； 对B，， 函数的定义域为，所以在和上分别为减函数， 但不能说定义域内单调递减，故B错误； 对C，函数，如图， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为，故C正确； 对D，当时，函数的图象开口向下，对称轴为， 所以的单调减区间为， 又当时，为减函数，但中间不能用“”这个符号，故D错误. 故选：C 1．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再确定在上单调递增，结合复合函数单调性，即可求得答案. 【详解】由可得， 解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为， 故选：C 2．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围. 【详解】依题意，在区间上单调递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一下·陕西安康·阶段练习）设函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的单调递增区间是；单调递减区间是 (3)； 【分析】（1）根据定义域的定义和一元二次不等式的解法求解即可 （2）根据复合函数的单调性求解即可 （3）根据函数单调性求最值即可 【详解】（1）由， 所以的定义域 （2）由（1）知的定义域， 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 （3）由（2）知在单调递增，在单调递减， 在区间的最大值为，又 所以在区间的最小值为， 故在区间的最大值为，最小值为， 【经典例题八 根据函数的单调性解不等式】 【例8】（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 由，有，即. 故选：A. 1．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 2．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，解之即可得解. 【详解】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用函数单调性的定义判断得在上单调递减，从而分类讨论即可得解. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有. (1)求的值； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用赋值法，令，得，就可解得； （2）由，从而将转化成，然后函数的单调性和定义域建立关系，解之即可. 【详解】（1）因为对于任意，有， 所以令，得， 所以； （2）设，则. 又因为当时，， 所以，即， 所以在定义域内为增函数. ，即时，原不等式可化为. 又因为在定义域上为增函数， 所以，解得或. 又因为，所以. 所以的取值范围为. 【经典例题九 比较函数值的大小关系】 【例9】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，分析单调性即可得结果． 【详解】由题意可知，可得， 构造函数，则是上的减函数. 故，即，由此得， 故选：C. 1．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）已知，点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的对称性和单调性求解即可. 【详解】二次函数，其图象的对称轴方程为， 而，所以，即， 当时，是单调增函数， 因为，所以，所以，即， 综上，． 故选：D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】由条件②可得，结合条件①可得；由条件③可得在单调递减,结合条件②可得在上单调递增，结合单调性可以得到函数值的大小顺序. 【详解】由条件②函数的图象关于直线对称，所以， 由①，可得， 因为，即， 所以，所以， 由③知，所以函数在上单调递减， 由条件②函数的图象关于直线对称， 所以在单调递增， 所以，即． 故答案为： 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)设，试比较的大小，并说明理由； (2)若关于x的不等式在其定义域上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明方法，可得答案； （2）由题意整理不等式，根据二次不等式恒成立，可得答案. 【详解】（1）， 理由如下: ， 因为 ， 则 ， 所以， 即 ， 所以，即 （2）因为函数，则不等式可化为， 化简可得对一切恒成立，所以，解得， 所以的取值范围为. 【经典例题十 根据解析式直接判断函数的单调性】 【例10】（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数在各段的单调性，由，分和两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】因为，则当时，即在上单调递减， 当时，则在上单调递增， 又， 若，即或时，由，则， 即或，解得或， 若，即时，由， 可得，即，解得或（舍去）， 所以或，又， 所以或， 综上可得或，即. 故选：A 1．（23-24高一上·山东·期中）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性的定义知函数在在上为减函数，然后逐项分析即可. 【详解】根据题意，“对任意的，使得”， 则函数在上为减函数. 对于选项A，为二次函数，其开口向下且对称轴为， 所以在上递减，符合题意； 对于选项B，，因为在上递增，在上递增， 所以由单调性的性质知，在上递增，不符合题意； 对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意； 对于选项D，在上单调递增，不符合题意. 故选：A. 2．（23-24高一上·贵州遵义·期末）设函数，若，则 ． 【答案】 【分析】由分段函数各区间对应函数的单调性及已知条件求得，进而结合解析式求目标式函数值. 【详解】由在上递增且值域为，在上递增且值域为， 又，故，即，可得， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集，可得对应方程的解，进而可得参数值及函数解析式； （2）方法一：分离参数，根据函数单调性可得最值及参数范围；方法二：结合二次函数的最值情况分情况讨论可得参数范围. 【详解】（1）因为的解集是， 则的两根是和， 由根于系数关系可得， 解得， 所以； （2）方法一：关于的不等式在上有解，等价于，使得， 则，， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取到最大值，， 所以， 故的取值范围是； 方法二：由题知，即关于的不等式在上有解，令，等价于在区间上的最小值， 图象的对称轴是，根据二次函数图象对称轴和区间位置关系可知， ①当，即时，此时的最小值，则，解得； ②当，即时，的最小值，此时恒成立，所以得； ③当，即时，，则由，解得； 综上所述，的取值范围是. 【经典例题十一 函数不等式恒成立问题】 【例11】（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当，，明显函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是. 故选：D. 1．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知 （1）若时，的两根为，则的最小值为 . （2）若时，恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】（1）依题意可得，列出韦达定理，则，结合二次函数的性质计算可得； （2）令解得，分析可得，从而得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）若时 ，， 方程，即，显然， 所以，， 则， 所以当时，取得最小值，且最小值为． （2），当时，恒成立， 由解得， 当时，；当时，； ∴当时，，当时，； ∴，∴， ，当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值是． 故答案为：； 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干函数的性质求解； （2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解. 【详解】（1）， 设 则. 由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 又当时，，当时，， 所以，即的值域为. （2）因为在上为减函数，故. 由题意，的值域是的值域的子集， . 【经典例题十二 不同函数的最值问题】 【例12】（23-24高一上·江西南昌·期中）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对二次函数进行配方，结合函数的性质可得的值域，进而得到的值域． 【详解】，故 所以函数的值域为， 故选：B． 1．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【分析】将已知转化为关于的二次方程，根据，可求得最值. 【详解】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，. 故选：D 2．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）若函数（常数），对于任意两个不同的、，当、时，均有（为常数，）成立，如果满足条件的最小正整数为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知对任意的、且恒成立，且对任意的、且有解，进而可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 ， 因为，由可得， 由题意可得对任意的、且恒成立， 且对任意的、且有解， 即，即恒成立， 或有解， 因为、且，则， 若恒成立，则，解得； 若或有解， 则或，解得或； 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（21-22高一上·河南·阶段练习）已知是二次函数，且满足，，． (1)求函数的解析式，并证明在上单调递增； (2)设函数，，，求函数的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用待定系数法即求，再利用单调性的定义可证； （2）令，则，，利用二次函数的性质分类讨论即求. 【详解】（1）设， ，， 即 ，解得， ，则. 证明：任取，，且 因为，则， 所以， ∴在上单调递增． （2）令，则由（1）知， 则，记， 当时，； 当时，； 当时，． 故． 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性求解即可． 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域满足，即． 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以函数的单调递增区间为． 故选：D． 2．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊值法判断A,B,C选项，应用一次函数的单调性性质判断D选项. 【详解】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误； 对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【分析】利用给定条件结合函数单调性的定义求解即可. 【详解】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确. 故选：B 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知时，，若，且，满足：，对任意的，均有成立，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得到，然后将恒成立转化为，最后求最值即可. 【详解】由得， 即， 即， 因为，，所以，即， 可转化为， 因为，所以， 所以，故实数的最大值为. 故选：A. 二、多选题 6．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 【答案】AD 【分析】利用二次函数的性质求解. 【详解】的对称轴为， 因为函数在区间上单调， 所以或，解得或． 故选：AD 7．（21-22高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对于一切恒成立，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意利用参变分离可得，结合对勾函数单调性求其最小值，进而可得结果. 【详解】因为，且，可得， 因为在内单调递减，则， 可得，即， 结合选项可知ABC正确，D错误. 故选：ABC. 8．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）下列说法，正确的是（    ） A．不等式的解集为； B．在区间的值域为； C．的最小值为3； D．若二次函数在区间上为减函数，那么 【答案】CD 【分析】对A：直接求得不等式的解集，即可判断；对B：根据二次函数的单调性，结合函数定义域，即可求得值域；对C：利用基本不等式，求和的最小值，即可求得结果；对D：根据二次函数的单调性，结合对称轴方程，列出不等式，即可求得参数范围. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，其对称轴方程为， 故该二次函数在单调递减，在单调递增； 当时，；当时，；当时，； 故该二次函数在区间的值域应为，B错误； 对C：因为，故， 当且仅当，且时，也即时取得等号，C正确； 对D：二次函数的对称轴为，要在区间上为减函数， 则，D正确. 故选：CD. 9．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】由已知结合二次函数及分段函数的值域及单调性依次判断各选项即可得出结果. 【详解】当时，的值域为，当时，的值域不为，A正确，B错误. 若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确. 若在上单调递减，则的取值范围为D错误. 故选：AC 10．（23-24高一上·广东惠州·期中）下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一次函数和二次函数以及反比例函数的单调性即可判断. 【详解】由题意得在上单调递增， 对A，，根据一次函数性质知为单调减函数，故A错误； 对B，，根据反比例函数性质知在上单调递增，故B正确； 对C，，根据二次函数性质知在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对D，，当时，，则其在上单调递增，故D正确. 故选：BD. 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将解析式进行分离变形，即可结合反比例函数的单调性求解. 【详解】因为， 所以， 所以在上严格增函数 所以，． 故答案为： 12．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，可求出，再由题意可得出，结合函数的定义域和单调性可得，解不等式即可得出答案. 【详解】令，则，则， 由可得：， 因为是定义在区间上的增函数， 所以，解得：. 则的取值范围为:. 故答案为：. 13．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】根据题意分离参数，进而构造函数求定区间的最值即可. 【详解】当时，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则， 令，则在单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 14．（2022高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分， 从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点， 即， 所以． 故答案为：2. 15．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出 的值域, 将问题转化为, 然后分 ， 讨论即可求解. 【详解】因为函数 在上单调递增, 所以当 时, , 依题意, 对任意 时, 都有, 对任意 时, 都有, 即, 因为 , 所以当 , 即 时, , 解得 ; 又因为，所以，解得. 当 , 即 时, , 解得 (舍去)； 当 , 即 时, ，化简得：, 解得 ， 又因为，，解得. 综上, 实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 16．（21-22高一上·广东湛江·期中）已知函数，设在上单调递增，在上单调递减；． (1)若，求在上的值域； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二次函数的性质求解值域即可； （2）先求出的等价关系，然后将问题转化为，利用真子集的定义列式求解即可． 【详解】（1）当时，， 故的值域为； （2）图象的对称轴为直线， 由题意得，即， 因为是的充分不必要条件， 所以， 则(等号不同时成立)，解得， 经检验，当或时，， 所以的取值范围为． 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）直接根据函数解析式得出函数性质，作图即可. （2）根据分段函数性质对分类讨论，列出方程即可求解. 【详解】（1）函数的图象如下图所示： （2）当时，，可得：； 当时，，可得：； 当时，，可得； 综上所述，a的取值构成集合为. 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明： (1)函数在区间上是严格减函数； (2)函数，是严格增函数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论 【详解】（1）任取，且， 则 ． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴函数在上是严格减函数． （2）任取， 则 ． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴函数在上是严格增函数． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二次函数的图象与开口方向可求的范围； （2）任取且，利用单调性的定义可得，可求的范围. 【详解】（1）根据题意得函数图像开口向下，对称轴为． 函数在区间上是严格增函数，所以，∴． （2）任取且，则恒成立， 所以，即， 整理得． ∵，∴，∴．∵，，∴． 20．（25-26高一上·上海·单元测试）已知函数． (1)若，在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数在区间上的值域是（m、），求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由，在恒成立，采用分离参数求最值，即可求出实数a的取值范围；（2）因为函数在上为严格增函数，所以时左端点取得最小值，在右端点取得最大值，再借助一元二次函数根的分布列出不等式，从而求出实数a的取值范围． 【详解】（1）由可得：，即，在上恒成立， 又因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以. （2）因为函数在上为严格增函数， 所以当时，； 当时，， 即m、n为方程的两个不同的正根，也就是方程有两个不同的正根， 于是，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $$