第四讲 工程问题之周期交替型（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

第四讲 工程问题之周期交替型 【知识梳理】 基本关系式: 工作总量=工作时间×工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 甲乙合作效率和=甲的效率+乙的效率 题型： ①完整周期轮流，如甲乙甲乙甲乙……或乙甲乙甲乙甲……用时相同； ②整天数轮流，如甲乙甲乙甲乙……或乙甲乙甲乙甲……用时不同，则不是完整的周期。 方法： ①假设工作总量为两人工作时间的最小公倍数； ②找准1个工作周期的工作时间和工作份数； ③计算需要几个完整周期和剩余的份数； ④分析剩余份数需要时间，并计算总时间。 【例题精讲与精练习】 【例题1】一件工程，甲单独做要小时，乙单独做要小时，如果接甲、乙、甲、乙…顺序交替工作，每次小时，那么需要多长时间完成？ 【例题精练】 1、 一项工程，乙单独做20天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做需要几天可以完成？ 2、蓄水池装甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁…的顺序轮流各开1小时，则多长时间后水开始溢出水池？ 【例题2】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止。如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？ 答案： 【例题精练】 1、现有A、B、C三位老师参加民校联考试卷改阅，已知A老师单独改阅需10小时，B老师单独改阅需8小时，C老师单独改阅需6小时。 （1）如果三位老师同时改阅需要多少时间？ （2）如果按照A、B、C、A、B、C…的顺序每人改阅1小时，则改阅完全部试卷需要多少时间？ （3）如果调整（2）问中的改卷顺序，是否可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 工程问题之周期交替型 【知识梳理】 基本关系式: 工作总量=工作时间×工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 甲乙合作效率和=甲的效率+乙的效率 题型： ①完整周期轮流，如甲乙甲乙甲乙……或乙甲乙甲乙甲……用时相同； ②整天数轮流，如甲乙甲乙甲乙……或乙甲乙甲乙甲……用时不同，则不是完整的周期。 方法： ①假设工作总量为两人工作时间的最小公倍数； ②找准1个工作周期的工作时间和工作份数； ③计算需要几个完整周期和剩余的份数； ④分析剩余份数需要时间，并计算总时间。 【例题精讲与精练习】 【例题1】一件工程，甲单独做要小时，乙单独做要小时，如果接甲、乙、甲、乙…顺序交替工作，每次小时，那么需要多长时间完成？ 答案： 1÷（+）=3（组） 3×（+）= 1-= -= ÷=（小时） 2×3+=6（小时） 【例题精练】 1、 一项工程，乙单独做20天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做需要几天可以完成？ 答案：依据分析可得甲的工作效率是乙工作效率的2倍。 1÷（×2） ＝1÷ ＝10（天） 答：这项工程由甲单独做需要10天可以完成。 2、蓄水池装甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁…的顺序轮流各开1小时，则多长时间后水开始溢出水池？ 答案：20小时。 【分析】将蓄水池的容积看作单位“1”，则甲、乙、丙、丁的效率分别为：、、、，根据开关顺序，发现以甲、乙、丙、丁为一个周期，计算每个周期水量的变化，结合甲、乙、丙、丁的效率计算水池溢出的准确时间即可。 【解答】解：四个水管开一个周期的效率为： 这样5个周期（即20小时）后， （15） ＝（1） ＝（1） 3 （小时） 水开始溢出水池共需： 4×5 ＝20 ＝20（小时） 答：水开始溢出水池共需要20小时。 【例题2】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止。如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？ 答案： 根据题意，有： 可知，甲做小时与乙做小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量。 所以，乙单独工作需要小时。 答：乙单独做这个工程需要7.3小时。 【例题精练】 1、现有A、B、C三位老师参加民校联考试卷改阅，已知A老师单独改阅需10小时，B老师单独改阅需8小时，C老师单独改阅需6小时。 （1）如果三位老师同时改阅需要多少时间？ （2）如果按照A、B、C、A、B、C…的顺序每人改阅1小时，则改阅完全部试卷需要多少时间？ （3）如果调整（2）问中的改卷顺序，是否可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成？ 答案：（1）2小时 （2）7小时56分钟 （3）可以 【详解】（1）1÷（＋＋） ＝1÷（＋＋） ＝1÷ ＝2（小时） 答：如果三位老师同时改阅需要2小时。 （2）按照A、B、C、A、B、C…的顺序，两轮后剩余工作量为： 1－（＋）×2 ＝1－2 ＝1－ ＝ 剩余工作量由A独做1小时后剩下： －＝ 最后剩下的工作量由B独做需要的时间： ÷×60 ＝×8×60 ＝56（分钟） 因此，总共需要的时间： 6时＋1时＋56分钟＝7时56分钟 答：改阅完全部试卷需要7小时56分钟。 （3）按C、B、A的顺序，2轮之后剩余工作量： 1－（＋＋）×2 ＝1－2 ＝1－ ＝ 剩余工作量由C独做1小时后剩下： －＝； 最后剩余的工作量由B独做需要的时间： ÷×60 ＝×8×60 ＝24（分钟） 所以总共用的时间为： 6时＋1时＋24分＝7时24分钟 7小时56分钟－7时24分钟＝32（分钟） 故可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$