第4章 第2讲 抛体运动（word教师用书）-【高考领航】2025年高考物理大一轮复习

　抛体运动 一、平抛运动 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动。 (2)竖直方向：自由落体运动。 4．基本规律(如图) (1)位移关系 (2)速度关系 二、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动。 (2)竖直方向：匀变速直线运动。 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) (1)水平方向：v0x＝v0cos_θ，F合x＝0。 (2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg。 1．判断正误 (1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(×) (2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度的方向也时刻在变化。(×) (3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。(×) (4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长。(×) (5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。(√) (6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。(√) 2．(鲁科版教材原题改编)一架投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平匀速飞行，从飞机上每隔1 s投下1包救援物资，先后共投下4包，若不计空气阻力，则4包物资落地前(　　) A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的 B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的 C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的 D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的 解析：C　匀速飞行的飞机上落下的物资做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，且与飞机的速度相同，因此，4包物资在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直线，因各物资落地间隔时间相等，落地点是等间距的，故选项C正确，A、B、D均错误。 3．(人教版教材原题改编)为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300 m的斜坡的中点P，如图，若sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为(　　) A．h＝170 m　v＝30 m/s B．h＝135 m　v＝40 m/s C．h＝80 m　v＝30 m/s D．h＝45 m　v＝40 m/s 解析：A　在P点对速度分解有tan θ＝＝，x＝cos 37°＝vt，联立解得t＝4 s，v＝30 m/s；则炸弹竖直位移为y＝gt2＝80 m，故无人机距A点的高度h＝y＋sin θ＝170 m，故选项A正确。 考点一　平抛运动的基本规律(基础考点) 1．平抛(或类平抛)运动所涉及物理量的特点 物理量 公式及图示 决定因素 飞行 时间 t＝ 取决于下落高度h和重力加速度g，与初速度v0无关 水平 射程 x＝v0t＝v0 由初速度v0、下落高度h和重力加速度g共同决定 落地 速度 v＝＝ 与初速度v0、下落高度h和重力加速度g有关 速度改 变量 由重力加速度g和时间间隔Δt共同决定，Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下 2.两个重要推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即xB＝，如图所示。 (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α。 1．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是(　　) A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于 C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于 解析：B　由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，有t＝，故B正确。 2．如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为3h，B点离地面的高度为2h。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在C点相遇，C点离地面的高度为h。已知重力加速度为g，则(　　) A．两个小球一定同时抛出 B．两个小球一定同时落地 C．两个小球抛出的时间间隔为(2－) D．两个小球抛出的初速度之比＝ 解析：C　平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由h＝gt2，得t＝ ，由于A到C的竖直高度较大，所以从A点抛出的小球运动时间较长，应A先抛出；它们在C点相遇时A的竖直方向速度较大，离地面的高度相同，所以A小球一定先落地，故A、B错误；由t＝ 得两个小球抛出的时间间隔为Δt＝tA－tB＝ － ＝(2－)，故C正确；由x＝v0t得v0＝x ，x相等，则小球A、B抛出的初速度之比＝ ＝ ＝，故D错误。 3．如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可视为质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则(　　) A．P→Q所用的时间t＝2 B．P→Q所用的时间t＝ C．初速度v0＝b D．初速度v0＝b 解析：C　物块在斜面上的加速度为a＝gsin θ，根据l＝at2，得t＝ ，故A、B错误；物块的初速度为v0＝＝b ，故C正确，D错误。 4．(2023·全国新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g) 解析：石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有 2gh＝vy2 可得落到水面上时的竖直速度vy＝ 由题意可知≤tan θ 即v0≥ 石子抛出速度的最小值为。 答案： 考点二　有约束条件的平抛运动模型(能力考点) 维度1　斜面约束下的平抛运动 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平v x＝v 0 竖直v y＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v 0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝ 得t＝ 在运动起点同时分解v 0、g 由0＝v 1－a1t，0－v12＝－2a1d，得t＝， d＝ 分解平行于斜面的速度v 由v y＝gt得t＝ 　(多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则(　　) A．落于B点的小球飞行时间为t B．v2＝gt C．落于C点的小球的水平位移为gt2 D．A点距水平面MN的高度为gt2 解析：ACD　落于C点的小球速度垂直于QO，则两分速度相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，故选项C正确；落于B点的小球分解位移如图所示，其中，B、C在同一水平面，故飞行时间都为t，由图可得tan 45°＝＝，所以v2＝，故选项A正确，B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，联立以上几式可得h＝gt2，故A距水平面高度 H＝h＋gt2＝gt2，故选项D正确。 维度2　曲面约束下的平抛运动 (1)如图甲所示，小球从半圆弧左边平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。 (2)如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。 (3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。 　(2024·四川宜宾模拟)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则(　　) A．两小球同时落到D点 B．两小球初速度大小之比为∶3 C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等 D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为∶1 解析：B　由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，选项A错误；设圆弧形槽半径为R，对从A点抛出的小球，R＝v1tA，tA＝ ，则v1＝R ＝ ，对从C点抛出的小球，Rsin 60°＝v2tC，tC＝ ＝ ，则v2＝＝ ，v1∶v2＝∶3，选项B正确；设在D点速度方向与OD线夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝，由v1∶v2＝∶3和vy1∶vy2＝tA∶tC＝∶1知tan θ1≠tan θ2，选项C错误；设A、C两点抛出球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA＝＝ ，vC＝＝ ，则vA∶vC＝∶，选项D错误。 维度3　台阶约束下的平抛运动 　如图所示，在楼梯口，用弹射器向第一级台阶弹射小球。台阶高为H，宽为L，A为竖直踢脚板的最高点，B为水平踏脚板的最右侧点，C是水平踏脚板的中点。弹射器沿水平方向弹射小球，弹射器高度h和小球的初速度v0可调节，小球被弹出前与A的水平距离也为L。某次弹射时，小球恰好没有擦到A而击中B，为了能击中C点，需调整h为h′，调整v0为v0′，下列判断正确的是(　　) A．h′的最大值为2h B．h′的最小值为2h C．v0′的最大值为v0 D．v0′的最小值为v0 解析：C　小球做平抛运动有y＝gt2，x＝v0t，可得v0＝x ，y＝∝x2，调整前＝，即h＝H，调整后考虑临界情况，小球恰好没有擦到A而击中C，则＝，即 h′＝H，所以h′＝h，从越高处抛出而击中C点，抛物线越陡，越不容易擦到A点，所以h′＝h是满足条件的最小值，故A、B错误；由v0＝x ，且两次平抛从抛出到A点过程，x都为L，所以＝ ＝，即v0′＝v0，由v0＝x ，知v0′＝v0是满足条件的最大值，故C正确，D错误。 考点三　斜抛运动的理解和应用(能力考点) 1．研究方法：运动的合成与分解(以斜上抛运动为例) (1)水平方向：匀速直线运动， x＝v0xt＝v0tcos θ。 (2)竖直方向：匀变速直线运动， y＝v0yt－gt2＝v0tsin θ－gt2。 2．解题技巧 (1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程可视为平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。 　(2023·山东卷)电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。 　 甲　　　　　　　　　　　乙 (1)求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H； (2)已知电容器储存的电能E＝CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15%，灭火弹的质量为3 kg，电容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U应设置为多少？ 解析：(1)灭火弹做斜上抛运动，则水平方向上有 l＝v0cos θ·t 竖直方向上有H＝v0sin θ·t－gt2 代入数据联立解得H＝60 m。 (2)根据题意可知Ek＝ηE＝15%×CU2 又因为Ek＝mv02 联立可得U＝1000 V。 答案：(1)60 m　(2)1000 V 5．(2023·湖南卷)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　) 　 图(a)　　　　　　　　图(b) A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于v1 C．两谷粒从O到P的运动时间相等 D．两谷粒从O到P的平均速度相等 解析：B　抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；谷粒2做斜上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同。在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2运动时间较长，C错误；谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。 6．(2022·山东卷)(多选)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为(　　) A．v＝5 m/s　　　　　　 B．v＝3 m/s C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m 解析：BD　建立如图所示的三维坐标系，网球在竖直方向做竖直上抛运动，上升的最大高度h1＝(8.45－1.25) m＝7.20 m，所以在击球点竖直方向的分速度v0z＝＝12 m/s，上升时间t1＝＝1.2 s，则v0y＝ m/s＝4 m/s，故沿x方向的分速度v0x＝＝3 m/s；到达最高点P与墙壁碰撞后，沿x方向的分速度v0x＝3 m/s，沿y方向的分速度大小变为v0y′＝4×0.75 m/s＝3 m/s，所以网球碰撞以后的速度大小为v＝＝3 m/s，所以B项正确，A项错误。下落的时间t2＝ s＝1.3 s，网球着地点到墙壁的距离d＝ v0y′t2＝3.9 m，所以D项正确，C项错误。 素养培优4　平抛运动中的临界和极值问题 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度。 (2)物体的速度方向恰好为某一方向。 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 　如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上，竖直向上跳起正对球网将球水平击出。(不计空气阻力，取g＝10 m/s2) (1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？ (2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。 解析：(1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x1＝3 m，竖直位移y1＝h2－h1＝(2.5－2) m＝0.5 m，根据位移关系x＝vt，y＝gt2，可得v＝x，代入数据可得v1＝3 m/s，即所求击球速度的下限。 甲 设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m，竖直位移y2＝h2＝2.5 m，代入速度公式v＝x ，可求得v2＝12 m/s，即所求击球速度的上限。欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足3 m/s<v≤12 m/s。 (2)设击球点高度为h3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示。 乙 设此时球的初速度为v3，击球点到触网点的水平位移x3＝3 m，竖直位移y3＝h3－h1＝h3－2 m，代入速度公式v＝x可得v3＝3 ，同理对压线点有x4＝12 m，y4＝h3，代入速度公式v＝x可得v3＝12 ，联立解得h3≈2.13 m，即当击球高度小于2.13 m 时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界。 答案：见解析 【素养达标】 1．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的阻力，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　) A． ＜v＜L1 B． ＜v＜ C． ＜v＜ D． ＜v＜ 解析：D　乒乓球做平抛运动，落到右侧台面上时经历的时间t1满足3h＝gt12。当v取最大值时其水平位移最大，落点应在右侧台面的台角处，有vmaxt1＝ ，解得vmax＝；当v取最小值时其水平位移最小，发射方向沿正前方且恰好擦网而过，此时有3h－h＝gt22 ，＝vmint2，解得vmin＝ ，故D正确。 2．某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为(　　) A．0 B．0.1 m C．0.2 m D．0.3 m 解析：C　小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒定律，有mg(H－h)＝mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝gt2，联立解得x＝2，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C项正确。 学科网（北京）股份有限公司 $$