第1章 专题突破课2 追及和相遇问题（word教师用书）-【高考领航】2025年高考物理大一轮复习

考点一　追及和相遇问题(能力考点) 1．牢记“一个流程” 2．把握“两种情景” 物体A追物体B，开始二者相距x0，则： (1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。 (2)要使两物体恰不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB。 　汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2。从此刻开始计时。求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少； (2)经过多长时间A恰好追上B。 解析：(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即 v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s 此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m 汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m 故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m。 (2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝＝5 s 运动的位移xB′＝＝25 m 汽车A在t1时间内运动的位移 xA′＝vAt1＝20 m 此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m 汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s 故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s。 答案：(1)16 m　(2)8 s 解答追及相遇问题时，注意寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。 1．(2024·江西赣州高三模拟)在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道。如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、B两车相距s0＝4 m时，B车正以vB＝4 m/s速度匀速行驶，A车正以vA＝7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程的影响。 (1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能避免与B车相撞； (2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安全超车。 解析：(1)A车减速到与B车同速时，若恰未与B车相碰，则A车将不会与B车相碰，设经历的时间为t 则A车位移xA＝t① B车位移xB＝vBt② xA－xB＝s0③ 由①②③式联立解得t＝ s 则A车与B车不相碰，刹车时的最小加速度 amin＝＝ m/s2＝ m/s2。 (2)设A车加速t′时间后车尾到达B车车头，则s0＋2L＝vAt′＋at′2－vBt′ 解得t′＝2 s 在此时间内，A车向前运动了 xA1＝vAt′＋at′2 计算可得xA1＝20 m>s＝16 m，说明在离并道对接口16 m的距离上以3 m/s2的加速度加速不能实现安全超车。 答案：(1) m/s2　(2)见解析 考点二　图像法在追及相遇问题中的应用(能力考点) 1．x-t图像、v-t图像中的追及相遇问题 (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2．利用v-t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v-t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。 3．若为x-t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a-t图像，可转化为v-t 图像进行分析。 　(2021·海南卷)(多选)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移—时间(x-t)图像和速度—时间(v-t)图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是(　　) 解析：BC　A项中，甲乙在t0时刻之前位移没有相等的时刻，即两人在t0时刻之前不能相遇，选项A错误；B项中，甲乙在t0时刻之前图像有交点，即此时位移相等，即两人在t0时刻之前能再次相遇，选项B正确；因v-t图像的面积等于位移，则甲乙在t0时刻之前位移有相等的时刻，即两人能再次相遇，选项C正确；因v-t图像的面积等于位移，由图像可知甲乙在t0时刻之前，甲的位移始终大于乙的位移，则两人不能相遇，选项D错误。 　(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图像如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　) A．在t＝1 s时，甲车在乙车后 B．在t＝0时，甲车在乙车前方7.5 m处 C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s D．甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 解析：BD　根据v-t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动。t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v-t图线与时间轴所围“面积”表示位移知，0～3 s内甲车位移x甲＝×3×30 m＝45 m，乙车位移x乙＝×3×(10＋25) m＝52.5 m，故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m处，选项B正确；0～1 s内，x甲′＝×1×10 m＝5 m，x乙′＝×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5 m＝Δx1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45－5 m＝40 m，选项D正确。 　(2024·山东泰安市月考)如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移—时间(x-t)或速度—时间(v-t)图像，t1时刻两车恰好到达同一地点。关于两车在t1～t2时间内的运动，下列说法正确的是(　　) A．若是x-t图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大 B．若是x-t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小 C．若是v-t图像，则两车间的距离先增大后减小 D．若是v-t图像，则两车间的距离不断增大 解析：D　若是x-t图像，当甲、乙两车的速度相同时，相对速度为零，距离最远，故A、B错误；若是v-t图像，因为图像与横轴所围图形面积表示位移，则在t1～t2时间内，两车间的距离不断增大，故C错误，D正确。 考点三　利用函数法分析追及相遇问题(能力考点) 　一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则： (1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？ (2)若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？ 解析：(1)初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m 设汽车的加速度大小为a，减速时间为t，则自行车的位移为 x自＝v自(t＋t0) 汽车的位移为x汽＝v汽(t＋t0)－at2 假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d 代入数据整理得at2－10t＋10＝0 要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得 Δ＝102－20a＝0 解得a＝5 m/s2 所以，为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为5 m/s2。 (2)设自行车加速度为a′，加速时间为t′，同理可得 v汽(t′＋t0)－a汽t′2＝v自(t′＋t0)＋a′t′2＋d 代入数据整理得t′2－10t′＋10＝0 要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得 Δ＝102－20a′－80＝0，解得a′＝1 m/s2 所以，自行车的加速度至少为1 m/s2才能保证两车不相撞。 答案：(1)5 m/s2　(2)1 m/s2 利用函数法分析追及相遇问题的思路 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到位移x关于时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况。 (1)若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次。 (2)若Δ＝0，说明刚好追上或相遇。 (3)若Δ＜0，说明追不上或不能相遇。 2．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车。则汽车从路口启动后，在追上自行车之前两车相距最远时经历的时间及此时两车的距离分别为(　　) A．2 s　2 m　　　　 B．2 s　4 m C．2 s　6 m D．4 s　6 m 解析：C　设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2，代入已知数据得Δx＝6t－t2，由二次函数求极值的条件知t＝2 s时，Δx有最大值6 m，所以t＝2 s时两车相距最远，为 Δx＝6 m。故选C。 3．在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。 解析：对A车有xA＝v0t＋·(－2a)·t2 vA＝v0＋(－2a)·t 对B车有xB＝at2，vB＝at 两车位移关系有xA＝x＋xB 即v0t＋×(－2a)·t2＝x＋at2 整理得3at2－2v0t＋2x＝0 这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4·3a·2x＝0时，两车刚好不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 。 答案：v0≤ 学科网（北京）股份有限公司 $$