第2章 第11讲 函数模型及其应用（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第11讲　函数模型及其应用 　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 函数　 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象 的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 　实际问题中函数要有意义，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． 常用结论 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，增长速度缓慢． 2．“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，当x＝时f(x)取最小值2. 1．回源教材 (1)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示，假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　) A．40万元　　 B．60万元 C．80万元　　 D．120万元 解析：D　当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)． (2)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝(　　) A．ln 2　　 B．ln 3　　　　 C．　　 D． 解析：C　由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝. 2．易错自纠 (1)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x)　　 B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x)　　 D．f(x)>h(x)>g(x) 解析：B　 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g(x)>f(x)>h(x)． (2)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　) A．8　　 B．9 C．10　　 D．11 解析：C　设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为()n，由()n<，得n≥10. 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”． 　利用函数图象刻画实际问题的变化过程 1．某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间 t(年)的函数图象正确的是(　　) 解析：A　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，A中总产量增长，C中总产量不变，因此A正确． 2．如图所示，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y(见图中阴影部分)，则函数y＝f(t)的大致图象为(　　) 解析：D　根据题意，△OAB是边长为2的等边三角形，则A点的坐标为(1，)，B点的坐标为(2，0)，所以直线OA的方程为y＝x，直线AB的方程为y＝－(x－2)， 所以当0≤t≤1时， y＝f(t)＝×t×t＝； 当1＜t≤2时， y＝f(t)＝×2×－(2－t)×(2－t) ＝－(2－t)2； 当t＞2时，y＝f(t)＝×2×＝，它的图象如D选项所示．故选D． 反思感悟 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案． 　已知函数模型解决实际问题 例1　(多选)(2024·德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗(称为接种率)，那么1个感染者传染人数为(N－V)．已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能为(　　) A．45%　　 B．55% C．65%　　 D．75% 解析：ABC　为了使1个感染者传染人数不超过1，只需(N－V)≤1，即R0·(1－)≤1，因为R0＝4，故1－≤，可得≥. 反思感悟 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 训练1　(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5　　 B．1.2 C．0.8　　 D．0.6 解析：C　4.9＝5＋lg V⇒lg V ＝－0.1⇒V＝10－＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 　构造函数模型解决实际问题 　构建二次函数模型 例2　某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　) A．10.5万元　　 B．11万元 C．43万元　　 D．43.025万元 解析：C　设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x) ＝－0.1x2＋2.1x＋32 ＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32. 因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元． 　构建分段函数模型 例3　某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼技术．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的连续函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年． (1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值． 解：(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2， 当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)， 显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数， 由已知得解得 所以v＝－x＋. 故函数v＝(x∈N*) (2)设年生长量为f(x)千克/立方米， 依题意，由(1)得 f(x)＝(x∈N*) 当0<x≤4时，f(x)为增函数， 故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x ＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋. 所以f(x)max＝f(10)＝12.5. 所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 　构建对勾函数模型 例4　某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________． 解析：根据图象求得y＝－(x－6)2＋11(x＞0)， ∴年平均利润＝12－(x＋)， ∵x＋≥10，当且仅当x＝5时等号成立， ∴要使营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为5. 答案：5 反思感悟 在应用函数解决实际问题时需注意以下4个步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． (3)解模：求解函数模型，得出数学结论． (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 训练2　(2024·临沂测试)已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x千件(0<x≤25)并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)(单位：万元)，且 R(x)＝ (1)写出年利润f(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解：(1)当0<x≤10时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝81x－－100； 当10<x≤25时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝－x2＋30x＋75. 故f(x)＝ (2)当0<x≤10时， 由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)(x－9)， 得当x∈(0，9)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(9，10)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 故f(x)max＝f(9)＝81×9－×93－100＝386. 当10<x≤25时，f(x)＝－x2＋30x＋75 ＝－(x－15)2＋300≤300. 综上，当x＝9时，年利润取最大值386. 所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大． 学科网（北京）股份有限公司 $$