第2章 第10讲 函数的零点与方程的解（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第10讲　函数的零点与方程的解 　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解． 1．函数的零点 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 2．函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 　连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 3．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 常用结论 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．若周期函数有零点，则必有无穷多个零点． 1．回源教材 (1)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3　　 B．2 C．7　　 D．0 解析：B　由或 解得x＝－2或x＝e，故f(x)有两个零点． (2)函数f(x)＝log2 x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1)　　 B．(1，2) C．(2，3)　　 D．(3，4) 解析：B　函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－1，f(2)＝1，f(1)f(2)<0， 故f(x)只有一个零点，且在区间(1，2)内． 2．易错自纠 (1)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]上的零点个数为(　　) A．2　　 B．3 C．4　　 D．5 解析：B　由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1. 又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π. 由cos x＝1，得x＝0，2π. ∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π， 即f(x)在[0，2π]上有三个零点． (2)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________． 解析：二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1. 答案：(－8，1] 　函数零点所在区间的判定 例1　(1)(2024·长沙长郡中学第四次月考)函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(　　) A．(0，1)　　 B．(1，2) C．(2，3)　　 D．(3，4) 解析：C　因为函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)在(－，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)最多只有一个零点．因为f(0)＝5－lg 1＝5>0，f(1)＝3－lg 3>0，f(2)＝1－lg 5>0，f(3)＝－1－lg 7<0，所以函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(2，3)．故选C. (2)设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点 B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点 C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析：D　令f(x)＝0得x＝ln x．作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图所示．显然y＝f(x)在(，1)内无零点，在(1，e)内有零点． 反思感悟 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 训练1　(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　) A．(1，2)　　 B．(2，3) C．(3，4)　　 D．(4，5) 解析：B　由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6在定义域内单调递增， f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0， 则f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2，3)上． (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：A　函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0. 所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0， 即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． 　函数零点个数的判定 例2　(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－log|x|的零点个数是(　　) A．5　　 B．4 C．3　　 D．2 解析：D　在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝log|x|的图象如图所示，则y＝f(x)－log|x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D. (2)(2024·安阳期中)对任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，如[0.2]＝0，[1.5]＝1，[2]＝2.已知函数f(x)＝[x]·sin πx，则方程|f(x)|＝3－在(0，＋∞)上的实根个数为(　　) A．290　　 B．292 C．294　　 D．296 解析：C　设g(x)＝3－，当0<x<1时，[x]＝0；当1≤x<2时，[x]＝1；当2≤x<3时，[x]＝2；当3≤x<4时，[x]＝3；当4≤x<5时，[x]＝4；…，所以f(x)＝[x]·sin πx＝ 则|f(x)|＝ 令g(x)≥0，解得x≤150，画出y＝|f(x)|与y＝g(x)的部分图象如图所示． 由图可知y＝|f(x)|与y＝g(x)的图象在每个区间[k，k＋1](3≤k≤149且k∈Z)上均有2个交点，所以交点总数为(150－3)×2＝294，所以方程|f(x)|＝3－在(0，＋∞)上的实根个数为294.故选C. 反思感悟 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 训练2　已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－2|x|的零点个数是(　　) A．0　　 B．1 C．2　　 D．3 解析：C　令f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|， 则函数y＝f(x)－2|x|的零点个数等价于函数f(x)与函数y＝2|x|的图象的交点个数． ∵y＝2|x|＝ 作出函数f(x)与函数y＝2|x|的图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象的交点个数为2，故函数y＝f(x)－2|x|的零点个数为2. 　函数零点的应用 　根据零点的个数求参数 例3　(2024·巴蜀中学第五次月考)已知函数f(x)＝且a∈N*，记g(x)＝f(x)＋t，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，则正整数a的最大值为________． 解析：当x>a时，f(x)＝2x－3单调递增，当－1<x≤a时，f(x)＝log2(x＋1)单调递增．由题意，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，即存在实数t，使得方程f(x)＝－t有两个不相等的根，即函数f(x)的图象与直线y＝－t有两个交点，所以当点P(a，log2(a＋1))在点Q(a，2a－3)上方，即log2(a＋1)>2a－3时，符合题意．因为log2(2＋1)>22－3＝1，log2(3＋1)<23－3＝5，结合y＝2x－3与y＝log2(x＋1)的图象可得正整数a的最大值为2. 答案：2 　根据函数的零点范围求参数 例4　已知函数f(x)＝2x＋log2x＋b在区间(，4)上有零点，则实数b的取值范围是________． 解析：∵y1＝2x＋b在R上单调递增，y2＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＝2x＋log2x＋b在(0，＋∞)上单调递增，∵f(x)＝2x＋log2x＋b在区间(，4)上有零点，∴f()<0，f(4)>0，即1－1＋b<0，8＋2＋b>0，得－10<b<0.故实数b的取值范围是(－10，0)． 答案：(－10，0) 反思感悟 1．根据零点所在区间求参数：(1)直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数，转化为求函数的最值(或值域)问题加以解决． 2．已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围． 训练3　(1)已知关于x的方程ax＋6＝2x在区间(1，2)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(－4，－1)　　 B．[－4，－1] C．(－2，－)　　 D． 解析：A　根据题意可得ax＝2x－6，故问题转化为函数y＝ax和y＝2x－6的图象在x∈(1，2)时有交点，如图所示，易知y＝2x－6的图象的两个端点为(1，－4)和(2，－2)，当y＝ax过点(1，－4)时a＝－4，当y＝ax过点(2，－2)时a＝－1，所以a的取值范围是(－4，－1)． (2)(2024·安康第一次联考)若函数f(x)＝kex－x2＋3有三个零点，则k的取值范围为(　　) A．(0，)　　 B．(－2e，) C．(－2e，0)　　 D．(－∞，) 解析：A　法一：由f(x)＝0，得k＝，设g(x)＝，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当－1<x<3时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x<－1或x>3时，g′(x)<0，g(x)单调递减，又g(－1)＝－2e，g(3)＝，当x→－∞时，g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→0，故g(x)的大致图象如图所示． 若使得函数f(x)有3个零点，则0<k<.故选A. 法二：当k＝0时，f(x)＝－x2＋3，f(x)有两个零点，不符合题意，排除B和D；当k＝－1时，f(x)＝－ex－x2＋3，因为y＝－ex＋3与y＝x2的图象有两个交点，所以f(x)有两个零点，不符合题意，排除C，故选A. 　嵌套函数的零点问题 1．一般地，判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令g(x)＝t，求解当f(t)＝0时t的值，然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)＝t时，x的值的个数即为f(g(x))的零点个数，解答时注意数形结合，侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析． 2．解决此类问题往往应用函数的图象，作函数的图象必须关注其关键点(位置)和发展趋势、渐近线等，尤其当作图比例较大时，由于画的是局部图象，若关注度不够或疏忽，就会导致错误． 典例　(1)已知函数f(x)＝其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为(　　) A．4　　 B．5 C．6　　 D．3 解析：A　当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当0<x<1时，f(x)单调递减，x>1时，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，作出函数f(x)的图象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)， 可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或， 当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点； 当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根， 即g(x)有一个零点， 综上，g(x)共有四个零点． (2)(2023·南通联考)已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－(k＋1)xf(x)＋kx2＝0有且只有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为(　　) A．(0，]　　 B．[，1)∪(1，2) C．(0，1)∪(1，2)　　 D．(2，＋∞) 解析：B　因为f(x)＝ 由f2(x)－(k＋1)x·f(x)＋kx2＝0， 可得[f(x)－x]·[f(x)－kx]＝0， 所以关于x的方程f(x)＝x，f(x)＝kx共有3个不同的实数解． 先讨论方程f(x)＝x的解的个数． 当x≤0时，由f(x)＝x2＋x＝x，可得x＝0； 当0＜x≤时，由f(x)＝2x＝x，可得方程无解； 当x＞时，由f(x)＝2－2x＝x，可得x＝. 所以方程f(x)＝x只有两解x＝0和x＝. 讨论方程f(x)＝kx的解的个数． 当x≤0时，由f(x)＝x2＋x＝kx可得x(x＋－k)＝0，可得x＝0或x＝k－； 当0＜x≤时，由f(x)＝2x＝kx，可得k＝2， 此时方程f(x)＝kx有无数个解，不符合题意； 当x＞时，由f(x)＝2－2x＝kx可得x＝， 因为k＞0，所以由题意可得 或或 解得≤k＜1或1＜k＜2， 故正实数k的取值范围是[，1)∪(1，2)．故选B. 训练1　已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝1的实数根的个数为(　　) A．7　　 B．5 C．3　　 D．2 解析：B　令f(x)＝t，则f(t)＝1. ①当t≤2时，2|t|－1＝1， ∴2|t|＝2，∴|t|＝1，即t＝±1； ②当t>2时，＝1， ∴t＝3. 画出函数f(x)的图象，如图所示， 若t＝－1，即f(x)＝－1，无解； 若t＝1，直线y＝t＝1与y＝f(x)的图象有3个交点，即f(f(x))＝1有3个不同实根； 若t＝3，直线y＝t＝3与y＝f(x)的图象有2个交点，即f(f(x))＝1有2个不同实根． 综上所述，方程f(f(x))＝1的实数根的个数为5个，故选B. 训练2　已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋(2a－1)f(x)＋a2－a＝0有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1，1]　　 B．(－1，0] C．[0，1]　　 D．[－1，1] 解析：A　由题意得[f(x)＋a－1][f(x)＋a]＝0，则f(x)＝1－a或f(x)＝－a. 作出函数f(x)的图象如图所示，因为关于x的方程[f(x)]2＋(2a－1)f(x)＋a2－a＝0有5个不同的实数根，所以或解得－1<a≤1，所以实数a的取值范围为(－1，1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$