第2章 第9讲 函数的图象（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第9讲　函数的图象 　1.会画简单的函数图象.2.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与求不等式解的问题． 1．利用描点法作函数的图象 (1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质[奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)]； (4)列表(尤其注意特殊点)、描点、连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象． (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax)； y＝f(x)y＝Af(x)． (4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． 常用结论 1．记住几个重要结论 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称． (3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 2．图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换． 3．图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行． 1．回源教材 (1)函数y＝21－x的大致图象为(　　) 解析：A　y＝21－x＝()x－1，故函数为减函数，可排除C，D，又当x＝0时，y＝2，排除B，故选A. (2)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　) 解析：B　依题意知，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B符合． 2．易错自纠 (1)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)等于(　　) A．ex＋1　　　　　　 B．ex－1 C．e－x＋1　　 D．e－x－1 解析：D　依题意f(x)的图象可由y＝ex的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度得到． ∴y＝ex y＝e－x y＝e－(x＋1)＝e－x－1，∴f(x)＝e－x－1. (2)若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________． 解析：由f(－1)＝ln(－1＋a)＝0得a＝2，又直线y＝ax＋b过点(－1，3)，则2×(－1)＋b＝3，得b＝5.故当x<－1时，f(x)＝2x＋5，则f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 答案：－1 　作函数的图象 作出下列各函数的图象： (1)y＝|log2(x＋1)|； (2)y＝； (3)y＝x2－2|x|－1. 解：(1)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①所示． 图① (2)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示． 图② (3)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示． 图③ 反思感悟 函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图． (2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． (4)画函数的图象一定要注意定义域． 　函数图象的辨识 　函数图象的识别 例1　(1)(2024·肇庆模拟)函数y＝(sin x)·ln的大致图象是(　　) 解析：D　法一：因为y＝f(x)＝(sin x)·ln的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝[sin(－x)]·ln＝－(sin x)·ln＝－f(x)，所以y＝(sin x)·ln为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A，B.当x∈(0，π)时，sin x>0，＝1＋>1，所以ln>0，所以y＝(sin x)·ln>0，故排除C.故选D. 法二：因为y＝f(x)＝(sin x)·ln的定义域为{x|x≠0}，函数y＝sin x为奇函数，函数y＝ln为偶函数，所以f(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A，B. 当x∈(0，π)时，sin x>0，＝1＋>1，所以ln>0，所以y＝(sin x)·ln>0，故排除C.故选D. (2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝　　 D．f(x)＝ 解析：D　由题图可知f(x)为偶函数，而选项A，B中的函数均为奇函数，所以排除A，B. 又因为选项C中，f(x)＝>0恒成立，故排除C，故选D. 反思感悟 识别函数的图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断． (2)利用函数的零点、极值点等判断． (3)利用特殊函数值判断． 　借助动点探究函数的图象 例2　如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD 和BC是圆弧，直线l⊥AB 交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是(　　) 解析：C　当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C. 反思感悟 根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法 (1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象． (2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择． 注意：求解的过程中注意实际问题中的定义域问题． 训练1　(1)(2024·湘潭模拟)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) 解析：A　f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除C和D，又f()＝1>0，所以排除B.故选A. (2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝　　 B．y＝ C．y＝　　 D．y＝ 解析：A　对于B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，排除B；对于D，当x＝3时，y＝sin 3>0，与图象不符，排除D；对于C，当0<x<时，0<cos x<1，故y＝<≤1，与图象不符，排除C.故选A. (3)向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(　　) 解析：B　观察图象，根据图象的特点，发现取水深h＝时，注水量V′>，即水深为一半时，实际注水量大于水瓶容积的一半，A中V′<，C，D中V′＝，故排除A，C，D，选B. 　函数图象的应用 　利用图象研究函数的性质 例3　(多选)(2024·厦门双十中学月考)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(　　) A．函数F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有三个解 C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增 D．函数F(x)有4个单调区间 解析：ABD　根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确． 　图象法解不等式 例4　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A．(－，0)∪(，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 解析：C　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， 等价于 或 解得x<－2或<x<2或－<x<0.故不等式解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)． 　求参数的取值范围 例5　已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________． 解析：函数f(x)＝的图象如图所示， 不妨令a<b<c， 由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1， 又1<c<2023，所以2<a＋b＋c<2024. 答案：(2，2024) 反思感悟 1．利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系． 2．不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两个函数图象的上下位置关系问题，从而利用数形结合法求解． 3．利用函数图象求多个变量的和(或积)的取值范围时，利用对称性，发现其中两个变量的和(或积)为定值，从而对原式进行转化，再结合图象，确定其余变量的取值范围，即可求得相应范围． 训练2　(1)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1，1)　　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0，1)　　 D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：D　函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集即2x>x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象，结合图象易得2x>x＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)． (2)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)．则h(x)(　　) A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，无最小值 C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值 解析：C　画出函数y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，两图象交于A，B两点． 由题意，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)． 综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值． (3)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$