第2章 第6讲 指数与对数的运算（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第6讲　指数与对数的运算 　1.理解指数幂的含义，掌握幂的运算.2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． 1．根式 (1)根式的概念 如果xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 2．有理数指数幂 幂的有 关概念 正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义_ 有理数 指数幂 的运算 性质 aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q) 3．对数 概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 基本 性质 loga1＝0，logaa＝1，logaax＝x，其中a>0，且a≠1 4．对数的运算 运算 性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： loga(MN)＝logaM＋logaN； loga＝logaM－logaN； logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底 公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0) 常用结论 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M>0)． 2．换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)． 3．对数恒等式 alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)＝－4.(　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．回源教材 (1)下列运算中正确的是(　　) A．＝2－π　　 B．a＝ C．(mn－)8＝　　 D．(x3－)3＋＝x9 解析：C　对于A，2－π<0，所以＝π－2，错误；对于B，因为－>0，所以a<0，则a＝－(－a)·＝－，错误；对于C，(mn－)8＝(m)8(n－)8＝，正确；对于D，(x3－)3＋＝x9－2＝x7，错误． (2)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A．　　 B． C．2a＋b　　 D．2b＋a 解析：A　log1210＝＝ ＝. (3)已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝________；a2＋a－2＝________． 解析：由a＋a－＝3，得a＋a－1＋2＝9， 即a＋a－1＝7， 则a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47. 答案：7　47 　指数幂的运算 1．(多选)下列运算(化简)中正确的有(　　) A．(a)－1·(a－2)－＝a B．(xa－1y)a·(4y－a)＝4x C．[(1－)2]－(1＋)－1＋(1＋)0＝3－2 D．2a3b·(－5ab)÷(4) ＝－ab－ 解析：ABD　对于A，(a)－1·(a－2) －＝a－＋＝a，故正确；对于B，(xa－1y)a·(4y－a)＝4x×a·ya－a＝4xy0＝4x，故正确；对于C，[(1－)2]－(1＋)－1＋(1＋)0＝[(－1)2]－＋1＝－1－(－1)＋1＝1，故错误；对于D，2a3b·(－5ab)÷(4)＝[2×(－5)÷4]a3＋－b＋－＝－ab－，故正确．故选ABD． 2．(多选)已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是(　　) A．a2＋a－2＝7　　 B．a－a－＝±1 C．a＋a－＝±　　 D．a＋a－＝2 解析：ABD　将a＋a－1＝3两边平方，得(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，故A正确；因为(a－a－)2＝a－2＋a－1＝3－2＝1，a，a－的大小不确定，所以a－a－＝±1，故B正确；因为(a＋a－)2＝a＋2＋a－1＝3＋2＝5，又因为a>0，a－>0，所以a＋a－＝，故C错误；由立方和公式，可得a＋a－＝(a)3＋(a－)3＝(a＋a－)(a－1＋a－1)＝×(3－1)＝2，故D正确．故选ABD． 3．计算：(2)0＋2－2×(2)－(0.01)0.5. 解：(2)0＋2－2×(2)－－(0.01)0.5＝1＋×－＝1＋×－＝. 4．化简： ÷(a>0)． 解：÷＝÷＝a÷a＝1. 反思感悟 1．指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加． (2)运算的先后顺序． 2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 　对数的运算 例1　(1)计算：log381－log98·log23－2log23＋lg＋lg＝________． 解析：原式＝log334－·log32·log23－3＋lg＝4－－3＋＝0. 答案：0 (2)计算：＝________． 解析：原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. 答案：1 (3)已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝________． 解析：log1815＝＝ ＝＝. 答案： 反思感悟 1．在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并． 2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． 3．ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化． 训练1　(1)设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　) A．p2＋q2　　 B．(3p＋2q) C．　　 D．pq 解析：C　∵log83＝＝＝p， ∴lg 3＝3plg 2. ∵log35＝＝q， ∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)， ∴lg 5＝. (2)计算：log535＋2log－log5－log514＝________． 解析：原式＝log535－log5－log514＋log()2＝log5＋log2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. 答案：2 (3)计算：()log25＋ln＋log35×log259＋lg 4＋2lg 5＝________． 解析：()log25＋ln＋log35×log259＋lg 4＋2lg 5＝2－log25＋ln e－1＋log35×log5232＋lg 22＋2lg 5＝2log2－1＋log35×log53＋2lg 2＋2lg 5＝－1＋×＋2(lg 2＋lg 5)＝－1＋1＋2＝. 答案： 　指数与对数运算的实际应用 例2　(1)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度(　　) A．25天　　 B．30天 C．35天　　 D．40天 解析：B　依题意，解得m＝，a10＝2，当h＝40%时，40%＝·at, 即40%＝·a10·at－10，得at－10＝4＝(a10)2＝a20，即t－10＝20，解得t＝30，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度． (2)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2　　 B．p2>10p3 C．p3＝100p0　　 D．p1≤100p2 解析：ACD　法一：因为Lp＝20×lg随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]， 所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确； 假设p2>10p3，则p010>10p010， 所以10－>10， 所以L p2－L p3>20，不可能成立，故B不正确； 由Lp＝20×lg，得p＝p010， 因为L p3＝40， 所以p3＝p010＝100p0，故C正确； 因为＝＝10－＋2≥1， 所以p1≤100p2，故D正确． 综上，选ACD． 法二：由题意可知：Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，lg p＝＋lg p0，p＝10·P0， 对于A，＝10≥1，故A正确； 对于B，＝10≤10，故B错误； 对于C，＝10＝100，故C正确； 对于D，＝10≤10＝100，故D正确． 反思感悟 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 (1)理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系． (2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求． 训练2　(1)某灭活疫苗的有效保存时间T(单位：h)与储藏的温度t(单位：℃)满足的函数关系为T＝ekt＋b(k，b为常数，其中e＝2.718 28…，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0 ℃时的有效保存时间是1080 h，在10 ℃时的有效保存时间是120 h，则该疫苗在15 ℃时的有效保存时间为 (　　) A．15 h　　 B．30 h　 C．40 h　　 D．60 h 解析：C　由题意知1080＝eb，120＝e10k＋b＝e10k·eb，所以e10k＝(e5k)2＝＝，所以e5k＝，所以e15k＝， 所以e15k＋b＝e15k·eb＝×1080＝40. (2)某种医学检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg Xn＝nlg(1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率．已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为(参考数据：100.25≈1.778，10－0.25≈0.562)(　　) A．22.2%　　 B．43.8% C．56.2%　　 D．77.8% 解析：D　由题意知，lg(1000X0)＝12lg(1＋p)＋lg X0，即lg 103＋lg X0＝12lg(1＋p)＋lg X0，即3＋lg X0＝12lg(1＋p)＋lg X0，所以1＋p＝100.25≈1.778，解得p≈0.778＝77.8%. 学科网（北京）股份有限公司 $$