第1章 第4讲 基本不等式（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第4讲　基本不等式 　1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用． 1．基本不等式 ≤(a>0，b>0)，等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2． (2)已知x，y都是正数，如果x＋y的和等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 　利用基本不等式求最值要注意： (1)满足“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错． (2)一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致(等号同时成立). 常用结论 1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． 2．ab≤≤(a，b∈R). 3．≤ ≤≤ (a>0，b>0). 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．回源教材 (1)已知x>－1，则x＋的最小值为________． 解析：x＋＝(x＋1)＋－1 ≥2－1＝2－1＝1， 当且仅当x＋1＝， 即x＝0时等号成立． 答案：1 (2)若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为________． 解析：由ab＝a＋b＋3≥2＋3， 得ab－2－3≥0， 解得≥3(≤－1舍去)， 即ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号． 答案：9 (3)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2，此时矩形场地的长、宽分别是________m. 解析：设矩形的一边为x m，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0＜x＜10，所以面积y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25. 此时矩形的长与宽均为5 m. 答案：25　5，5 　利用基本不等式求最值 　配凑法 例1　(1)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　) A．2　　 B．2＋2 C．2　　 D．＋2 解析：D　由题意可知，x－2>0， ∴y＝(x－2)＋＋2 ≥2＋2＝＋2， 当且仅当x＝2＋时，等号成立， ∴函数y＝x＋(x>2)的最小值为＋2. (2)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________． 解析：∵0<x<，∴3－2x>0， y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． ∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为. 答案： 　常数代换法 例2　(2024·济宁高三月考)若a>0，b>0，3a＋2b＝6，则＋的最小值为(　　) A．6　　 B．5　　 C．4　　 D．3 解析：C　因为a>0，b>0，3a＋2b＝6，所以＋＝(3a＋2b)＝≥＝4，当且仅当3a＝2b＝3时，取等号，即＋的最小值为4. 　消元法 例3　(2024·菏泽期中)若正数x，y满足x2＋xy－3＝0，则4x＋y的最小值是(　　) A．3　　 B．6　　 C．2　　 D．4 解析：B　因为正数x，y满足x2＋xy－3＝0，所以y＝－x，由y>0，得－x>0，因为x>0，所以3－x2>0，即0<x<.所以4x＋y＝3x＋≥2＝6，当且仅当3x＝，即x＝1时等号成立．故选B. 反思感悟 利用基本不等式求最值的方法 (1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件． (3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解． 训练1　(1)已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　) A．16　　 B．8＋4 C．12　　 D．6＋4 解析：A　由题意可知＋＝1， ∴2x＋y＝(2x＋y) ＝＋＋8≥2＋8＝16， 当且仅当＝，即x＝4，y＝8时，等号成立，则2x＋y的最小值为16. (2)(2024·深圳六校质检)已知x>0，y>0，若x＋y＋xy＝3，则xy的最大值为(　　) A．1　　 B．　　 C．2　　 D．2 解析：A　法一：由x>0，y>0，得x＋y≥2，所以x＋y＋xy＝3≥2＋xy，当且仅当x＝y时等号成立．令＝t(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0<t≤1，即0<≤1，故0<xy≤1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，xy的最大值为1，故选A. 法二：由x＋y＋xy＝3，且x>0，得y＝，则xy＝＝，因为x>0，y>0，则>0且x>0，解得0<x<3.设t＝x＋1∈(1，4)，则x＝t－1，xy＝＝＝＝－t－＋5＝－＋5≤－2＋5＝1，当且仅当t＝，即t＝2，也即x＝y＝1时等号成立，所以xy的最大值为1，故选A. (3)已知x>1，则y＝的最大值为________． 解析：令t＝x－1，∴x＝t＋1， ∵x>1，∴t>0， ∴y＝＝ ＝≤＝， 当且仅当t＝，t＝2，即x＝3时，等号成立， ∴当x＝3时，ymax＝. 答案： 　利用基本不等式求参数值或取值范围 例4　(1)当x>a时，2x＋的最小值为10，则a＝(　　) A．1　　 B．　　 C．2　　 D．4 解析：A　2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝8＋2a， 即8＋2a＝10，故a＝1. (2)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________. 解析：已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需求(x＋y)的最小值大于或等于9， ∵(x＋y)＝1＋a＋＋≥a＋2＋1＝(＋1)2， 当且仅当y＝x时，等号成立， ∴(＋1)2≥9，∴a≥4， 即正实数a的最小值为4. 答案：4 反思感悟 利用基本不等式求最值及最值成立的条件，可确定某些参数的范围． 训练2　若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式＋<m2＋m有解，则实数m的取值范围是__________． 解析：因为正实数x，y满足x＋y＝1， 则(x＋1)＋y＝2， 所以＋＝[(x＋1)＋y]·＝≥ ＝， 当且仅当即时，等号成立，所以＋的最小值为. 因为不等式＋<m2＋m有解， 则m2＋m>，即2m2＋3m－9>0， 即(2m－3)(m＋3)>0， 解得m<－3或m>. 答案：(－∞，－3)∪ 　基本不等式的实际应用 例5　长征二号F遥十四运载火箭在设计生产中采用了很多新技术新材料．甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时(为保证质量要求1≤x≤10)的速度匀速生产，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克． (1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数； (2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少． 解：(1)由题意得k＋9＝10，解得k＝1，因为生产m千克该产品需要的时间是，所以y＝(kx2＋9)＝m，1≤x≤10. (2)由(1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为y＝1000≥1000×2＝6000(千克). 当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立， 故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克． 反思感悟 1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． 3．在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解． 训练3　某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为________cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小). 解析：设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1472≥2＋1472＝192＋1472， 当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立． ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 答案：12 　基本不等式链 若a>0，b>0，则≤ ≤≤ .其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．要根据题目需要选择合适的形式． 　利用基本不等式链求最值 例1　(多选)(2024·山西模拟)设a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．ab的最大值为 B．a2＋b2的最小值为 C．＋的最小值为9 D．＋的最小值为 解析：ABC　法一：对于A，因为a>0，b>0，a＋b＝1，则ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故A正确； 对于B，因为≤，故a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时取等号，即a2＋b2的最小值为，故B正确； 对于C，＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝且a＋b＝1，即b＝，a＝时取等号，所以＋的最小值为9，故C正确； 对于D，(＋)2＝1＋2≤1＋2×＝2，故＋≤，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋的最大值为，故D错误．故选ABC. 法二：对于A，由≤＝，故ab≤， 当且仅当a＝b＝时取等号，故A正确； 对于B，由≤ ，故 ≥， 即a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时取等号，故B正确； 对于C，＋＝(a＋b) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当a＝，b＝时取等号，故C正确； 对于D，由≤ 得 ≤ ＝，即＋≤， 当且仅当a＝b＝时取等号，故D不正确． 训练1　已知正实数m，n满足＋＝1，则m＋n的最小值为(　　) A．　　 B．　　 C．1　　 D．2 解析：A　法一：正实数m，n满足＋＝1，故＝1， 即3(m＋n)＝(m＋2n)(2m＋n)＝[(m＋n)＋n]·[(m＋n)＋m]， 所以3(m＋n)＝2(m＋n)2＋mn≤2(m＋n)2＋， 即3(m＋n)≤，故m＋n≥， 当且仅当m＝n＝时取等号． 法二：由≥得＝≥＝2， 即m＋n≥，当且仅当m＝n＝时取等号． 　利用基本不等式链证明不等式 例2　已知a，b，c都是非负实数，求证：＋＋≥(a＋b＋c). 证明：∵≥，即≥(a＋b)，同理，≥(b＋c)，≥(c＋a)， 相加可得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝(a＋b＋c)， 当且仅当a＝b＝c时等号成立． 训练2　设x>0，y>0，证明不等式＋≤ . 证明：∵≤ ， ∴＋≤2＝.(当且仅当x＝y时等号成立) 学科网（北京）股份有限公司 $$