第1章 第3讲 等式性质与不等式性质（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第3讲　等式性质与不等式性质 　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 1．两个实数比较大小的基本事实 作差法(a，b∈R) 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2). 常用结论 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<； (2)a<0<b⇒<； (3)a>b>0，0<c<d⇒>. 2．有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)； (2)>；<(b－m>0). 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)a>b⇔ac2>bc2.(　　) (2)a＝b⇔ac＝bc.(　　) (3)若>1，则a>b.(　　) (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．回源教材 (1)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b>0，则a2>b2 C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b<0，则> 解析：ABD　C中，若a＝－2，b＝－1，则a2>ab>b2，故C错误． (2)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________． 解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0.故M>N. 答案：M>N (3)已知2<a<3，－2<b<－1，则2a－b的取值范围是________. 解析：由2<a<3，－2<b<－1得4<2a<6，1<－b<2，两式相加得5<2a－b<8. 答案：(5，8) 　比较两个数(式)的大小 例1　(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q　　 B．p≤q C．p>q　　 D．p≥q 解析：B　p－q＝＋－a－b ＝＋＝(b2－a2)· ＝＝， 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q； 若a≠b，则p－q<0，故p<q. 综上，p≤q. (2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(　　) A．P>Q　　 B．P＝Q C．P<Q　　 D．不能确定 解析：C　P，Q作商可得＝＝， 令f(x)＝，则f′(x)＝， 当x>1时，f′(x)>0， 所以f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增， 因为a>b>1，所以<，又>0，>0， 所以＝<1，所以P<Q. 反思感悟 比较两个数(式)大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 训练1　(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　) A．M>N　　 B．M＝N C．M<N　　 D．不确定 解析：A　因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2， 又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N. (2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________． 解析：＝＝， 又0<<1，0<π－e<1， 所以<1，即<1， 即eπ·πe<ee·ππ. 答案：eπ·πe<ee·ππ 　不等式的基本性质 例2　(1)已知a<b<0，c<d<0，则下列不等式错误的是(　　) A．a＋c<b＋d　　 B．ac>bd C．>　　 D．a2>ab>b2 解析：C　因为a<b<0，c<d<0，所以a＋c<b＋d，故选项A正确；因为－a>－b>0，－c>－d>0，所以ac>bd，故选项B正确；因为－c>－d>0，－>0，所以<，故选项C错误；因为－a>－b>0，所以a2>ab，ab>b2，所以a2>ab>b2，故选项D正确．故选C. (2)(多选)(2024·淄博实验中学期末)对于实数a，b，c，下列说法正确的是(　　) A．若a>b，则a>>b B．若a>b>0，则a>>b C．若>，则a>0，b<0 D．若a>b>0，c>0，则> 解析：ABD　对于A，∵a>b，∴a－＝>0，－b＝>0，∴a>>b，故A正确；对于B，∵a>b>0，∴＝>1，＝>1，∴a>>b，故B正确；对于C，令a＝2，b＝3，满足>，但不满足a>0，b<0，故C不正确；对于D，∵a>b>0，c>0，∴－＝＝>0，即>，故D正确．故选ABD. 反思感悟 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． 训练2　(1)(2024·昌平区质量检测)若a<b<0，c>d>0，则一定有(　　) A．>　　 B．< C．>　　 D．< 解析：D　由题知a<b<0，c>d>0，则可取a＝－2，b＝－1，c＝2，d＝1，则＝＝－1，＝＝－1，故A错误，B错误；由a<b<0，得－a>－b>0，又c>d>0，则两式相乘得－ac>－bd，则不等式左右两边同时除以cd得>，再同时除以－1得<，故C错误，D正确． (2)(2024·珠海模拟)已知a，b∈R，满足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则(　　) A．＜　　 B．＋＞0 C．a2＞b2　　 D．a＜|b| 解析：C　因为ab＜0，a＞b，则a＞0，b＜0，＞0，＜0，A不正确；＜0，＜0，则＋＜0，B不正确；又a＋b＞0，即a＞－b＞0，则a2＞(－b)2，a2＞b2，C正确；由a＞－b＞0得a＞|b|，D不正确． 　不等式性质的应用 例3　(1)(2024·滁州段考改编)已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A．<<　　 B．21<a＋2b<78 C．－12<a－b<45　　 D．<<5 解析：C　A：∵15<b<18，∴<<，又6<a<60，∴<<4，∴A错误；B：∵6<a<60，15<b<18，∴36<a＋2b<96，∴B错误；C：∵15<b<18，∴－18<－b<－15，又6<a<60，∴－12<a－b<45，∴C正确；D：∵＝＋1，又＜＜4，∴＜＜5，∴D错误．故选C. (2)已知－1<x－y<4，2<x＋y<3，则3x＋2y的取值范围为________． 解析：设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)， 即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y， 于是解得 ∴3x＋2y＝(x－y)＋(x＋y). ∵－1<x－y<4，2<x＋y<3， ∴－<(x－y)<2，5<(x＋y)<， ∴<(x－y)＋(x＋y)<. 故3x＋2y的取值范围是. 答案： 反思感悟 1．利用不等式性质求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 2．解题时应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围． 训练3　(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是(　　) A．[－7，4]　　 B．[－6，9] C．[6，9]　　 D．[－2，8] 解析：A　因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4. (2)已知(x－1)2＞4，则的取值范围是________． 解析：因为(x－1)2＞4，所以x－1＞2或x－1＜－2，即x＞3或x＜－1.当x＞3时，0＜＜，所以＝2＋∈；当x＜－1时，－1＜＜0，所以＝2＋∈(1，2). 故的取值范围是(1，2)∪. 答案：(1，2)∪ 学科网（北京）股份有限公司 $$