第1章 第1讲 集合（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第1讲　集合 　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与给定子集的补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算　 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 4．集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 常用结论 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}.(　　) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　) (3)直线y＝x＋3与y＝6－2x的交点构成的集合是{(1，4)}．(　　) (4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．回源教材 (1)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩(∁UB)＝________． 解析：易知∁UB＝{2，4，6}，故A∩(∁UB)＝{2，4}． 答案：{2，4} (2)集合A＝{x|2≤x＜14}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝________． 解析：∵B＝{x|x≥3}，∴A∪B＝{x|x≥2}． 答案：{x|x≥2} (3)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________． 解析：由图可知a≥2， 答案：[2，＋∞) 　集合的概念 例1　(1)(2024·南充高级中学模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A．4　　 B．5　　 C．8　　 D．9 解析：B　因为x2＋y2≤，x∈Z，所以x可取－1，0，1.当x＝－1时，原式为1＋y2≤，又y∈Z，所以y＝0；当x＝0时，原式为y2≤，又y∈Z，所以y＝－1或y＝0或y＝1；当x＝1时，原式为1＋y2≤，又y∈Z，所以y＝0.所以A＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素． (2)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________． 解析：①当a－3＝－3，即a＝0时，此时A＝{－3，－1，－4}； ②当2a－1＝－3，即a＝－1时， 此时A＝{－4，－3，－3}舍； ③当a2－4＝－3，即a＝±1时，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2，1，－3}． 综上，a＝0或1. 答案：0或1 反思感悟 1．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． 2．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 训练1　(1)(多选)若集合M＝{x|x－2＜0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(　　) A．0∉M　　 B．{0}∈M C．{1}⊆M　　 D．1⊆M 解析：ABD　对于A，因为M＝{x|x－2＜0，x∈N}，所以0∈M，所以A错误； 对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0}⊆M，所以B错误； 对于C，因为1∈M，所以{1}⊆M，所以C正确； 对于D，因为1是元素，1∈M，所以D错误． (2)(2024·邵阳二中第五次月考)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2023＋b2023的值为(　　) A．－1　　 B．0　　 C．1　　 D．±1 解析：A　由集合相等可知0∈且a≠0，则＝0，所以b＝0，所以a2＝1，解得a＝1或a＝－1.根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，所以a2023＋b2023＝(－1)2023＋02023＝－1.故选A. 　集合间的基本关系 例2　(1)已知集合A＝{x|y＝ln (x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是(　　) A．A＝B　　 B．A∩B＝∅ C．AB　　 D．B⊆A 解析：C　由题设，可得A＝{x|x＞2}， 又B＝{x|x≥－3}，所以A是B的真子集， 故A，B，D错误，C正确． (2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B⊆A时，实数m的取值范围是________． 解析：A＝{x|－2≤x≤1}， 若x∈Z，则A＝{－2，－1，0，1}， 故集合A的真子集有24－1＝15(个). 由B⊆A， 得①若B＝∅，则2m＋1＜m－1，即m＜－2； ②若B≠∅，则 解得－1≤m≤0. 综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1，0]. 答案：15　(－∞，－2)∪[－1，0] 反思感悟 1．判定两集合关系的方法 (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系． (2)用列举法、图示法、数轴表示各个集合，从元素或图形中寻找关系． 2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围．注意：(1)合理利用数轴、Venn图等直观分析解决问题．(2)求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解． 训练2　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　　 B．1　　 C．　　 D．－1 解析：B　由题意知0∈B.当a－2＝0时，即a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意．当2a－2＝0时，即a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A⊆B，所以a＝1.故选B. (2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x＜0}，则满足AC⊆B的集合C的个数为(　　) A．4　　 B．6　　 C．7　　 D．8 解析：C　∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且AC⊆B，∴集合C的所有可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个． 　集合的基本运算 　集合的运算 例3　(1)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D. ∅ 解析：A　因为U＝{x|x＝3k或x＝3k＋1或x＝3k＋2，k∈Z}，所以∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. (2)(2023·全国乙卷)设全集U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N)　　 B．N∪∁UM C．∁U(M∩N)　　 D．M∪∁UN 解析：A　因为M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，所以M∪N＝{x|x＜2}， ∁UM＝{x|x≥1}，M∩N＝{x|－1＜x＜1}，∁UN＝{x|x≤－1或x≥2}，所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，N∪∁UM＝{x|x＞－1}，∁U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，M∪∁UN＝{x|x＜1或x≥2}．故选A. (3)(2024·广州调研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－2≤x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|x≥－2}　　 B．{x|x＜－2} C．{x|1＜x＜2}　　 D．{x|x≤1} 解析：B　由Venn图知，图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)，因为集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∪B＝{x|x≥－2}，所以∁U(A∪B)＝{x|x＜－2}．故选B. 　利用集合的运算求参数的值(范围) 例4　(1)(2024·江西五校联考)设集合A＝{x|m－3＜x＜2m＋6}，B＝{x|log2x＜2}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是(　　) A．∅　　 B．[－3，－1] C．(－1，3)　　 D．[－1，3] 解析：D　由题意可知， B＝{x|log2x＜2}＝{x|0＜x＜4}， 由A∪B＝A，可得B⊆A， 所以可得－1≤m≤3.故选D. (2)(2024·湖南师大附中第三次月考)已知集合A＝{x|－1＜x≤4}，B＝{x|(x－2a)(x－a2－1)＜0}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a＞2}　　 B．{a|a≥2} C．{a|a＝1或a≥2}　　 D．{a|a≥1} 解析：C　因为a2＋1≥2a，当a＝1时，a2＋1＝2a，则B＝∅，满足A∩B＝∅；当a≠1时，a2＋1＞2a，则B＝{x|2a＜x＜a2＋1}，因为A∩B＝∅，a2＋1≥1，所以解得a≥2. 综上，实数a的取值范围为{a|a＝1或a≥2}．故选C. 反思感悟 1．进行集合运算时， 首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算． 2．数形结合思想的应用 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心． 训练3　(1)(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝(　　) A．{2，3，5}　　 B．{1，3，4} C．{1，2，4，5}　　 D．{2，3，4，5} 解析：A　由题可得∁UM＝{2，3，5}， 所以N∪∁UM＝{2，3，5}．故选A. (2)(2024·潍坊统考)设全集U＝R，集合A＝{x||x－2|≤1}，B＝{x|2x－4≥0}，则集合A∩(∁UB)＝(　　) A．(1，2)　　 B．(1，2]　　 C．[1，2)　　 D．[1，2] 解析：C　由题意，得A＝{x|－1≤x－2≤1}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥2}，所以∁UB＝{x|x＜2}，所以A∩(∁UB)＝{x|1≤x＜2}．故选C. (3)(2024·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)·(x－4)＜0}，B＝{x|x＞a}，若A∪B＝{x|x＞1}，则a的取值范围是(　　) A．[1，4)　　 B．(1，4) C．[4，＋∞)　　 D．(4，＋∞) 解析：A　由题意可得A＝{x|1＜x＜4}． 因为A∪B＝{x|x＞1}，所以1≤a＜4. 　集合的新定义问题 解决集合新定义问题的关键： (1)准确理解合理转化，解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆． (2)善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，合理利用集合的运算与性质，并重视分类讨论思想的应用． 典例　(多选)(2024·德宏州质量监测)在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]＝{4n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，则下列结论正确的为(　　) A．2023∈[1] B．－2∈[2] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3] D．“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]” 解析：BCD　对于A，由2023＝4×505＋3得2023∈[3]，故A错误． 对于B，由－2＝4×(－1)＋2得－2∈[2]，故B正确． 对于C，所有整数被4除所得的余数只有0，1，2，3四种情况，即刚好分成[0]，[1]，[2]，[3]，共4“类”，故Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，故C正确． 对于D，若整数a，b属于同一“类”，则a＝4n1＋k，n1∈Z，b＝4n2＋k，n2∈Z， 故a－b＝4(n1－n2)＋0，所以a－b∈[0]； 若a－b∈[0]，不妨设a＝4n1＋k1，n1∈Z，b＝4n2＋k2，n2∈Z，则a－b＝4(n1－n2)＋(k1－k2)，则k1－k2＝0，即k1＝k2，所以整数a，b属于同一“类”． 故“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”，故D正确． 训练　(多选)(2024·洛阳部分学校联考改编)对任意集合A，B⊆R，定义A⊕B＝{x|x∈(A∪B)，x∉(A∩B)}．例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}．下列说法中正确的有(　　) A．若集合A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅ B．若集合A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B C．若集合A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D．若集合A，B⊆R，则(∁RA)⊕B＝∁R(A⊕B) 解析：ABD　对于A，因为A⊕B＝B，所以B＝{x|x∈(A∪B)，x∉(A∩B)}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝∅，故A正确；对于B，因为A⊕B＝∅，所以∅＝{x|x∈(A∪B)，x∉(A∩B)}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，故B正确；对于C，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈(A∪B)，x∉(A∩B)}⊆A，则B⊆A，故C错误；对于D，由题意可知，(∁RA)⊕B＝(A∩B)∪[∁R(A∪B)]，∁R(A⊕B)＝(A∩B)∪[∁R(A∪B)]，故(∁RA)⊕B＝∁R(A⊕B)，故D正确．故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $$