专题15 图形的相似（9大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（四川专用）

专题15 图形的相似 思维导图 考点1 比例的性质 1．（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是， ∴，则， 故答案为：． 2．（2023·四川甘孜·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【分析】根据比例的性质解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质． 考点2 平行线分线段成比例 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 2．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， 设为x， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即， 得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，先求出点的坐标为，再根据可得，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式可得，从而可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，    设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，， ， ， ，， ∴，， ，解得， ， ， ， 的面积为3， ，即， 整理得：， 将点代入得：， 整理得：， 将代入得：，解得， 则， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的性质，正确求出点的坐标是解题关键． 4．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解再证明可得 【详解】解： ＝， DE∥BC， 故选D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键． 5．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．    【答案】 【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵平分交于点， ∴, ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∴, 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵，，则， ∴ ∴，， ∵ 设，，则，则， ∵ ∴ 在中， 在中， ∴ 即 解得： ∴， 则 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】易证△AEF∽△ABC，得即即可求解． 【详解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A， ∴△AEF∽△ABC， ∴，即 ∵，，， ∴， ∴EF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． 7．（2022·四川南充·中考真题）如图，为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接交于点E． (1)求证：是的切线． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)3 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论； （2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据OF∥AC，得到，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及EF，即可求出的值． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵为的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠OCB=90°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO, ∵， ∴∠BCD=∠ACO， ∴∠BCD+∠OCB=90°， ∴OC⊥CD， ∴是的切线． （2）解：过点O作OF⊥BC于F， ∵， ∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x， ∴BE=BC-CE=1.5x， ∵∠C=90°， ∴AC=， ∵OA=OB，OF∥AC， ∴， ∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x， ∴OF为△ABC的中位线， ∴OF=， ∴=． 【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键． 考点3 黄金分割 1．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ． 【答案】 【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解． 【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， 点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， ∴之间的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键． 考点4 相似三角形的性质 1．（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为， 故选B． 2．（2022·四川广安·中考真题）下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形． B．相似三角形的面积的比等于相似比． C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小． D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定，相似三角形的性质，方差的意义，平行公理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意； B. 相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故该选项不正确，不符合题意； C. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故该选项正确，符合题意； D. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了矩形的判定，相似三角形的性质，方差的意义，平行公理，掌握相关知识是解题的关键． 3．（2022·四川凉山·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（    ） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 【答案】C 【分析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论． 【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 4．（2024·四川达州·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可判断①；得出，根据三角形内角和定理即可判断②；在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，根据定弦定角得出在的上运动，进而根据当时，面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴ 即 在中， 即 ∵是等腰直角三角形， ∴平分 ∴ ∴ ∴， ∴，故②正确， 如图所示，    在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且 ∴， ∵ ∴ ∴在的上运动， ∴， 连接交于点，则， ∴当时，结合垂径定理，最小， ∵是半径不变 ∴此时最大 则面积的最大， ∴ ，故③正确； 如图所示，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，    ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2017·四川绵阳·中考真题）如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM=AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是，则的值是 ． 【答案】/ 【详解】解：过点H作HG⊥AC于点G， ∵AF平分∠CAE，DE∥BF， ∴∠HAF=∠AFC=∠CAF， ∴AC=CF=2， ∵， ∴， ∵DE∥CF， ∴△AHM∽△FCM， ∴， ∴AH=1，设△AHM中，AH边上的高为m，△FCM中CF边上的高为n， ∴， ∵△AMH的面积为：， ∴ ∴， ∴，设△AHC的面积为S， ∴=3， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理可知：AG=， ∴CG=AC﹣AG=2﹣， ∴ 故答案为:． 6．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ． 【答案】 【分析】过点D作DF⊥AC于点F，解Rt△ABC求出AC、BC，再由勾股定理求得AD，根据三角形的面积公式求得DF，由勾股定理求得AF，再证明△DEF∽△BEC，求得EF，进而求得AE，最后由三角形面积公式求得结果． 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F， ∵AC⊥BC，∠ABC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∵∠ADC＝90°，CD=2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵DF∥BC， ∴△DEF∽△BEC， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形． 考点5 相似三角形的判定 1．（2022·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、两点，与双曲线交于点、两点，． (1)求，的值； (2)求点坐标并直接写出不等式的解集； (3)连接并延长交双曲线于点，连接、，求的面积． 【答案】(1)， (2)，或 (3) 【分析】（1）根据点在直线上，把点代入，求出的值；过作轴于点，得，根据，可求出点的坐标，可得点的坐标，代入反比例函数，即可求出的值； （2）根据交点坐标的性质，可求出点的坐标，根据，得，根据函数图象，即可得到解集； （3）根据同底同高，得，，即可． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴ 解得 过作轴于点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴在中，令，得 ∴ ∴ ∴． （2）∵点是和交点 ∴ 解得， ∵点在第三象限 ∴ ∴由图象得，当或时， 不等式的解集为或． （3）∵和同底同高 ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质，不等式的解集，交点坐标，三角形面积的转换． 2．（2024·四川南充·中考真题）如图，直线经过两点，与双曲线交于点． (1)求直线和双曲线的解析式． (2)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)直线解析式为，双曲线解析式为 (2)点P坐标为或或或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质： （1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：直线经过两点， ∴，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， 当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论： ①当，则：， ∴， ∴， ∴或； ②当，则：， ∴， ∴， ∴或； 综上：点P坐标为或或或． 3．（2024·四川达州·中考真题）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ______+______． 化简整理得______． 【类比探究】 （2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质得，，，证明， 得，，，根据勾股定理得， ，继而得出的值即可； （3）由（2）可得得出，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，根据勾股定理以及已知条件，分别求得，根据得出，根据得出，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ． 化简整理得 故答案为：，，． （），理由如下， 过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴ （）∵四边形是平行四边形，，，， ∴由（）可得 ∴ 解得：（负值舍去） ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵分别为的中点， ∴ ∵， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．（2023·四川德阳·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，．    (1)求证：是的平分线； (2)求的度数； (3)求的值． 【答案】(1)见解析． (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，可得到，根据等腰三角形的性质可得到，进而可证明结论． （2）连接，设，利用三角形的外角、圆的内接四边形的对角互补、等腰三角形的性质将的各角分别用含的代数式表示出来，根据三角形内角和定理可求得的值，进而可求得答案． （3）设的半径为，，可证得，根据，可得，用含有和的代数式表示出该等式，求解即可得到和的关系，进而可求得答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是的平分线． （2）如图所示，连接．    设． 根据（1）证明可知，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）设的半径为，，则． ∵， ∴． 又， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 变形，得 ． 解得 ． ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及性质、三角形的外角的性质、圆周角的性质、根据几何图形列一元二次方程，能采用数形结合的方法分析问题是解题的关键． 5．（2023·四川眉山·中考真题）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．      (1)求证：； (2)点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设,则， 可得方程， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． 6．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC； (3)若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)tan∠OAC 【分析】（1）如图，过作于证明 即可得到结论； （2）证明 再结合 从而可得结论； （3）由相似三角形的性质可得 设 则 而 从而建立方程求解x，从而可得答案． 【详解】（1）证明：如图，过作于 ∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线， O为圆心，OC为半径， 是⊙O的切线． （2）如图，连结CE， 为的直径， （3） 设 则 而 解得 tan∠OAC 【点睛】本题考查的是切线的判定，相似三角形的判定与性质，求解锐角的正切，证明，利用相似三角形的性质求解是解本题的关键． 考点6 图形的位似 1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 2．（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键． 3．（2022·四川成都·中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 根据与的周长比等于相似比可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 考点7 相似三角形的最值 1．（2022·四川遂宁·中考真题）如图，D、E、F分别是三边上的点，其中，BC边上的高为6，且DE//BC，则面积的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设，根据，证明，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，列出面积的函数表达式，根据配方法求最值即可． 【详解】 如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE， 设， ， ， ， ， ， ∴, ， 当时，S有最大值，最大值为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（2017·四川绵阳·中考真题）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出AD=2，BD=4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，从而得到△AMD和△BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得，求出MA•DN=4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可． 【详解】∵AB=6，AB=1：3， ∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4， ∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形， ∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN， ∴△AMD∽△BDN， ∴， ∴MA•DN=BD•MD=4MD， ∴MD+ =MD+ =， ∴当， 即MD=时MD+有最小值为． 故答案为． 考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；最值问题；综合题． 3．（2022·四川达州·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持，连接，，．以下结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】连接BD，延长DA到M，使AM=CF，连接BM，根据正方形的性质及线段垂直平分线的性质定理即可判断①正确；通过证明，，可证明②正确；作，交AC的延长线于K，在BK上截取BN=BP，连接CN，通过证明，可判断③错误；通过证明，，利用相似三角形的性质即可证明④正确；当点B、H、D三点共线时，DH的值最小，分别求解即可判断⑤正确． 【详解】 如图1，连接BD，延长DA到M，使AM=CF，连接BM， 四边形ABCD是正方形， 垂直平分BD，， ，，，故①正确； ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ，故②正确； 如图2，作，交AC的延长线于K，在BK上截取BN=BP，连接CN， ， ， ， ， ，即， ，故③错误； 如图1， 四边形ABCD是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，故④正确； 如图1，当点B、H、D三点共线时，DH的值最小， ， ， ， ， ，故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键． 考点8 相似三角形的应用 1．（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，    由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 2．（2017·四川绵阳·中考真题）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为，如图所示．已知小丽同学的身高是，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是，则旗杆的高度等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意先证明，得出，即，即可求出的长度．熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得：，由镜面反射可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故选：B． 3．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 4．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    【答案】36m 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为36m． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键． 考点9 相似三角形与函数结合 1．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为； (2)点C的坐标为或 (3)点P的坐标为；m的值为3 【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解； （2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解； （3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得． 【详解】（1）解：令，则 ∴点A的坐标为， 将点代入得： 解得： ∴ 将点代入得： 解得： ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，    令解得： ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴ 又∵直线l是的垂线即，， ∴， ∴ 设直线l的解析式是：， 将点，点代入得： 解得： ∴直线l的解析式是：， 设点C的坐标是 ∵，(分别代表点B与点C的横坐标) 解得： 或6， 当时，； 当时，， ∴点C的坐标为或 （3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D， ∴点E是直线l与双曲线的另一个交点， 将直线l与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 画出图形如下：    又∵ ∴ ∴ ∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等， 设直线的解析式是： 将点代入得： 解得： ∴直线的解析式是： ∵点D也在双曲线上， ∴点D是直线与双曲线的另一个交点， 将直线与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 设直线的解析式是： 将点，代入得： 解得： ∴直线的解析式是：， 又将直线的解析式与直线l的解析式联立得： 解得： ∴点P的坐标为 ∴ ∴ 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键． 2．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作，射线交线段于点D，将射线绕点O顺时针旋转交射线于点E，连接． (1)证明：；（用图1） (2)当为直角三角形时，求的长度；（用图2） (3)点A关于射线的对称点为F，求的最小值．（用图3） 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】（1）由条件可证得，根据相似三角形对应边成比例得，即； （2）先根据函数关系式求出的长度，然后作出对应的图2，可证明，从而得到，设，，结合对应边成比例，得到，则，解方程得到，所以，，再由（1）的结论，可计算出． 【详解】（1）证明：已知射线绕点O顺时针旋转交射线于点E， ， ， ， , ， 又， ， ； （2）解：直线，当时，， ， ， 当时，， ， ， ， 如图2，， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， 由（1）知：， ， （3）解：如图3，由对称得：, 则动点F在以O为圆心，以为半径的半圆上运动， 当F在y轴上，此时在B的正上方，的值最小，如图4， 此时，即的最小值是2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、一次函数与坐标轴交点问题、轴对称图形特征、圆的性质、动点中的最短距离问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定，采用数形结合，利用相似比列方程求线段长是解题关键． 3．（2023·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当时，求点的坐标； (3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作，垂足为根据已知条件得出，进而列出方程，解方程，即可求解； （3）先求得直线的解析式为，设，得出直线的解析式为，联立得出，根据等底两三角形的面积比等于高之比，得出，进而得出关于的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴过点，， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为，    设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵其中点在抛物线对称轴的左侧． ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴； （3）解：依题意，点恰好在轴上，则， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，设直线的解析式为， 则， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，平行线分线段比例，面积问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（2022·四川乐山·中考真题）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标； (3)如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值． 【答案】(1)； (2)P（1+）或（1-）； (3) 【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交点式，将点C的坐标代入，进一步求得结果； （2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情况：当点P在第三象限时，设点P（a，），可表示出△BCD的面积，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得到E点坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S△PBC=S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果； （3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，），M（t，），表示出PM的长，根据PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果． 【详解】（1）∵A（-1，0）， ∴OA=1， 又∵∠AOC=90°，tan∠OAC=， ∴OC=2OA=2即点C的坐标为（0，-2）， 设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2）， 将C点坐标代入得：a=1， ∴y=（x+1）（x-2）=； （2）设点P（a，），如图所示，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E， ∵B（2，0），C（0，-2）， ∴直线BC的解析式为：y=x-2， ∴当时，x=y+2=， ∴PE==， ∴S△PBC=PE·OC， ∵抛物线的对称轴为y=，CD∥x轴，C（0，-2）， ∴点D（1，-2）， ∴CD=1， ∴S△BCD=CD·OC， ∴PE·OC=CD·OC， ∴a2-2a=1， 解得a1=1+（舍去），a2=1-； 当x=1-时，y==a-1=-， ∴P（1-，-）， 如图，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F， ∴F（a，a-2）， ∴PF=（）-（a-2）=， ∴S△PBC=PF·OB=CD·OC， ∴=1， 解得a1=1+，a2=1-（舍去）； 当a=1+时，y==， ∴P（1+，）， 综上所述，P点坐标为（1+）或（1-）； （3）如图，作PN⊥AB于N，交BC于M， 由题意可知，P（t，），M（t，t-2）， ∴PM=（t-2）-（）=-， 又∵PN∥OC， ∴△PQM∽△OQC， ∴+， ∴当t=1时，()最大=． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键． 5．（2022·四川德阳·中考真题）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称． (1)如图①，求射线的解析式； (2)在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值； (3)如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值． 【答案】(1)， (2)4 (3) 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点M、E的坐标，根据G(5,-3)、F关于x轴对称求出F点坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴x=2，可确定M点在抛物线对称轴上，可确定抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，即可得到，①-②，得到，则问题得解； （3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），利用PT∥AM，则问题可解 【详解】（1）∵直线与坐标轴交于点M、E， ∴令x=0时，y=2；令y=0时，x=2， ∴M点坐标为(2,0)，E点坐标为(0,2)， ∵G(5,-3)，且点G、F关于x轴对称， ∴F(5,3)， 设射线MF的解析式为，， ∵M点坐标为(2,0)，F(5,3)， ∴ ，解得：， ∴射线MF的解析式为，， （2）根据题意可知射线ME的解析式为：，， 在（1）中已求得射线MF的解析式为，， ∵的对称轴为x=2， 又∵M点(2,0)， ∴M点刚好在的对称轴为x=2上， ∴抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF， ∵， ∴此时交点的坐标为、，且、， ∵、在抛物线上， ∴， 由①-②，得：， 整理得： ∵、， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T． ∵C（0，5）， ∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5， ∴A（-1，0），B（5，0）， 设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5）， ∵PT∥AM， ∴ ∵ ∴有最大值，最大值为 【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式、抛物线与一元二次方程的根的知识、勾股定理、二次函数求最值等知识，本题的计算量较大，仔细化简所表示出和的代数式是解答本题的关键． 6．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； (3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点B的坐标为或或 (3)存在，m的值为2或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可； （3）先根据题意画出图形，设抛物线与直线的交点坐标为，，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到，，利用待定系数法分别求得直线、的表达式为得到， ，过E作轴于Q，过D作轴于N，证明得到，整理可得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设， 根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况： 当时，点B和点P关于y轴对称，    ∵，∴； 当时，则， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，，则， 当时，，则， 综上，满足题意的点B的坐标为或或； （3）解：存在常数m，使得． 根据题意，画出图形如下图，      设抛物线与直线的交点坐标为，， 由得， ∴，； 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 令，由得， ∴， 同理，可得直线的表达式为，则， 过E作轴于Q，过D作轴于N， 则，，，， 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 整理，得， 即， 将，代入，得， 即，则或， 解得，， 综上，存在常数m，使得，m的值为2或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键． 7．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线对称轴为，可得，求得，再将代入抛物线，根据待定系数法求得，即可解答； （2）①求出点，点的坐标，即可得到直线的解析式为，设，则，求得的解析式，列方程求出点的坐标，最后根据列方程，即可求出的长； ②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，可得，即，证明，设，得到直线的解析式，求出点D的坐标，即可得到点的坐标，将点E的坐标代入解方程，即可解答． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为， 得， 解得， 将代入抛物线可得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，得， 解得，， ，， 设的解析式为，将，代入， 得， 解得， 的解析式为， 设，则， 设的解析式为，将，代入， 得， 解得， 的解析式为， 联立方程， 解得， 根据，得， 解得，， 经检验，，是方程的解， 点是该抛物线上位于第一象限的一个动点， 在轴正半轴， ， 即的长为； ②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，   ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，即点D的横坐标为， ， 设的解析式为，将，， 代入得， 解得， 的解析式为， ，即， ， 四边形是矩形， ， ，即， 将代入， 得， 解得，（舍去）， ． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一元二次方程，两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）根据，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB的解析式；再通过比例关系解出点C的坐标，可得反比例函数表达式； （2）过D作轴，垂足为点，联列方程组解出点D的坐标，再根据即可求出的面积． 【详解】（1）在中，∵， ∴， ∵，∴， ∵A、B两点在函数上， 将、代入得 解得，， ∴ 设，过点C作轴，垂足为E，则， ∴， 又∵， ∴， 即，，即， ∴， ∴， ∴    ∴， ∴； （2）解方程组，得， ∴， 过D作轴，垂足为点 ∵ ∴ ． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键． 9．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点． (1)求，的值； (2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式； (3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在这样的点，点的坐标为或 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线可得到关于的方程组，解方程组即可得； （2）设直线的解析式为，从而可得点的坐标为，利用三角形的面积公式可得的面积为，再利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立可得点的坐标，从而可得的面积，然后根据与的面积相等建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案； （3）先求出抛物线与轴的另一个交点坐标为，从而可设点的坐标为，点的坐标为，再分①以为一边的矩形是矩形和②以为一边的矩形是矩形两种情况，利用相似三角形的性质和矩形的性质将用表示出来，然后将点代入抛物线的解析式可求出的值，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得． （2）解：由题意，设直线的解析式为， 当时，，即，， 则的面积为， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， 则点的坐标为， 所以的面积为， 因为与的面积相等， 所以， 解得或（不符题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 所以直线的解析式为． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即为， ， ， 设点的坐标为，点的坐标为， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当以为一边的矩形是矩形时， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得， ， 矩形的对角线互相平分， ，解得， 将点代入得：， 解得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符题意，舍去， 则此时点的坐标为， ②如图，当以为一边的矩形是矩形时，过点作于点， 则， 同理可证：， ，即， 解得， ， ， 矩形的对角线互相平分， ，解得， 将点代入得：， 解得或（不符题意，舍去）， 当时，，符合题意， 则此时点的坐标为， 综上，存在这样的点，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、一元二次方程的应用等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并找出相似三角形是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 图形的相似 思维导图 考点1 比例的性质 1．（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 2．（2023·四川甘孜·中考真题）若，则 ． 考点2 平行线分线段成比例 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）     A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（　　） A． B． C． D． 5．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ． 6．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则 ． 7．（2022·四川南充·中考真题）如图，为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接交于点E． (1)求证：是的切线． (2)若，求的值． 考点3 黄金分割 1．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ． 考点4 相似三角形的性质 1．（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·四川广安·中考真题）下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形． B．相似三角形的面积的比等于相似比． C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小． D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 3．（2022·四川凉山·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（    ） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 4．（2024·四川达州·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．（2017·四川绵阳·中考真题）如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM=AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是，则的值是 ． 6．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ． 考点5 相似三角形的判定 1．（2022·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、两点，与双曲线交于点、两点，． (1)求，的值； (2)求点坐标并直接写出不等式的解集； (3)连接并延长交双曲线于点，连接、，求的面积． 2．（2024·四川南充·中考真题）如图，直线经过两点，与双曲线交于点． (1)求直线和双曲线的解析式． (2)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 3．（2024·四川达州·中考真题）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ______+______． 化简整理得______． 【类比探究】 （2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 4．（2023·四川德阳·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，．    (1)求证：是的平分线； (2)求的度数； (3)求的值． 5．（2023·四川眉山·中考真题）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．      (1)求证：； (2)点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 6．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC； (3)若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC． 考点6 图形的位似 1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·四川成都·中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 考点7 相似三角形的最值 1．（2022·四川遂宁·中考真题）如图，D、E、F分别是三边上的点，其中，BC边上的高为6，且DE//BC，则面积的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2017·四川绵阳·中考真题）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ． 3．（2022·四川达州·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持，连接，，．以下结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是 ． 考点8 相似三角形的应用 1．（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 2．（2017·四川绵阳·中考真题）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为，如图所示．已知小丽同学的身高是，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是，则旗杆的高度等于（　　）   A． B． C． D． 3．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 4．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    考点9 相似三角形与函数结合 1．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 2．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作，射线交线段于点D，将射线绕点O顺时针旋转交射线于点E，连接． (1)证明：；（用图1） (2)当为直角三角形时，求的长度；（用图2） (3)点A关于射线的对称点为F，求的最小值．（用图3） 3．（2023·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当时，求点的坐标； (3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值． 4．（2022·四川乐山·中考真题）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标； (3)如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值． 5．（2022·四川德阳·中考真题）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称． (1)如图①，求射线的解析式； (2)在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值； (3)如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值． 6．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； (3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 7．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标． 8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 9．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点． (1)求，的值； (2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式； (3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$