三角恒等变换 专项突破检测卷-2025届高三数学一轮复习

三角恒等变换专项突破-2025年高考数学一轮复习检测卷 一、单选题 1．方程在内根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设，若，，则（　　） A． B． C． D． 5．设，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．下列四个函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知甲､乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是的图象，某日小明和小红分别从甲、乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为，小红行走轨迹的点记为，且满足，函数，则的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A．的最小正周期是 B．在上单调递减 C．， D．的值域是 11．把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 12．将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象关于y轴对称，则实数 m的值为 . 13．设，则函数的最大值为 ． 14．已知，则 . 四、解答题 15．已知函数. (1)若，，求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值. 16．已知为锐角三角形的三个内角. (1)求证： (2)求的最小值 17．在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 18．设函数. (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)设函数对任意，有，且当时，；求函数在上的解析式. 19．如果存在实数对使函数，那么我们就称函数为实数对的“型正余弦生成函数”，实数对为函数的“型正余弦生成数对”. (1)已知函数的“4型正余弦生成数对”为，求方程在区间上所有实根之和； (2)若实数对的“2型正余弦生成函数”在处取最大值，其中，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】先根据两角和差的正弦公式进行化简，整体替换得到方程的根； 【详解】由题意，， 即，可得或， 解得或 又因为，所以， 故选：D. 2．A 【分析】根据和差角公式化简可得，即可根据二倍角公式求解. 【详解】， . 故选：A. 3．A 【分析】利用二倍角公式进行变换求值即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：A． 4．A 【分析】先对变形，进而表示出，再代值计算即得. 【详解】由，得， 则，即， 因此， 而，所以. 故选：A 5．B 【分析】根据题意，将正切化为正弦和余弦，进而逆运用两角差的正弦公式即可得到其关系. 【详解】因为， 所以 所以， 所以 因为 所以， ， 故选：B 6．C 【分析】应用二倍角公式及两角和差公式化简再根据周期判断各个选项. 【详解】对于A：， 周期为，A不正确； 对于B：， 又函数的定义域为， 周期为，B不正确； 对于C：，周期为，C选项正确； 对于D：周期为，D不正确； 故选：C. 7．B 【分析】利用降幂公式降幂，结合余弦函数的图象特征，可得关于的不等式，即可求得实数得取值范围. 【详解】函数， 由，得， 要使函数在上有且仅有两个零点， 所以，则，得， 即的取值范围是. 故选：B. 8．A 【分析】依题意可得，，即可表示出，再换元，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】依题意可得，，且，解得， 所以， 令，则，因为在区间内单调递减，在区间内单调递增， 又在上单调递减且， 在上单调递减且， 在上单调递增且， 在上单调递增且， 所以在区间，内单调递减. 故选：A 9．ABC 【分析】由二倍角公式及诱导公式求解． 【详解】由， 得，故A，B两项正确； ，故C项正确； ，故D项错误， 故选：ABC 10．BC 【分析】对于A，计算是否等于可判断A；根据正弦型函数的单调性可判断B；计算是否等于可判断C；分、求出的值域可判断D. 【详解】对于A，，故A错误；     对于B，当时，有， 此时，显然是的一个单调递减区间，所以在上单调递减，故B正确； 对于C，，，故C正确； 对于D，当时，， 当时，， 所以的值域是，故D错误. 故选：BC. 11．BC 【分析】假设斜边长为，则，，即可代入求解A，根据正弦的对称性求解B，再结合基本不等式可判断CD． 【详解】设三角形的斜边长为，则 ①， 所以， 对于A，当时，由①式得，， 所以，故A错误； 对于B，的对称轴为 ，， 当时，，即的图像关于直线对称，故B正确； 对于CD，， 因为，当且仅当时，等号成立， 又由①可得，， 所以， 因为为锐角，所以，所以,， 所以,，所以,， 所以,，所以， 即，故C正确，D错误． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：根据旋转的性质结合锐角三角函数得到，进而根据三角形面积公式得面积表达式. 12．/ 【分析】运用辅助角公式化简函数的表达式为正弦型函数，再利用正弦型函数的奇偶性和图象变换的性质进行求解即可. 【详解】， 将函数的图象向左平移个单位后， 解析为，而的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数， 因此有， 因为，所以，即， 故答案为： 13． 【分析】平方后，设，得到，，根据函数单调性得到最值，得到答案. 【详解】设，，两边平方得． 设，两边平方得， 则， 由于，，则，， 又由于在区间上单调递增， 所以当时,的最大值为， 则在区间上的最大值为． 故答案为： 14． 【分析】直接用和差角公式展开再用二倍角公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 15．(1)或 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据条件，利用特殊角的三角函数值，即可求出结果； （2）根据条件得到，再利用的图象与性质，即可求出结果. 【详解】（1）因为，由，得到， 解得或， 即或，又， 所以或. （2）因为， 令，因为，得到， 由的图象与性质知，，所以， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 16．(1)证明见解析; (2) 【分析】（1）把正弦值转化成正切值，然后利用基本不等式，最后通过正切值大于角度即可证明. （2）先换元，然后找到三个变量之间关系，然后根据基本不等式消去一个变量，最后通过函数求解即可. 【详解】（1）证明: . 因为，， 所以， 又因为为锐角，. 于是 同理， 相加后，即得原不等式成立. （2）令， 因为，均为锐角， 所以， 所以， 所以， 则 ， 所以. 因为均为锐角， 所以均为正值， 所以均为正值，且， 则， 则， 因为 令， 则 令，则 则当时,则单调递减. 当时，，则单调递增， 所以，当且仅当等号成立， 所以 所以的最小值为. 故答案为: . 【点睛】（1）本题考查了形式的转变，以及角度和角度正切值的大小关系，把正弦值转化成正切值，然后通过正切值大于角度证明. （2）本题考查了变量的消元能力，根据形式利用基本不等式消去一个变量是解决这道题目的关键. 17．(1)2 (2)（i），；（ii）7 【分析】（1）由题意利用余弦定理可推出，再利用正弦定理边化角，结合同角三角函数关系，即可求得答案； （2）（i）根据正切函数的性质，即可求得答案；（ii）利用二倍角正切公式以及两角差的正切公式求解，即得答案. 【详解】（1）由题意知，则， 则，又， 故，则可得， 即，即， 即，故； （2）（i）由于, 令，则， 故的定义域为，最小正周期为； （ii）， 故. 18．(1)最大值为，最小值为0 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，再利用三角函数的性质求解； （2）由得到函数的一个周期为，再由（1）得到求解. 【详解】（1）由已知， ， 又因为则， 所以，即，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为和0. （2）由可知函数的一个周期为， 又由（1）可知， 当时，，则， 由知，， 当时，则， 由知， 综上，. 19．(1) (2) 【分析】（1）得到，由，得到，设，即，结合正弦函数的图像与性质，即可求解； （2）由，根据题意，得到，求得，得到，结合双曲函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的“4型正余弦生成数对”为， 可得， 又由方程，即，即， 因为，可得， 设，即， 结合正弦函数的图象，可得方程在区间有2个解， 设其两根为，且， 由对称性可知，解得，则实根之和为. （2）解：由题意得，其中， 因为在处取最大值，可得， 所以， 即， 可得， 又因为，且在上单调递增， 可得，所以，即的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$