平面向量及其运用专项检测卷-2025届高三数学一轮复习

平面向量及其运用专项突破-2025年高考数学一轮复习检测卷 一、单选题 1．已知向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 3．如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．向量在向量上的投影为，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知非零向量的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知平行四边形中， ，，分别为边，的中点，若，则四边形面积的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，，均为单位向量，且，，则的值可能为（　　） A．－1 B．1 C． D．2 10．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，的最小值为1 D．若为锐角三角形，则的取值范围为 11．嘌呤是一种杂环有机化合物，它在能量的供应、代谢的调节等方面都有十分重要的作用，它的化学结构式主要由一个正五边形与一个正六边形构成（设它们的边长均为1），其平面图形如图所示，则（    ） A． B．O到AC的距离是 C．O是的内切圆的圆心 D． 三、填空题 12．已知点是的重心，，，，则 ． 13．已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 14．在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 四、解答题 15．已知的面积为，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边. (1)求A； (2)若，且的周长为5，设D为边中点，求. 16．在锐角中，，，分别是角的对边，. (1)求； (2)若，求的面积取值范围. 17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若为内角A的平分线，且，求． 18．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若D是边上一点（不包括端点），且，求的取值范围． 19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角； (2)若，设P，Q分别是边AB、BC上的动点（含端点），且．当取得最小值时，求点到直线的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】根据共线向量的坐标表示即可求解 【详解】因为共线， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：B 2．A 【分析】化简得，再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解出即可. 【详解】，即， 因为点是直线上相异的三点，则点三点共线， 则，解得. 故选：A. 3．A 【分析】由向量的坐标表示即可得解. 【详解】由题意得， ． 故选：A． 4．A 【分析】根据投影向量的公式求解. 【详解】根据题意，在上的投影向量为： . 故选：A 5．A 【分析】根据得到和的关系，根据得到和的关系，求出. 【详解】由题意，，即， 又，则，即， 所以，则. 故选：． 6．A 【分析】根据数量积及夹角的公式计算即可. 【详解】由，得； 由，得， 所以， 所以， 因为，所以． 故选：A． 7．D 【分析】建立适当的平面直角坐标系，设，写出各个点的坐标，将转换成条件等式，结合平行四边形面积公式以及基本不等式即可求解. 【详解】以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    设， 则， 所以， 所以， 从而，即，等号成立当且仅当， 四边形面积的表达式为， 从而，等号成立当且仅当， 所以四边形面积的最大值为. 故选：D. 8．D 【分析】过作，交于，连结，设，分析可知，，可得，结合二次函数最值分析求解. 【详解】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，    则，设，则， 在中，，，所以， 则，可得， 所以， 当，即时，取得最大值为. 故选：D. 9．AB 【分析】利用平面向量的模长公式求解. 【详解】因为，，均为单位向量，且，， 所以，所以， 又，故 而 ， 所以即 所以选项C，D不正确，选项A，B正确． 故选：A，B. 10．ABD 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确. 【详解】对于中，由正弦定理得， 由，得，即， 由，则，故，所以或， 即或（舍去），即，A正确； 对于B，若，结合和正弦定理知， 又，所以可得，B正确； 对于，在锐角中，，即. 故，C错误； 对于，在锐角中，由， ， 令，则， 易知函数单调递增，所以可得，D正确； 故选：ABD. 11．AD 【分析】根据正六边形的内角及余弦定理判断A，由正五边形的内角判断B，根据不是角平分线判断C，根据角的大小及正切函数判断D. 【详解】由正六边形知，由余弦定理得，故A正确； 由正五边形知，，所以， 故O到AC的距离是，故B错误； 因为，所以，即不平分，所以O不是的内切圆的圆心，故C错误； 由题意，，，， 由正切函数的单调性可知，故D正确. 故选：AD 12． 【分析】根据三角形重心的性质可得，平方后即可求得答案. 【详解】由于点是的重心，故， 故， 即， 故 ， 故答案为： 13． 【分析】函数在内有且只有一个零点，等价于其对应的方程在给定区间内只有一个根，进而转化为两个函数在给定区间内只有一个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值. 【详解】， 因为函数在内有且只有一个零点， 所以在内有且只有一个实根， 得，即， 即函数在上的图象与直线只有一个交点， 当时，， 画出在上的图象如下， 结合函数图象可知，函数在区间上的图象与直线只有一个交点时， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 14． 【分析】第一空：作EF于F，根据几何关系求出DF和AD的比例关系即可；第二空：可以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，设，利用函数方法求最值． 【详解】作EF于F． ∵，且四边形为平行四边形，故， 则， 那么， ，∴， 又，故，∴， 故， ∴，即， 则在向量上的投影向量为； ，， 如图以A为原点建立平面直角坐标系， 作轴于Q，则，则 ，则． 设，则， 又，∴， ，，∴． 作轴于P，则， ， 则． 故， 故， 令， ∵在单调递减，在单调递增， 故， 即的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用建系法，从而构建出关于的表达式，最后利用二次函数的性质即可求出最值. 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，进而结合余弦定理可得，可求； （2）法一：由周长可得，可求得，利用，可求. 法二：由已知可得，利用，两边平方可求. 【详解】（1）依题意，由正弦定理，得. 由余弦定理. 由，得 （2）法一：由已知. 因为，由（1）得. 由，得， 从而. 解法2： 由已知. 因为，由（1）得. 由，得. 因此. 16．(1); (2). 【分析】（1）利用进行化简，可求，进而可求； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简可得，结合锐角三角形得到，根据正弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 根据正弦定理可得. 因为，所以， 所以， 所以，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以. 因为，所以. （2）由正弦定理得， 所以. 所以 . 因为是锐角三角形， 所以,即，解得， 所以，所以， 所以, 所以的面积取值范围为. 17．(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）记的中点为，利用向量运算证明即可； （2）先根据向量关系得，再由角平分线定理可得，分别在使用余弦定理可得，再在中利用余弦定理求，然后由平方关系可得. 【详解】（1）记的中点为，则， 因为，所以， 所以为的垂直平分线，所以. （2）记， 因为，所以， 所以，， 又为内角A的平分线，所以，， 在中，分别由余弦定理得： ， 联立可得， 在中，由余弦定理得， 所以. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到，进而求得，即可求解. （2）设，在中，利用正弦定理，化简得到，根据题意，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】（1），， 又，可得， ， ，又，， 可得，所以，解得或， ，所以，即. （2）设，则， ，， 在中，由正弦定理得， 因为为锐角三角形，所以且，则， 所以，可得，所以，所以. 19．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角把已知等式化简后，再经过拆角和，然后由两角和的正弦展开式化简，最后由特殊角的三角函数值求出角即可； （2）由（1）可知是直角三角形，再由三角形的面积公式得到，然后由余弦定理和均值不等式得到的最小值，最后求出距离即可. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得，． 因为，所以，同时， 则， ， ， 即． 又因为，所以，所以，故， （2）由（1）可知，，，所以是直角三角形， 又，所以，， 设，，又， 所以，所以． 在中，由余弦定理和均值不等式可知， ． 当且仅当时，等号成立，取得最小值1． 此时，是边长为1的等边三角形，点到直线的距离为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$