精品解析：上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（A卷）

复旦大学附属中学2023学年第一学期 高一年级数学期末考试试卷（A卷） 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 1. 函数y=lnx的零点是___________. 【答案】x=1 【解析】 【分析】转化为求解方程lnx=0的根即可. 【详解】由lnx=0可得， 所以函数y=lnx的零点是， 故答案为：. 2. 函数的对称中心为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把原函数解析式变形得到，可得，换元，令，，原函数化为，可得它的对称中心，即得原函数对称中心。 【详解】由题得，，可得，设，，则原函数化为，与成反比例函数关系且是奇函数，对称中心为，即，解得，因此函数y的对称中心为. 故答案为： 【点睛】本题考查求函数的对称中心，利用了换元法。 3. 已知，用表示______. 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 4. 方程的解是______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以或， 即方程的解是或. 故答案为：或. 5. 已知幂函数在区间上是严格增函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 6. 已知角的终边过点，且，则角的弧度数是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先判断角为第二象限角，再根据三角函数的定义及诱导公式得到，即可得解. 【详解】因为角的终边过点， 又，所以，，所以角为第二象限角， 因为，所以， 所以， 又，所以. 故答案为： 7. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，令，判断函数的单调性，结合，即可求出不等式的解集. 【详解】不等式，即， 令，， 因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以当时， 则不等式的解集是. 故答案为： 8. 已知函数，若对不相等的正数，有成立，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】对于函数整理变形，再利用，可得，利用基本不等式求解最小值. 【详解】， 由不相等的正实数，且， 则， 则， 因为， 所以， 故，则， 又，所以， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为. 故答案为： 9. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意不妨令，即可得，令，，即可得到在上单调递增，再由及奇偶性得到在上的取值情况，从而得到的解集. 【详解】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 11. 设，若定义域为的函数的图象关于直线、直线、直线都成轴对称，且在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数的最小值是______. 【答案】13 【解析】 【分析】根据函数的多对称性得出周期，尽可能减少零点个数并作出图象说明其存在性即可. 【详解】因为函数关于直线对称，又直线为对称轴， 所以也是函数的对称轴，又是的对称轴， 则直线也是函数的对称轴，进而也是函数的对称轴. 又由关于直线对称，则； 由关于直线对称，则， 则，故是以为周期的函数. 所以由在有5个零点，则在有5个零点， 且在至少有5个零点， 当在有5个零点时，则在无零点， 由函数关于直线对称可知， 必有，即为其中一个零点，且在无零点， 故在各有2个零点. 由函数以为周期可知，也是函数的零点， 且函数在，，无零点，故在， 各有2个零点， 由上分析，在有5个零点，在无零点， 此时在区间上的零点个数为个. 如图，可作出满足题意的函数的图象，其在上有13个零点， 所以在上的零点个数的最小值是13. 故答案为：13. 12. 田同学向肖老师请教一个问题：已知三个互不相同的实数，，满足和，求的取值范围.肖老师告诉他：函数在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数.根据肖老师的提示，可求得该问题中值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得：，，结合韦达定理和根的判别式可得，由，得，令，结合条件得到的单调性，从而得到值范围 【详解】由题和，，得， 所以，则，即， 又，所以由韦达定理得和为关于的方程的两个不等根， 所以，即，得， 再由，得，令， 根据题意可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，，，， 当时，，或，，不满足实数，，互不相同； 当时，，或，，不满足实数，，互不相同； 所以值范围是， 故答案为： 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13. 已知集合或，集合，则集合与的关系是（ ） A. B. C. D. 以上选项均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，用列举法表示集合、，即可判断. 【详解】因为或 ， 又或 或 ， 所以. 故选：A 14. 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据对勾函数的性质判断C. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：当时，，，此时，故B错误； 对于C：因为且，所以， 又在上单调递增，所以， 显然满足，故C正确； 对于D：当时，，故D错误. 故选：C 15. 已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”充分条件的有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用反例说明①④，根据单调性的定义判断②③. 【详解】对于①，令， 满足在区间上严格增函数，在区间上也是严格增函数， 但是函数在上不单调，故①错误； 对于②：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 即任意的都有，都有， 所以， 设任意的且，若，则， 若，则， 若，，则， 所以函数在上是严格增函数，故②正确； 对于③：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 则在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 结合②可知，函数在上是严格增函数，故③正确； 对于④：令，满足在区间上严格增函数，且是奇函数， 但是函数在上不单调，故④错误. 故选：B 16. 已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】设，， 若，此时，，B错误； 若，此时，，错误，A错误； 若，则,则， 且，若，真包含A,故D正确，C错误. 故选：D． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知，. （1）求的值； （2）求值：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两边平方得到，进而求得，与联立求出、，即可得解； （2）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 即，所以， 又，则，所以，所以， 所以， 则 ， 所以，， 则． 【小问2详解】 因为， 所以 . 18. 为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. （1）当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ （2）若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【答案】（1）车辆的平均速度为35千米/小时，最大车流量为12000辆/小时； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最大值即得. （2）利用给定条件，列出不等式并求解即得. 【小问1详解】 当时，函数在上单调递增，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以车辆的平均速度为35千米/小时时，公路段的车流量最大，最大车流量为12000辆/小时. 【小问2详解】 当时，，整理得，解得，则， 当时，，不等式化为： ，整理得，解得或，则， 所以汽车的平均速度应在范围内. 19. 设，已知，. （1）求证：函数不是偶函数； （2）若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明； （2）分别得到和在的单调性，将问题转化为即可求解； （3）将问题转化为或，结合单调性即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 因为， 所以函数为奇函数，不是偶函数； 【小问2详解】 对任意的、，不妨设， 所以， 因为，所以，，， 所以，， 所以在上单调递增， 则，， 所以， 由于在上单调递增， 所以， 要使对任意的、，总存在，使得成立， 则，即， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 对任意的，，总有成立， 所以或， 则或， 由（2）可得当，，， ，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 20. 已知函数，其中、是非空数集，且，设，； （1）若，，求； （2）是否存在实数，使得，且？若存在，请求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由； （3）若，且，，单调递增函数，求集合、； 【答案】(1) ；(2) ；(3) ,其中或者,其中或者 或者 【解析】 【分析】(1)根据,分别代入对应的分段区间求解集合的范围再求并集即可. (2)先假设推出矛盾,故可得.代入可得,再分析当时与题设矛盾可得. (3)先根据函数的单调性确定,,再证明在上存在分界点的话,这个分界点应该满足的性质,最后根据此性质写出满足题意的集合即可. 【详解】(1)因为,所以, 因为,所以. 故. (2)若,则,不符合要求. 所以,所以,因为,所以,解得. 若则 . 因为,所以的原象且 所以得,与前提矛盾. 故 (3)因为是单调递增函数,所以对任意的有,所以 所以,同理可证.若存在,使得, 则,于是, 记, 所以,同理可知… 由,得, 所以. 所以,故, 即,此时 . 对于任意,取中的自然数, 则.所以. 综上所述,满足要求的必有如下表示： ,其中或者 ,其中或者 或者 【点睛】本题主要考查了函数与集合的综合运用,需要根据题意确定元素与区间的包含关系.同时也考查了根据函数的单调性分析集合的问题,需要根据题意找到临界点满足的性质,属于难题. 21. 设函数，.记，，.对于D的非空子集A，若对任意，都有，则称函数在集合A上封闭. （1）若，，，分别判断函数和是否在集合A上封闭； （2）设，，区间（其中），若函数在集合B上封闭，求的最大值； （3）设，，若函数的定义域为，函数和的图象都是连续的曲线，且函数在区间（其中）上封闭，证明：存在，使得. 【答案】（1）函数不在集合A上封闭，函数在集合A上封闭 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合所给新定义，利用函数单调性得出定义域为时的函数值域即可得解； （2）结合所给新定义，分、及进行讨论即可得； （3）利用反证法，由函数和的图象都是连续的曲线，运用零点的存在性定理中蕴含的思想，假设不存在，使得，则必有对任意，恒成立或恒成立，从而分情况进行讨论后得出与已知条件矛盾的点即可得证. 【小问1详解】 由函数在区间上单调递增，故， 故函数不在集合A上封闭； 由函数在区间上单调递减，故， 此时有，故函数在集合A上封闭； 【小问2详解】 当时，由函数在集合B上封闭， 则有，解得，此时； 当时，由 ， 此时函数不可能在集合B上封闭； 当时， 由函数在集合B上封闭， 则有，解得，此时， 综上所述，的最大值为； 【小问3详解】 假设不存在，使得， 即对任意，， 由函数的图象是连续的曲线， 故对任意，恒成立或恒成立， 若对任意，恒成立， 则当时，有，则，， 即有，此时函数不可能在区间上封闭， 与已知条件矛盾，故对任意，不成立； 若对任意，恒成立， 则当时，有，则，， 即有，此时函数不可能在区间上封闭， 与已知条件矛盾，故对任意，不成立； 故存在，使得. 【点睛】关键点点睛：最后一问利用反证法，结合函数和的图象都是连续的曲线，假设不存在，使得，则必有对任意，恒成立或恒成立，从而分情况进行讨论后得出与已知条件矛盾的点即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复旦大学附属中学2023学年第一学期 高一年级数学期末考试试卷（A卷） 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 1. 函数y=lnx的零点是___________. 2. 函数的对称中心为__________. 3. 已知，用表示______. 4. 方程的解是______. 5. 已知幂函数在区间上是严格增函数，则______. 6. 已知角的终边过点，且，则角的弧度数是______. 7. 不等式解集是______. 8. 已知函数，若对不相等的正数，有成立，则的最小值为______. 9. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为____________． 10. 已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是______. 11. 设，若定义域为的函数的图象关于直线、直线、直线都成轴对称，且在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数的最小值是______. 12. 田同学向肖老师请教一个问题：已知三个互不相同实数，，满足和，求的取值范围.肖老师告诉他：函数在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数.根据肖老师的提示，可求得该问题中值范围是______. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13. 已知集合或，集合，则集合与的关系是（ ） A. B. C. D. 以上选项均不正确 14. 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A B. C. D. 15. 已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知，. （1）求的值； （2）求值：. 18. 为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. （1）当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ （2）若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 19. 设，已知，. （1）求证：函数不是偶函数； （2）若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数，其中、是非空数集，且，设，； （1）若，，求； （2）是否存在实数，使得，且？若存在，请求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由； （3）若，且，，单调递增函数，求集合、； 21. 设函数，.记，，.对于D的非空子集A，若对任意，都有，则称函数在集合A上封闭. （1）若，，，分别判断函数和是否在集合A上封闭； （2）设，，区间（其中），若函数在集合B上封闭，求的最大值； （3）设，，若函数的定义域为，函数和的图象都是连续的曲线，且函数在区间（其中）上封闭，证明：存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$