第二十一章 一元二次方程 单元试题 2024--2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册数学第二十一章 一元二次方程单元试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（　　） A． B．13 C．11或8 D．11和13 3．方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（　　） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 5．若是方程的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 6．已知关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．必有实数根 D．没有实数根 7．已知，是方程的两个实数根，则的值是（      ） A． B． C． D． 8．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 9．已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 二、填空题（每题3分，共30分） 11．将一元二次方程配方得 ． 12．若方程有解，那么的取值范围是 ． 13．若一个等腰三角形的一边为，另外两边为的两根，则的值为 ． 14．一块面积为的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为，则可列方程为 ． 15．已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 16．二元二次方程可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 ． 17．已知，则的值为 ． 18．某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ． 19．一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ． 20．已知，是方程的两个根，则 ． 三、解答题（共60分） 21．用适当的方法解方程． (1) (2) (3) (4) 22．已知关于x的方程． (1)证明：不论a为何值时，方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正实数根，求a的取值范围． 23．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 24．某工厂生产A型产品，每件成本为20元，当A型产品的售价为x元时，销售量为y万件．要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元．经市场调查发现，y与x之间满足一次函数关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)若某次销售刚好获得192万元的利润，则每件A型产品的售价是多少元？ 25．云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 26．已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为． (1)点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是； (2)点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是； (3)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的定义包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，另外一元二次方程的一般形式是．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．是一元一次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．是二元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长． 【详解】解：， ， ∴或， ∴． 因为三角形两边的长分别为3和6， 所以第三边的长必须大于3， 故周长． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：B． 4．A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据完全平方公式、移项把原方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 5．D 【分析】题目主要考查一元二次方程的解，把代入方程求出m即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 故选：D． 6．C 【详解】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根据的判别式的运用是解题的关键． 先求出根的判别式的值，根据，方程有两个不相等的实数根，，方程有两个相等的实数根，，方程没有实数根，进而可得出结论． 【分析】解：关于的一元二次方程中， ∵ ， ∴方程必有实数根， 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出，，将其代入原式中即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 故选：． 8．B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据一元二次方程的根与系数的关系求出两根及m值，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵的两根为， ∴．， ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 9．A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，． 先把通分后化为，根据根与系数的关系得代入进行计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ， ， 故选：A． 10．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用时间路程速度，可求出点到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：（秒），（秒）． 当运动时间为秒时，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点的运动时间是2秒． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，先移项，得，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，，最后配成完全平方公式，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴先移项，得 则 ∴ 故答案为： 12． 【分析】本题考查一个数的平方是非负数，熟练掌握该特征是解题的关键；本题考查因为方程为形式，左边是一个完全平方式，总是大于等于，所以在有解的情况下要求． 【详解】解：依题意，在方程中，， 故． 故答案为： 13．或16 【分析】本题考查了根与系数的关系，三角形三边的关系以及等腰三角形的性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． 等腰三角形一边为，有两种情况，腰为或者底为，分开讨论并结合根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的根两个根是，则利用一元二次方程的根与系数的关系得，， 若腰为3，则，则，三边为3，3，5，， 若底为3， 则，三边为3，4，4，则， 则或16， 故答案为：或16． 14． 【分析】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，设长方体盒子高为，则宽为，被剪去的正方形边长为；根据题意可得，无盖的长方体盒子的表面积为：；被剪去的四个正方形的面积为：，二者相加为原矩形材料的面积，方程即可列出． 【详解】解：设长方体盒子高为，则宽为，被剪去的正方形边长为， 则无盖的长方体盒子的表面积为：； 被剪去的四个正方形的面积为：， 根据题意得：， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，将代入原方程求出k值是解题的关键． 将代入原方程求出k值，再根据根与系数的关系结合方程的一根为1即可得出结论． 【详解】将代入原方程得：， 解得：， 原方程为， 设方程的另一个根为， 则，解得， 方程的另一个根是． 故答案为：． 16．， 【分析】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解． 把看作是关于x的一元二次方程，方程左边进行因式分解得到，于是得到两个一次方程或． 【详解】∵ ∴ ∴或 ∴这两个一次方程分别是，． 故答案为：，． 17．1 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用因式分解法解得，，进而求解即可． 【详解】设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或 ∴， ∵ ∴应舍去 ∴ ∴． 故答案为：1． 18． 【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识—增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 【详解】解：设每个季度的增长率为 x，列方程得， 故答案为：． 19． 【分析】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用．设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，然后根据“十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数”即可列出方程求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴这个两位数为46． 故答案为：46． 20． 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∴ 故答案为：． 21．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）直接开方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） 或 ∴． 22．(1)见解析 (2)且 【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出原方程的解． （1）根据方程的系数，可得出根的判别式，由偶次方的非负性，可得出，即，进而可证出不论为何值时，方程总有实数根； （2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出原方程的解为，，结合方程有两个不相等的正实数根，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：证明：， ，即， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）解：， ， 解得：，， 方程有两个不相等的正实数根， 且． 23．(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ， ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 24．(1) (2)28元 【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程的应用，理解题意、正确求出函数关系式、列出方程求解是解题的关键． （1）先设出y与x的函数关系式，然后根据当时，；时，；即可求得y与x的函数关系式； （2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的方程，然后求解，再根据要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元，即可确定每件A型产品的售价． 【详解】（1）设y与x的函数关系式为， ∵当时，；时，； ∴， 解得， 即y与x的函数关系式为； （2）由题意可得，， 解得，， ∵要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元， ∴， 答：每件A型产品的售价是28元． 25．(1) (2)6元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【详解】（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； （2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 26．(1)秒 (2)秒 (3)当为或或或时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形 【分析】本题属于动点问题，动点几何问题的解题方法：根据图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置），利用动点位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用数形结合的转化的思想将几何问题转化为函数和方程问题，进而通过函数的性质或解方程就可以解决问题了． （1）由题意，根据运动的时间为，表示出，根据四边形的面积是可列方程，解方程即可解答； （2）过于，则，由勾股定理可求出t的值，从而解答题目． （3）过于，由勾股定理得：，，，分为三种情况：①时，②时，③时，分别求解即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：作于，则， 由勾股定理得， 解得：(舍)． （3）解：作于， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， ， ， 分为三种情况：①时，即， 解得：(舍)， ②时，即， 解得：或， ∵时，，此时舍去； ③时，， 解得：或， 当为或或或时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$