2.1 圆——圆的有关概念及圆的确定 讲义 2024—2025学年苏科版数学九年级上册

努力只能及格，拼命才能优秀 辅导课题：圆的有关概念及圆的确定 学生姓名： 学生年级： 授课科目：数学 辅导老师： 授课日期： 授课时段： 课时数： 学管师： 本节课教学目标 1．知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念. 教学重点 2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆. 教学难点 3．情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 提分第一阶段：复习上节课内容和遗忘知识点 提分第二阶段：梳理本节课知识要点，查漏补缺 要点一、圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点诠释： 　 ①定点为圆心，定长为半径； 　　②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 要点二、点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ； 点P在圆上 d = r ； 点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点诠释：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 要点三、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： 　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： 　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点诠释：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 要点四、确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 提分第三阶段：考试考点例题讲解，掌握解题思路 类型一.圆的位置关系 例1：已知的半径为1cm，点O与点P之间的距离，则点P在_____．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”） 例2：如果的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（    ） A． 点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 3．已知的半径为，若，那么点与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能 4（已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在______． 5已知的半径为，，则点与的位置关系是：点在________． 类型二.圆的半径相关知识点 1.如果外一点到上所有点的距离中，最大距离是，最小距离是，那么 的半径长等于_______． 2.已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（　　） A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm    3.如图，已知及其所在平面内的个点．如果半径为，那么到圆心距离为的点可能是（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．已知点 到 上所有点的距离中，最大距离为 厘米，最小距离为 厘米，那么 的半径长等于________厘米． 5.如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是________． 类型三.圆综合题 1.如图，为的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，若，试求的度数． 2已知：如图，、、是的三条半径，，、分别为、的中点．求证：． 3.如图，在中，是边上的中线，，． （1）当时，________； （2）当面积最大时，则________． 4．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A，B两点，若点A，B关于原点O对称，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 5.如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且． (1)若，求的长度； (2)若半径是5，求正方形的边长． 提分第四阶段：拓展延伸，本节课作业布置 1．的半径为3，若点P在内，则的长可能为(   ) A．2 B．3 C．4 D．以上都有可能 2．圆的面积扩大为原来的 4 倍，则半径 （      ） A．扩大为 4 倍 B．扩大为 倍 C．不变 D．扩大为2倍 3．如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 4.如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的半径长． 5．如图，在中，，点D、E在上，，过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F．    (1)求证：； (2)若，求的半径长． 6.已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． (1)线段与有何关系．说明理由； (2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 提分第五阶段：总结本节课内容，温故而知新 1.如图，是的直径，为的弦，且．若，则的度数为（    ）．   A． B． C． D． 2.将一个含有角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则_____度．    3.如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则_________度． 4.如图，E是边长为4的正方形的边上的一个动点，F是以为直径的半圆上的一个动点，连接，，则的最小值是___________． 5.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______．    6.如图，已知、是的两条弦，且，D是延长线上一点，连接并延长交于点E，连接并延长交于点F．求证：． 课后记 本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ 学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□ 学生上次作业完成情况：数量 % 完成质量 分 存在问题 1 学科网（北京）股份有限公司 $$