专项练13 二项分布与超几何分布的期望与方差&专项练14 概率中的决策类问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

进阶 专项练13 突破 二项分布与超几何分布的期望与方差 1.(多选)已知10件产品中存在次品,从中抽 (2)试用统计知识分析比较两考生的实验 16 操作能力. 取2件,记次品数为 ,P(=1)= 45 PP(=2)= __ A.这10件产品的次品率为20% B.次品数为8件 C. EFg=0.4 D. D=225 64 5.(2023·湖北黄冈高二期末)某公司通过游 戏获得积分以激励员工.游戏规则如下:甲 2. 考察下列两个问题:①已知随机变量X。 袋和乙袋中各装有形状和大小完全相同的 $B(. ).且 E=4.Dx=2.记P(X=1)=$ 10个球,其中甲袋中有5个红球和5个白 ②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游,每 球,乙袋中有8个红球和2个白球,获得 人只去一个景点,设A表示“甲、乙、丙所去的 积分有两种方案,方案一:从甲袋中有放回 景点互不相同”,B表示“有一个景点仅甲一人 地摸球3次,每次摸出1个球,摸出红球获 去旅游”,记P(A1B)三b.则 ( 得10分,摸出白球得0分;方案二:掷一枚 $A. a=b3$$B. a=b^*$$C. a=b65$$$$$ D.a=b 质地均匀的般子,如果点数为1或2,那么 3. 已知离散型随机变量X服从二项分布X。 从甲袋中随机摸出1个球;如果点数为3 4.5.6.那么从乙袋中随机摸出一个球,若摸 P ) 出的是红球,则获得积分15分,否则得 5分. A.2 D.4 (1)某员工获得1次游戏机会,若以积分的 4.(2024·北京西城区高三期中)某校设计了 均值为依据,请判断该员工应该选择方 案一还是方案二? 一个实验学科的实验考查方案,考生从6道 备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要 (2)若某员工获得10次游戏机会,全部选 择方案一,记该员工摸出红球的次数为 求独立完成全部实验操作,规定:至少正确 V.当P(Y=k)取得最大值时,求 的值 完成其中2题便可通过.已知6道备选题中 考生甲有4题能正确完成,2题不能完成 考生乙每题正确完成的概率都是 题正确完成与否互不影响,求: (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的 概率分布列,并计算数学期望 22 黑白题 数学1选择性必修第一册·BS 进阶 专项练14 突破 概率中的决策类问题 1.(2024·山西运城高三期末)某学校进行趣 2.(2024·湖南邵阳高三月考)在一个有奖游 味投篮比赛,设置了A.B两种投篮方案,方 戏中,参与者可从A.B两类数学试题中选 案A:罚球线投篮,投中可以得2分,投不中 择作答,答题规则如下: 得0分:方案B:三分线外投篮,投中可以得 规则一:参与者只有在答对第一次所选试 3分,投不中得0分,甲、乙两位同学参加比 题的情况下,才有资格进行第二次选题,且 赛,选择方案A投中的概率都为p(0<p<1) 连续两次选题不能是同一类试题,每人至 多有两次答题机会; 规则二:参与者连续两次选题可以是同一 有一次投篮机会,投中与否互不影响 类试题,答题次数不限 (1)若甲选择方案A投篮,乙选择方案B投 (1)小周同学按照规则一进行答题,已知小 篮,记他们的得分之和为X.P(X<3) 周同学答对A类题的概率为0.75.答对 .求X的分布列; 一次可得2分:答对B类题的概率为 0.6.答对一次可得3分,如果答题的顺 (2)若甲、乙两位同学都选择方案A或都选 择方案B投篮,问:他们都选择哪种方 序由小周选择,那么A.B两类题他应优 先选择答哪一类试题?请说明理由 案投篮,得分之和的均值较大 (2)小南同学按照规则二进行答题,小南同 学第1次随机地选择其中一类试题作 答,如果小南第1次选择A类试题,那 么第2次选择A类试题的概率为0.6 如果第1次选择B类试题,那么第2次 选择A类试题的概率为0.8.求小南同学 第2次选择A类试题作答的概率 进阶突破·专项练23 3.(2023·山东淄博一中高二月考)某物流公 采用抽奖的方式奖励员工,其中每日的 司专营从甲地到乙地的货运业务(货物全 可配送货物量不低于时有两次抽奖 部用统一规格的包装箱包装),现统计了最 机会,每日的可配送货物量低于时只 近100天内每天可配送的货物量,按照可配 有一次抽奖机会,每次抽奖的奖金及对 送货物量T(单位:箱)分成了以下几组 应的概率分别为; [40.50).[50,60),[60,70),[70,80) 奖金 50 100 [80.90),[90.100],并绘制了如图所示的 +{1n 概率 _1 频率分布直方图(同一组数据用该组数据 的区间中点值作代表,将频率视为概率) 率/组 小张为该公司装卸货物的一名员工,试 0.030 从员工所得奖金的数学期望角度分析 0.025 0.020 小张选择哪种奖励方案对他更有利? 0.015 0.010 附:若Z~N(.q^{}).则P(-o<Z<u+o) 0.005 0 4050 60 70 80 90100 7/翁 0.6 826.P(-2<Z+2)-~0.9544 (1)该物流公司负责人决定用分层抽样的 方法从前3组中随机抽出11天的数据 来分析可配送货物量少的原因,并从这 11天的数据中再抽出3天的数据进行 财务分析,求这3天的数据中至少有 2天的数据来自[50.60)这一组的概率 (2)由频率分布直方图可以认为,该物流公 司每日的可配送货物量T(单位:箱)服 从正态分布N(u.14.4^}).其中近似为 样本平均数. ①试利用该正态分布,估计该物流公司 2.000天内日货物配送量在区间(54.1 97.3]内的天数(结果保留整数) ②该物流公司负责人根据每日的可配 送货物量为公司装卸货物的员工制定 了两种不同的工作奖励方案 方案一:利用该频率分布直方图获取相 关概率,采用直接发放奖金的方式奖励 员工,按每日的可配送货物量划分为三 级:T<60时,奖励50元:60<T<80时. 奖励80元;T>80时,奖励120元 方案二:利用正态分布获取相关概率, 24 黑白题 数学1选择性必修第一册·BS得选法共有CC种，所以B正确：对于C,先从物理和历史中选 1门，有C吗种选法，若从政治和地理中只选1门，则再从化学和生物 a4P号(2-Q4结然D正确做惠m 中选1门，有CC种选法，若政治和地理都不选.则从化学和生物中 (E=p=4, 2.C解析：由 选2门，只有1种选法，由分类计数原理，可得共有C(CC+1)种选 (DX=p(1-p)=2, 解得p=A=8,则4=P(X=1)= 法，所以C正确：对于D,若物理必选，只有1种选法，若化学、生物只 选1门，则在政治，地理中选1门，有CC种选法，若化学，生物都 n(B)Cx23= 选，则只有1种选法，由分类计数原理，可得选法总数为CC+1,所 2,所以a=放选C 以D错误.故选ABC 9.D解析：根据本校监考人数分为： 3.C解析：离散型随机变量X服从二项分布X-B(n,P),有=4= 本校1人监考，另外4人分配给两所学校.有2.2和3.1两种分配方 p,DX=g=p(1-p),4p+=4,即p+子=1(p>0,gp0),所以 P 案，所以总数为Cg(心C， ·A号+CCA号=28： 本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2,1一种分配方案， 所以总数为C(CC)=6,根据分类计数原理，所有分配方案总数 当组仅当9=2时取得等号，放选心 9 为28+6=34.故选D. 10,ABD解析：甲、乙、丙、丁4名教师志愿者分别去东门、西门.北门 4.解：(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为￡，则￡的取值范围是 三道校门协助保安值守，选项A,若对每名教师志感者去哪道校门 11.2,3, 无要求，则共有3=81（种）不同的安排方法.A正确.选项B.若恰 Pt=1)=C9C、1 有一道门设没有教师志愿者去，则可以先把4名教师分成2组，再分 Cg5,P(5=2)= ic!3 Cg5,P(6=3)= 配给东门.西门，北门三道校门，则共有(C:C,CS） 以￡的分布列为 A号=42（种） 不同的安排方法，B正确.选项C,若甲、乙两人都不能去北门，且每 道门都有教师志愿者去，则北门可以安排1名教师或安排2名教 师，则共有CC!C好A+C好A号=14（种）不同的安排方法，C错误选项 1 D,若学校新胸入20把问一型号的额温枪.准备全部分配给三道使 则E=1× 5+2x 5+35=2 门使用.每道校门至少3把，则先分配给三道较门各2把，还剩 14把，将14把额温枪排成一排，在中间13个空位中置人2个挡板。 设考生乙正确完成实验操作的题数为刀，易知刀-B(3,子）】 共有C=78(种)分配方法，D正确.故选ABD 11,126解析：根据题意，甲可收集1种或2种资料 所以P=o)=G(-子)'=P(==G()( 第一类，甲收集1种，则乙，丙，丁中有一人收集2种，另两人各收集 1种.有CCA=108(种)： )g=2=G(传）广(-）广-号= 第二类，甲收集2种，则乙，丙、丁每人各收集1种，有CA= 18(种) c(居)广 所以不同的分工收集方案种数共有108+18=126（种），故答案 所以刀的分布列为 为126 12.72解析：(1)使用3种形状的风铃，只能E与F同，A与C同.B与 D同.此时共有C·A=24(种)挂法. 2 (2)使用4种形状的风铃，此时有两种情况： 27 ①A与C同，B与D不同：直接将4种风铃挂到ABDE四个点上， 有A=24(种)挂法： 所以E7=3 32 ②A与C不同.B与D同：此时与①相同.共有A寸=24（种）挂法 综上，共有24+24+24=72（种），枚答案为72 （2)()知体=网=2.g=1-2x写+(2-2P 5+(3-2)2× 专项练13二项分布与超几何分布的期望与方差 12 1.ACD解析：假设10件产品中存在次品为n件，从中轴取2件， 4820 P(E=1)= 16 CICio-16 P(≥2)=9+2727 P(=1)= 45 C45 所以DE<Dm,P(E≥2)>P(n≥2)， →n=2,则次品数为 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当：从正 P(E=2)=45 P(6=2)-CC1 C45 确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定：从至少正 确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大因此甲的实验操 2件，B错误：这10件产品的次品率为二×100%=20%，A正确g 作能力较强 10件产品中存在2件次品，从中抽取2件，记次品数为，则€的可能 5.解：(1)选择方案一： 取为0.12=0=P=-p=2=1-太-器题 方法一：因为甲袋中有5个红球和5个白球，故从甲袋中有放同地摸 =0x45+1×45+2×5=04,C正确：W=(0-Q4)× 28 .16 球，每次换到红球的概率为，高子，由题查可得，设积分为K,不可能 45+(1 取值为0.10.20.30. 参考答案黑白题135 =o=c(）广=grx=o=G(宁（广- 若以2，)(3，).即，2部得09<宁 x=20=G(号）广(-）-P(=0=c( 所以当%<1时，甲.乙两位同学郁远择方案A投值，得分之和的 广g 均值较大： 当=】时，甲，乙两位同学都选择方案4或都选择方案公投篮，料 则X的分布列为 分之和的均值相等： 0 10 20 30 当0<%2时，甲，乙两位同学都选择方案B投靠，得分之和的均做 8 8 较大 2,解：(1)根据题意，小周同学按照规则一进行答题。 10x+20 EX=0x1 *30x 若先选择答A类题，设小周获得的积分为X, 方法二：由题意可得，设抽中红球的次数为专，积分为X, 则X的所有可能取值为0.2.5， P(X=0)=1-0.75=0.25,P(X=2)=075×(1-0.6)=0.3.P(X=5)= 因为B,时）所以度=3兴对15 0.75×0.6=0.45. 因为X=10,所以EX=10F=10×1.5=15. 则EX=0x0,25+2x0.3+5×0.45=2.85: 选择方案二： 若先选择答B类题，设小周获得的积分为Y 则Y的所有可能取值为0,3,5， 设事件A=“从甲袋摸球”，则事件A=“从乙袋摸球“，事件B=“模出 P(y=0)=1-0.6=0.4.Py=3)=0.6×(1-0.75)=0.15. 的是红球”，设方案二的积分为Z,则P(B)=P(A)P(B1A)+P(A)· P(y=5)=0.6x0.75=0.45. 3 所以EY=0×0.4+3×0.15+5×0.45=2.7. 10+5x012 因为285>27，所以小周应该先答A类题 因为EZ<EX,所以选择方案一 (2)由于小南同学按照规则二进行答题， （2)由意得(0,）月 设A1:第1次选择A类题作答，A2:第1次选择B类题作答，B:第2次 选择A类试题作容，则P(A1)=P(A)=05,P(B1A)=0.6, P(B1A2)=0.8.放P(B)=P(A1)P(B1A1)+P(A2)P(BIA2)=05× P(Y=k)=Co 2 ≥P(Y=+1)=C岁 0.6+0.5×0.8=0.7. 3,解：(1)由分层抽样知识可知，这11天中前3组的数据分别有11× ≥P(y=k-1)=C 0.005 0.02 解得145≤k≤155，又k∈N,即k=15时.P(Y=k)最大. Q.005+0.02+0031（个).11×a05+002+0.03=4(个，1× 0.03 专项练14概率中的决策类问题 a04024Q0s6(个)，故所求概率为p-CC,C6 C1C2,163 (2)①由题得4=45×0.05+55×0.2+65×0.3+75×0.3+85×0.1+95× 1.解：(1)依题意，甲投中的概率为%，乙投中的餐率为了 0.05=68.5,所以P(54.1c7≤97.3)=P(68.5-14.4<T≤68.5+28.8) 3 于是得P(X≤3)=1-P(X=5)=1- 3Po=- ，解得Pm=4 2×(0.6826+0.9544)=0.8185. X的所有可能取值为0,2,3,5 故该物流公词2000天内日货物配送量在区间(541.97.3]内的天数 为2000x0.8185=1637(天). P(X=0)= ()(5）石=2=×()月 ②易知P氏T<)=PTu)=2, 1 434 对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X元，侧X的可能取值为 50.80,120.其对应的概率分别为0.25,0.6.0.15，故EX=50×0.25+ 所以X的分布列为 80×0.6+120×0.15=78.5. 对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值 12 为0,10,150.20.散P=0)=×号号Py=i0)= 11 44 (2)设甲，乙都选择方案A投蓝，投中次数为Y,都选择方案B投篮， 4x4=2 1 5+25*5=5 P(=150)=2x*5×5=25PV= 投中次数为则-2.-B2,写)） 则两人都选择方案A投篮得分之和的均值为E(2Y,), 所以Y的分布列为 都选择方案B投篮得分之和的均值为E(3Y,), ⊙ 100 150 200 则E(2Y,)=2EY,=2×2pn=4p0 B队3)=3，=3x2x写2， 3 若(2)>E(3).甲4>2.解得<1 2 4 EY=50x- -重03x二量+150×，5+20c 50 =90 若B(2Y,)=(3Y:).即4p=2.解得=2 因为EY>EX,所以从员工所得奖金的数学期望的角度看，小张选择 方案二对他更有利 选择性必修第一册·BS黑白题136