专项练09 利用空间向量解决探索性问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

进阶 突被 专项练09利用空间向量解决探索性问题 题组一位置关系问题 (1)在线段A,N上找一点Q,使得PQ∥平 1.(2024·四川成都外国语学校高二月考)如 面A,CM; 图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方 (2)在(1)的条件下，求PQ与平面A,CM的 形，DE⊥平面ABCD,CF∥DE,且AB= 距离. DE=2,CF=1,G为棱BC的中点，H为棱 DE上的动点. (1)证明：当H为棱DE的中点时，GH∥平 面ABE. (2)是否存在点H,使得GH⊥AE?若存在， 求DH:DE的值：若不存在，请说明 理由 题组马角度问题 3.(2024·江西新余高二期末)如图，在四棱 锥P-ABCD中，已知AB∥CD,AB⊥AD BC L PA,AB 2AD 2CD 2,PA =6, PC=2,E是线段PB上的点， (1)求证：PC⊥平面ABCD (2)是否存在点E使得PA与平面EAC所 成角的正弦值为子？若存在，求出邵的 BP 值：若不存在，请说明理由。 2.(2024·山东临沂高二期末)如图，在直三 棱柱ABC-AB,C1中，∠BAC=90°， AB=AC=2,A4,=4,M是AB的中点，N是 B,C的中点，P是BC,与B,C的交点. 进阶突破·专项练15 4.(2024·云南昆明高二期末)已知平行四边 (3)在侧棱PC上是否存在点F,使得点F 形ABCD如图①，∠D=60°，DC=2AD=2 到平面ABC的距离为6？若存在，求 沿AC将△ADC折起，使点D到达点P位 置，且PC⊥BC,连接PB得三棱锥P-ABC. 的值：若不存在，请说明理由。 如图② FC (1)证明：平面PAB⊥平面ABC (2)在线段PC上是否存在点M,使二面 角M-AB-C的余弦值为1 若存在， 13 求出 M C的值；若不存在，请说明理由。 6.(2024·山东青岛高二期中)图①是直角梯 2》 2 形ABCD,AB∥CD,∠D=90°，AB=2,DC= 3,AD=√3，CP=2E而，以BE为折痕将 △BCE折起，使点C到达点C,的位置， 且AC,=√6，如图② (1)求证：平面BC,E⊥平面ABED (2)在棱DC,上是否存在点P,使得点C 到平面PAE的距离为？若存在，求 出二面角P-BE-A的大小：若不存在， 说明理由. 题组目距离问题 5.(2024·山东东营高二月考)如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱 形，PA=PC=2,PB=PD,且∠ABC=60°，E 为PD的中点。 (1)求证：AC⊥PD. (2)求二面角E-AC-D的大小 16黑白题数学|选择性必修第一册·BSD:因为EF,BCC平面BB.C.C.且EF,BC不平行,所以EF.BC相交 (2)由(1)--(1.1.0)-(..。o). 于一点.又因为EFC平面MFEO,BCC平面ABCD,由基本事实3可 知,平面MFE0与平而ABCD相交,故D正确故选ACD ...(。)·(2.4.1) 48 .1 2+4+1 /2f 2 422.P0到平面A.CM的距离为421 4/21 21 3.(1)证明:在△ADC中,AD=DC=1.乙ADC=90”,所以AC= $AD{+DC=1+I=v2.在△ABC中.AC=②.AB=2.BAC=45 由余弦定理有BC=AB+AC-2AB·AC·045=442-2x2x 专项练09 利用空间向量解决探索性问题 /② -=2.所以AB}=AC②}+BC},所以乙ACB=90*,所以BC1AC.又因为 1.(1)证明:当II为DE的中点时.取EA中点为M.连接MIH.MB,因 BC 1PA.PAOAC=A.PA.ACC平面PAC.所以 BC1平面 PAC.因为 PCC平面PAC,所以BC1PC.在△PAC中,AC=2.PC=2.PA=6 则PA}=AC}+PC.所以 PC 1AC.因为ACOBC=C.AC.BCC平面 已知条件可知BC/AD.BG=-AD.故MB/BG.MH=BG.故四边 ABCD.所以PC1平面ABCD (2)解;存在.因为PC1平面ABCD.AB1AD.所以以点A为坐标原 形IIMBG为平行四边形,则HG/MB.又MBC平面ABE.HG2平 点,A,A,CP的方向分别为x.y:轴的正方向建立如图所示的空间 面ABF,故GH/平面ABE. 直角坐标系. (2)解:存在.因为ED1平面ABCD.DA.DCC平面ABCD.所以DE DA.DE1 DC.又四边形ABCD为矩形.故DA1.DC.则DE.DA.DC两 两垂直,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则A(2.0. 0).E(0.0.2).6(1.2.0).设1(0.0.m)me[0.2].若GH1AE.则Gr -(-1.-2.m)·(-2.0.2)=0.即2+2r=0.解得m=-1.不满足题 意,故满足条件的点不存在 则有A(0.0.0),B(0.2.0).c(1.1.0).D(1.0.0).P(1.1.2)设B AB=(1-1.2)-(A.-A.2).其中0A1.则A=A+- (.2-A2)A=(1.1.0).A-(1.1.2).设n=(x,y:)为平面 I.-x+y=o. '取:=-A.则y: A.:=A-1.所以平面EAC的法向量为n=(-A,A.A-1).由题意可 n.__ 得cos(An)1= 12-21 2.解:(1)如图,以A为原点,AC.AB,AA.所在直线分别为:轴、y轴。 :轴建立空间直角坐标系,则A.(0.0.4).C(2.0.0).M(0.1.0). V1.1.4).P(1.1.2).:A.C=(2.0.-4).A.=(0.1.-4).A. (1.1.0).A=(1.1.-2). 1_ 4.(1)证明:翻折前,因为四边形ABCD为平行四边形,/D=60*.则 B=60$因为DC=2AD=2 .所以AB=DC=2.BC=AD=1.由余 $ 理可得AC*-AB*+BC°-2AB·BC·cos乙B-4+1-2x2x1×-3.所 以AC}+BC2}=AB,则BC1AC.同理可证AD1AC,翻折后,则有 BC1AC.PA1AC.因为PC 1BC.ACOPC=C.AC.PCC平面 PAC.所 以BC1平面PAC因为PAC平面PAC.所以PA1BC因为ACOBC= C.AC.BCC平面ABC,所以PA1平画ABC.因为PAC平面PAB,所以 平面PAB1平面ABC. (2)解:存在.因为PA1平面ABC.BC1AC.所以以点A为坐标原点。 (nA=0. 罚 rC.AC.A的方向分别为x.y.:轴的正方向建立如图所示的空间直 设平面A.CM的法向量n=(x.y.:),则 l.A=o. 角坐标系, (2-4--0令-1.得x-2.y-4.v. n-(2.4.1)是平面A.cCM的一个 1_-4:=0. 法向量设A=aA-(a.A.0)(0A1).则P-A.-A=(. $0)-(1.1.-2)=(A-1.A-1.2).若P/平面ACM,则P1n.从 而P·n-0.即2(-1)+4(a-1)+2=0.解得A-- 2- 24.N.当0为线段A.V上靠近V的三等分点时.P0/平 则A(0.0.0).P(0.0.1).C(0.3.0).B(-1.③.0).设P-aP $(0..-1)-(0v3.-A).其中0<A1.则A-A+P-(0.0. 面A.CM. 1+(03A.-A)=(0.3A.1-A).AB=(-1.3.0)设平面ABM的 参考答案 黑白题131 (n.--x+/3y=0. 法向量为m=(x.y.:),则 取y--1. 1m.A-3ay+(1-A):=0. 则- 3A,=(A-1).所以n=(③A-.A-1.3A).易知平 面ABC的法向量为a=0.0.1),则1csm.n)1· ln·nl ① 11 3 (2)解:以G为坐标原点.CA.c.cC的方向分别为x.y:轴的正方 向,可建立如图③所示空间直角坐标系. 5.(1)证明:连接BD.设BD与AC交于点0.连接P0.如图.因为PA PC=2.所以AC1P0 ③ )()c02)g(0.,v) 四校锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,则AC1BD.又 PODBD=0.PO.BDC平面 PBD,所以AC1平面PBD.因为PDC平 DC.上存在点P(x.y.c)且D-ADC(0<A1)满足题意,即 面PBD.所以AC1PD (2)解:因为PB=PD.所以BD1PO.所以由(1)知P01平面ABCD #(### 以0为原点,0,0.0的方向分别为x轴y轴;轴正方向,建立如 图所示空间直角坐标系. l.-③A. .=. #)#7()) (3 .设平面PBE的法向量 n=(a.b.c).则 (.n-()())e0. ,n=2h=0. 则A(0.-1.0).B(3.0.0).C(0.1.0).D(-3.0.0).P(0.0.3). [=0. _4_ n_ .点C.到平面PBE的距离a= -(2.0.-). 1③_3 lEC.f 6 _0. I () #-(0.o③),所以cn.on _2 110p2x,所以二面 “-2v2 角E-AC-D为 又二面角P-BE-4为锐二面角..二面角P-BE-4的大小为” (3)解:存在.由(2)得C-(0.-1.v).BC-(-v3.1.0).设c P=(0.-Av3a)A=[0.1].则or-o+cr-(0.1-A3a),所 专项练10 计数原理与概率的综合应用 10.n③v6 以点F到平面AFC的距离d= ln 1.C 解析:从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有C]= #-7,以#2# 6.(1)证明:在图①中取CE中点F,连接BF,AE. 选C ·$E-2ED$CD=3.AB-2.:.CF=1.FF=1.: DF=AB=2.DF/AB 2.A 解析:在不超过10的正整数中随机选取3个不同的数,基本事件 乙D=90*。:四边形ABFD为矩形..BF1 CD..BE=BC= 的总数为n=C=120.能组成勾股数组的有(3.4.5).(6.8.10). 共2组,故所求概率为120-60.故选A. 21 V3+1=2.又CE=2..△BCE为等边三角形.又AE=V3+1=2. 2.△ABE为等边三角形.在图②中,取BE中点G.连接AG.C.C. 3.C 解析:从这五个音阶中任取三个音阶,排成一个三个音阶的音序 ·△C.BE.△ABE为等边三角形 .C. G1BE.AG1BE.C. G=AG= 基本事件总数n=A=60,其中这个音序中含“微”这个音阶的基本 3.又AC =6..AG+CG=AC .C.G1AG 又AGOBF=G.AG 事件个数m=CA=36.则这个音序中必含“微”这个音阶的概率为 BEC平面ABED .C.G1平面ABED.C.GC平面BC.E..平面 BC.F1平面ABED 选择性必修第一册·BS 黑白题132