专项练06 圆锥曲线中的探索性问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

8(1)解：抛物线C:y2=2pr的焦点F(号，0)，则直线：x=公，由 t)2-3=0.解得1=4±3，所以定点为(4+√3,0)和(4-3.0). 14 =分得1p,傲延意AB1=2p=4.解特p=2,所以抛物线C的 v2=2m 方程为y2=4x,焦点F(1,0). (2)证阴：如图，由抛物线对称性，不妨令点A在x轴上方，由(1) 知，A(1,2),B(1,-2),显然直线1不垂直于坐标轴.设其方程为x= t1≠0M(N<0c1,由清去 2.解：(1)同M:(x+2)2+y2=16,圆心1(-√2,0)，半径为4，因为 2-4y-4=0,显然4=162+16>0y,y3=4,12=-4,直线AM的斜 N(2,0),所以1MN=22.因为Wd=A7,Ae[0.1].所以0在线 率为6w=2-2.4 段TM上，即107+1QM1=4,又因为(O+0),7元=0，所以10N1= x-1 ,+2方程为=4 +2-1+2,直线BN的 1QT1,即1QW1+1OM1=4>22=1MN1.所以动点0的轨迹广是 斜案为w=归2.+2.4 2方程为4 以H,N为焦点，长轴长为4的桶圆，设椭圆方程为+方=1（心 -2(x-1)-2,由 0),则2a=4,2e=22,则a=2.c=2,所以b2=a2-2=22- 7*2)+2. 4 (2)2=2,则动点0的轨迹r的方程为产，二 42=1 消去y得44 (2)设过点P(0,1)的直线为1，当（平行于x轴时，直线与椭陶相交 4 -20-2 ,+2-2-1)=-4，整理得x 于A,居屑点，如果存在点化精足条件，则有础阳1司 (y+2)(y3-2) 1R41=RB1,所以R点在y轴上，可设R的坐标为(0，a):当1垂直 1111 1-+22-2,-4 (2-2)-(y,+2) 为为1-4 于x轴时，直线与椭圆相交于A,B两点，A(0,2),B(0,-2),如果 y1+2y2-2 2-21-8 ,解得ya= -1.因此点G的横坐标恒为-1，所以点G在定直线x= 存在点R满足条件则有册即0解 21-4 -1上. 1或。=2，所以若存在不同于点P的定点R满足条件，则点R的坐 标为(0,2).当1不平行于x轴时且不垂直于x轴时，设直线1方程为 =kx+1, y=6红+1，A(1),B(2为)，联立{x2y2 得(1+22)x2+ 421, 4kx-2=0因为直线1恒过椭园内定点P(0.1).所以4>0恒成立. 1+2亚5=1+2P义因为点B关于y轴的对称点B的坐 4k 2 标为(5)，=2-1 _-22-1 =- 1 4 专项练06圆锥曲线中的探索性问题 所以k-m=2张15=2水-1+2 2 .2 一=0，所以kg:=k世，则 1解：D设P心，则r2加=本且≠生2.所以 -2 1+2h 中2年整理可得(2)即点P的轨迹方程C3 1三--骨上布与r y2=1(x≠±2) 不同的定点R.使1-P恒成立，且(0.2。 IRBI IPBI (2)如图所示，设直线1方程为x■y+1,M(x1),N(22),联立 (x=my+1, 3.解：(1)设A(1),B(为).M(x0),联立直线1与双曲线E的 可得2 -2m 42=1 可得(m2+4)y2+2-3=0,所以+归m+4 方程，得少-3 消去y得(1-4k2)x2+24a-40=0.由4=160- x2-4x2=4, m44d=(2m)2+4x3(m2+4)>0 -3 6430且1-4≠0，得c且2号 由根与系数的关系.得，+ 直线w的方程为y一2)，可科 2E42月 2y -24k x1-21 1人43= 所以0=22=%3=二2、1 人伯 直线N的方程为yx二2x-2),可得% 24 x2-2 1-42 -3 消去k.得后=4+12o由< 4,得05-3 所以yxyG= 4y2 4y1为 (1-2)(x2-2) (m1-1)(m3-1) -12 -12 或>写所以点M的轨迹方程为广441，其中了≤一3皮 4y11 m2+4 m2+4 =-3,假设过 1 m2y1为-m(1+)+1 -3 m2 4 m2+4m m2+4 定点H(,0),则成.元=0，即(4-t)(4-t)+yc=0,即可得(4- (2)双曲线E的渐近线方程为)=±之设G(,),(4,,联 参考答案黑白题127 乞，得同理可得因为2 6 21-42 (y=k-3. ,所以线段AB的中点M也是线段CD的中点若A,B为线段CD的 两个三等分点，则1CD川=31AB1,即√1+x-41=3√1+21x1 3l,11-41=311-3.而1-21=√(12)-4x= -2462 ,∠ACD=∠A=30°，AC=√3，∠ADC=∠PDC=120°，.由正弦定理， 160 66 12 V1-42 24可2k+1"14-n所以 CD AC ACsin A 3x I 2 12 1213 -24k12160 sin A"sin ZADC CD= =1.·C⊥平面PCD. in∠ADC 3 1-4k2 一4状，解得=±之，所以存在实数 2 ±？，使得A,B是线段CD的两个三等分点 点P在Cy平面内.由PD=AD=CD=1,∠PDC=I20.得P0, 4.解：(1)由题意可知M(-2,1),N(4,4).则直线M的斜率k= 35 4-11 22 ）又.ao.o1.o.亦-(0）成 4-(-2)2 (D成.m=0, 所以直线1的方程为-4= 2（x-4),即x-2+4=0:可得线段MN的 (3,-1.0).设平面PBD的法向量为#=(x,y,:), DB.n=0. 5 13 中点坐标为，立)线段W八的中垂线所在的直线的斜率k=-2, 则2+了=0设x=1,则m=（1,5.-1).又应=(5,0， 5 所以线段N的中垂线所在的直线方程为y之=-2(x-).即 5x-y=0, 4x+2y-9=0. 0).1w(n,Ci1= n·CB 3 InlICBI 3x5 5心直线BC与平 (2)存在符合题意的点P(0,-a),理由如下：如图，设点P(0,)为符 合题意的点，M(,),N(2方)，直线PW,PW的斜率分别为 、面PBD所成角的正弦值为 k1,k3 3.A解析：如图，连接BD.因为四边形ABCD为菱形，且∠A=6)°，所 以△ABD为等边三角形.因为E为AB的中点，所以DE⊥AB,所以 DE⊥EB.DE⊥A'E因为EBnA'E=E,EB,A'EC平面A'EB,所以 DE⊥平面A'EB因为菱形ABCD的边长为4，所以AB=AD=CD=BC= 4,DE=25,A6=B服=2，所以直角梯形CDE的面积为子x(2+4)× 25=6,5.设四棱维A-EBCD的高为，则了×65h=45,得A=2 所以A'E=2.又A'E⊥平面CDE.所以以E为原点.EB,ED,EA'所在 的直线分别为x,y-轴建立空间直角坐标系，则2,0,0).C(4,23,0). (y=k+a, 联立方程 x2得x2-4kr-4a=0.因为a>0.则4=16k2+16a>0. F03,1),所以E元=(2,2w3,0),c= 9)m 可得+名=秋，与=一如，从面后+场与=，中.色如-b 3.0,1a143+22a·e2=2所以F到直线c的 ,+a-b2与+(a-b)().-8a+46(a-62_ab.因为 距离为d=√a-(a·c)=/8 工，故选 2 12 -4n 不恒为0，可知当且仅当b=-a时，有，+长2=0，则直线PM与直线 PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意. 专项练07利用空间向量解决折叠问题 1.C解析：因为AB∥CD,∠ABD=120°，所以∠BDC=120°，因为AC= 4.(1)证明：在题图2中AD⊥D,AD⊥CD.则∠BDC为二面角B-AD-C的 矿++D元所以1元2=存+亦+D心+2店，励+2店， 平面角，即∠BMC=60,又CDOBD=D,CD.BDC平面BCD,所以MD⊥平 D元+2B币.D元.所以27=9+4+1+2×3×2×c0s60+2×1×2x0%60°+2× 面BCD.由BCC平面BCD,得AD⊥BC,题图①中D元=2励及BC=3,所以 3x(,成即cm,=名所以异面直线B与C①所 Bm=1.=2,在△D中，由余弦定理得C,√42X0x了-5. 成角的余弦值为。放选C 又BD+BC2=1+(3)2=4=CD.所以BC⊥BD.义AD∩BD=D,AD.BDC 平面ABD,所以BC⊥平面ABD 2.(I)证明：：△ABC中，AC=BC=3,AB=3,由余弦定理，c∠ACB= (2)解：以B为坐标原点，以BC,BD,B(∥AD)所在的直线分别为，水， 21C·BGC23x32,而LACB为三角形内角，∠ACB= AC2+BC2-AB23+3-91 :轴，建立如图所示的空间直角坐标系 120,∠A=∠B=30°.AD=CD,∠ACD=∠A=30°.∴.∠DCB=90° 即BC⊥CD.又：△PBC中，PC=BC=√3，PB=√6，PC+BC2=PB, PC⊥G,PC,CDC平面PCD,PC∩CD=C,.B⊥平面PCD.又 PDC平面PCD,∴.BC⊥PD. (2)解：以C为原点，CB,CD分别为x,y轴，过C垂直于平面BCD的 直线为：轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cz, 选择性必修第一册·BS黑白题128进阶 专项练06 突破 圆锥曲线中的探索性问题 1.(2024·辽宁沈阳高二期末)已知A(2,0), 2.(2024·江西九江高二期中)已知T为 B(-2.0),点P是动点,直线AP与直线BF 圆M:(x+2)}+v}=16上任一点,N(2 0),M=AMT,e[0.1],且满足(0+ ON)·-0. (1)求点P的轨迹方程C (2)过点(1.0)且斜率不为0的直线/与C (1)求动点0的轨迹广的方程 交于M.N两点.直线x三4分别交直 (2)过点P(0.1)的直线与轨迹下相交 线AM.AN于点E.G.以EG为直径的圆 于A.B两点,是否存在与点P不同的 是否过x轴上的定点?若是,求出定点 1RAIIPA1 定点R,使 恒成立?若存 1RB1 |PB1 坐标;若不是,请说明理由 在,求出点R的坐标;若不存在,请说明 理由. 10 黑白题 数学1选择性必修第一册·BS 4.(2024·广东广州高二月考)在直角坐标系 相交于A.B两点.V为线段AB的中点. (1)当变化时,求点V的轨迹方程 (a>0)交于M.N两点 (2)若/与双曲线E的两条渐近线分别相交 (1)若M.N的横坐标分别为-2.4.求直线/ 于C.D两点,问:是否存在实数5.使 的方程及VN的中垂线所在的直线 得A.B是线段CD的两个三等分点 方程; 若存在,求出上的值;若不存在,说明 (2)v轴上是否存在点P.使得当5变动时 理由. 总有乙0PM=乙OPN?说明理由. 进阶突破·专项练 11