专项练05 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

进阶 专项练05 突破 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 题组一定点问题 3.(2024·江西景德镇一中高二月考)已知焦 1.(2024·湖南长沙高二月考)已知焦点在 点为F的抛物线C:v2=2px(p>0)上一点$ P(2.t)到F的距离是4 (1)求抛物线C的方程; 为2/3,圆左顶点到左焦点的距离为1 (2)若不过原点0的直线/与抛物线C交 (1)求圆C的标准方程: 于A.B两点(A.B位于x轴两侧),C的 (2)如图,已知点P(2,0),点A是圆的 准线/'与x轴交于点E.直线0A.0B与 I'分别交于点M.N.若IMEI·INEI=8. 右顶点.直线/与圆C交于不同的两 证明:直线/过定点 点E,F,E,F两点都在x轴上方,且 乙APE=乙0PF.证明直线1过定点,并 求出该定点坐标 2.(2024·山东泰安高二期末)已知双曲线C 4.(2024·浙江宁波高二期末)已知圆E 的中心为坐标原点,上顶点为(0.2),离心 22 ### ## (1)求双曲线C的渐近线方程 (2)记双曲线C的上、下顶点为A.,A..P为 (1)求圆E的方程; 直线v=1上一点,直线PA 与双曲线C (2)过点(-3.2)的直线/与圆E交于B 交于另一点M.直线PA。与双曲线C交 C两点,直线AB,AC分别与x轴交 于另一点N.求证:直线VN过定点,并 于M.N两点,求证:MV中点为定点 求出定点坐标 08 黑白题 数学1选择性必修第一册·BS 题组二定值问题 题组三定直线问题 5.(2024·河南焦作高二期中)在平面直角坐 7.(2024·湖北襄阳高三期末)已知点A,B分 标系x0v中,已知点F(-2.0),直线l:x=3 22} 动点P(x.v)(x<0)到/的距离等于1PF1+ 1.设动点P的轨迹为曲线C 点,F.,F,是圆的左、右焦点,!AF1+ (1)求C的方程 IAF1=4.1AB1=2/3 (2)若直线x=my-4与曲线C交于A.B两 (1)求圆C的标准方程; 点,证明:0A·0B为定值 (2)过点M(0.1)的直线与圆C交于不同 两点P.0(P,0与圆上、下顶点均不 重合),证明:直线AP,B0的交点在一 条定直线上. 6.(2024·吉林长春高二期末)已知双曲线C #2)2 8.(2024·湖南岳阳高二月考)已知抛物线C #1(t0,)>0)经过点 ),右焦 =2px(p>0)的焦点为F,过点F且与x轴 点为F(c.0),目c+b=2a}。 垂直的直线交C于A.B两点,且1AB!=4. (1)求C的方程 (1)求抛物线C的方程,并写出焦点坐标; (2)过F的直线与C的右支交于P.0两点 (2)过焦点F的直线1与抛物线C交 (P在0的上方),P0的中点为M.M在 于M,V两点(异于A.B两点),且M.A 直线/:x三2上的射影为N.0为坐标原 位于x轴同一侧,直线AV与直线BN 点,设△PO0的面积为S.直线PV.0N 相交于点G.证明:点G在定直线上 h-h2 的斜率分别为,,证明: 是 S 定值. 进阶突破·专项练09坐标代入,通分化得2y-ry-4×,即2. ( $1- 9 45 8.解:(1)C:2++2x- -1MM +- =0的心C(-1.0),半径r。” 4 3在(6+)上 4+0+45 7 1#C+y}-2x-0的圆心C(1.0),半径了” 令mV+1>6.1MN-3m 3 m2+3m+ 3r=n 2 。 单词道增-。(3).1 (). 经分析可得,R<r..因为动圆M与圆C.内切且与圆C。外切,所以 ②若直线/倾斜角为0时,则直线1方程为y=0.此时M.V重 wCc,-_-△. 合,1MV1=0. 两式相加得1MC.1+1MC1=4> [0). 综上,IMNIe IC.C.1.所以点P的轨迹为以C(-1.0).C.(1.0)为焦点的罔,可 6.解:(1)由题可知.圆心C到定点(1.0)的距离与到直线x=-1的阳 ]e=1. 离相等,则点C的轨迹为以(1.0)为焦点,x=-1为准线的抛物线,所 (:=.(b-. 以其轨迹方程为y?-4x. (2)由题可知直线P0的斜率不为0.设P0的方程为x=y+m,P(x. (=+得-4ty-4=0. 所以 )=1. y).0(.y).联立 ,4. (2)由题意可知直线AM的斜率不为0.故可设直线方程为x=my-2. (y.y=4. {y.y=-4m. 又因为AP1A0.所以A·A-0.即(x.-1)(x- (x=0y-2. =162+16r0 )(y-2)(y-2)=0.化简得x-(x.x)+y,y-2(y.+y)+5= 0.消元, 12--60-8即( -(ty.+m+ty+m)+yy-2(y+y)+5=0.即 /6m}-812n 3.=niy-2=n 3m+4'3n*+4 3m+4 ),联立 3m2+4 (r); 12r -y,y-(t+2)·(y.+y)-2m+5=0,所以m-4-6m-8r+5= (行P(2). 16 .所以直线BM的斜率k.= 3m+4 0.因式分解得(m-21-5)(m+2r-1)=0.当m+2t-1=0时.直线P __三 经过点A.不合题意,舍去,当m-2t-5=0时,m=2r+5.直线P;x= /12r $+2+5.此时点A到直线P0的距离&-14-+41 1_2 1 nt 罔,且直线1与x轴垂直.所以乙PHB= P$B=90$.乙$BH+ $PH 满足要求,所以点A到直线P0距离的最大值为4/2. ,的值为6. 7.解:(1)由题意得,糊圆M的焦距为2、/2.即2=2-a”-6”,将v2. 专项练05 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 (②-2/③ #)代人方程得。 (=V③. 1.(1)解:由 -=1. 得a2. 所以罔C的标准方程为二 2-a2-62. __ =1. 1.所以圆M的标准方程为+y2=1. (2)设A(,y).B(,y).C(,y),D(t,y).则}+3}=3. (2)证明:当直线7斜率不存在时,直线1与圆C交于不同的两点 -,直线PA的方程为 且分布在x轴两侧,不合题意.所以直线/斜率存在,设直线/的方程 1-1.得(3+4) ( (y=(r+2). 为y=kx+m.设E(x,y.)、F(x,y),由 消去y可得(1+3k )x2+12k{x+12k}- y=lx+n. 8kmr+4m}-12=0.所以x.+x.= -8m 12 12 {-,将-_及3r{-3- 3+4.1= 3=0.则x+r=- 13{词- 1+ 1.+2 -7-12 - (_),_) (-7*:-12).故0= ().-(~-),因为o.c.)三点共线。 6l=k(x-6),所以直线7过定点(6.0). 2.(1)解:设双曲线方程为 &=1(a>0.6>0).由上顶点坐标可知 所以()(v)-()(6)-0.将点c.D的 参考答案黑白题125 程为y=+2x. -136-3.MV中点为定点(-3.0). 1 108% (2)证明:由(1)可得A.(0.2),A(0.-2),设M(xi.y),N(x,y). 5.(1)解:由题设及抛物线定义知,动点P(x,y)(x0)的轨迹是以 F(-2.0)为焦点,x-2为准线的抛物线,所以动点P的轨迹C的方程 -2r 为--8x. $kmx+m-4=0.HA=16(k-4+m)>0,则x.+x= =2-41= (2)证明:由(1)所得轨迹方程,联立直线x=my-4.可得y+8my- m2-4 4 y=k(+1)+2-8m 2=.且A=64m}+4x32>0,故y.+y=-8m,yy=-32,所以 =-4.:=.x+(1. &=my-4m(y.+y)+16=-32m+32m}+16=16.0\·= 3 (xy)·(x,y)=xx+yy-16,为定值,得证 2-4 -3h,-3k.,又k.·k.= y-2-2yi-44xi 32对)} =4 由双曲线定义可知?-b}+a} ③.联立①②③解得。=6. 得ku..kx."kn. y:2 .,+2 =-12.即 1 y1+2(y,+y)+4 -42-4r}-16m+4}-16 =-12.化简得 (x=ay+3. m2-4 xx 得(m-2)2+ (m+2)} =3.解得m=4.所以直线MV过定点(0.4). 6my+3-0设P(ny:)0()v>),则y:y:iX” m{-4 -6r 3.(1)解:由抛物线的定义可知2-P-4..p=4.v. 抛物线C的方程为 三”()v(2),则&一,-_-ha。 7-8. (2)证明;由题意可知直线7的斜率不为0.设直线1的方程为x=my+ (x=my”消去x得-8my” 1-yy-yr-)y-y 22 a(n*o).A(xt,v).B(s,y:).联立 (y-y)[m(y.+y)+2] 12=8x. -2-21my1 2[my+m(yy)+1] $=0..y.+y=8m,yy=-8n.-抛物线的准线方程为x=-2 而Sn 1 。进 m(y:+y)+2 )-) #) 1=-2得v=- 3[m}y+m(y+y)+1] -200#- {4 /1--4. :.1MEI·INEI= 4) 4y.y2 -32n -8mn+8m”n+n" (my,+n)(m.+a) “myy+mn(y:y:)} 7.(1)解:由1AF 1+1AF1=4-→a=2.1AB1=23-sb=v3.所以的 5 (2)证明:如图,过M点的直线与圆相交于P.0两点.因为P.0不 与A.B重合,故直线的斜率一定存在.设直线方程为v=&+1.联立力 . (y=+1 解得62}-4.a}=9,所以回E的方程为E:。 2--”. 1 #7. (2)证明:显然直线1的斜率存在,设方程为y-2=k(x+3)(k<0). (-2=(x+3). B(x)C())联立 得(9}+4)x2+18(3+ 1=1. 8 18k(3+2) 9(3+2)2-36 2)+9(3+2)}-36=0.x.+=- ,由 8 9+4 -= 9+4 2-2,直线AC方程为y-= 2-+2,得x= 直线AB方程为y- -31. -x;直线B0:y+v3。 2 t 1 _ p③ 2.x+(×.+) 1 2r.+3(+) 1 ③ . 1 . y+3 r(+1tv3) &x(143)× (r.+3)(x+3) ++3(+)+9 2.9(3+2)-36 54%(3+2) (1→) : +(2-)-2-.所以y(2-~)(y 。 9(32)-6 40(2) 18(3+2)?-72-54(3+2) k 9(3+2)}-36-54(3+2)49(9}44) x.+x+(1v3)x.(2+v3)x.+x。 24 924 3)一y=3.即直线AP与B0的交点在定直线y=3上 选择性必修第一册·BS 黑白题12 )-3=0,解得1=4+3,所以定点为(4+3,0)和(4-3.0) 1=2p 方程为*-4x,焦点F(1.0) (2)证明:如图,由抛物线对称性,不妨令点A在x轴上方,由(1) 知,A(1.2).B(1.-2),显然直线/不垂直于坐标轴,设其方程为x 2.解:(1)同M:(x4②)+=16.同心M(-②.0).半径为4.因为 -4ry-4=0.显然A-16^*+16>0.y.+y=4t.yy=-4.直线AM的斜 V(v2.0).所以1MVt=2v2.因为M=AM.Ae[0.1].所以0在线 段TM上,即107l+10MI-4.又因为(0r+o)·-0.所以10l= $$7I.即10V1+1OM1=4>22=1MN1.所以动点0的轨迹是 斜率为n-2 2方程为-4 =(a-1)-2.由 $).则2=4.2c=2.则=2.c=2.所以b=-2=$ (2)设过点P(0.1)的直线为/.当/平行于;轴时,直线与圆相交 于A.B两点,如果存在点R满足条件,则有1A 1RB 1PB1.即 (y2)(y-2) 1 ==1- 141=1RB1.所以R点在y轴上.可设R的坐标为(0.y。);当7垂直 )-1~4 于:轴时,直线与罔相交于A.B两点,A(0.v2),B(0.-v2),如果 2y-2 2-2y-8 ly+v②12+1 -1上. 1或y。=2.所以若存在不同于点P的定点R满足条件,则点R的坐 标为(0.2).当1不平行于;轴时且不垂直于:轴时,设直线(方程为 ## (-r+1. y=k+1.A(..y)B(r,y).联立 得(1+2})24 4-2=0.因为直线/恒过园内定点P(0.1).所以A>0恒成立. 4& 2 t : “t。 4 专项练06 圆锥曲线中的探索性问题 -=0.所以k=kg,则 2 1.解:(1)设P(x.y),则&- 12{} 2 2-1(+2). (2)如图所示,设直线/方程为x=my+1.M(xt,y).N(x,y),联立 3.解:(1)设A(x.y).B(x,y).M(x,y).联立直线1与双曲线E的 (x=my+1. _进 可得(m{+4)+2my-3=0.所以y+):-4 -2n 消去y得(1-4)+24b-40=0.由A=160- 64 2-o且1-4^-20.得^-且.出根与系数的关系,得×:+ yy-3.,A=(20n)+4x3(a{+4)→0. -3 24以。-_-12 -24 直线AM的方程为y-。 21-4.)%=hn-3-12 7-4-3-~3 7~由 _ 消去&,得=40:120)且得,~3 -3 4yy 所 以yey% 4yy 1三. (x-2)(t-2) 。 (my-1)(my-1) 。 -12 -12 -_-3.假设过 或y。.所以点的轨迹方程为=4+12y,其中y-3或 dy: 4 myy-m(y.+y)+1 n _3 m2+4 m2+4 定点n(t.0),则·=0.即(4-t)(4-t)+yeye=0.即可得(4- (2)双曲线E的渐近线方程为y-+-x.设C(s,y).D(xt,y),联 参考答案黑白题127