专项练03 圆锥曲线中的最值与取值范围问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

IP的最小值为百 3 点4的法是圆心为(.0）半径为2 2.解：(1)设M(x,y)是轨迹C上的任总一点，因为点M到点F(1,0)的 距离比它到y轴的距离多1，所以1MF1=x+1,即√(x-1)+= 的圆，则△ADB面积的最大值为Saw=之 x+1,整理得y2=2|x1+2x,所以点M的轨迹C的方程为 v3x2 -a0 3 =1.DB是△ABC的中线， (2)在轨迹C中，记C1:y2=4x(x≥0)，C2:y=0(x<0),因为斜率为 S△e=2SA谢=2，故Sai的最大值为2 的直线1过定点P(-2.1).所以不妨设直线1的方程为y-1= 19. 「11-6211+621 解析：直线x+y=2k-1与圆x2+y2=2+ 6+2》.联立1(+2)整理得2-+4(2k+1)=0,当k=0 4,4 y2=4, 2水-3有公共点，圆心(0,0)到直线的距离4=-21≤ 时，=1，此时x=,可得直线：y=1与轨迹C恰好有一个公共点 2可解得2-号≤≤2+号又：园2+=2-3 2 (子.）：当k0时，可得4=-16(24-，不防设直线1与轴 +站-80部特长-3该61的取值范周是？-号≤≤2： 的交直为.0.令0，解得2者直线1与抗迹C恰好有 4=-16(22+k-1)<0. 、交由{和。21·得o三2《k1)2+、1一62 3 一个公共点，则满足 (品+=k2+2-3, 4 =2410. 得<-1或宁综 k ≤1+62.on的取值范围是-62,162]故答案 44 上，当6e(-西，)U(分*运）U01时，直线1与轨迹C恰好有 为["，"] 一个公共点， 3.解：(1)由已知得椭园的左，右焦点分别为F,(-1,0),F2(1,0), 5 20. 解：设点P(,y).则子1B= (x-2)+= 2如=1,1+1=-*1)4(-0）+ r-* 4 √1-12(0=4，所以a=2.所以6=5，所以路圆c的 由点P在圆上.可得2+=1，则子PB1=√行1 方程为 431 √可 (2)设直线1的方程为y=x+m,M(,),N(:2),P(0%). 2y2 记点M(行，0），故IPI+宁PB=P+IPW的儿何意义是圆C 联立 4方l·消去y并整理得7以2+8+4m2-2=0,所以 (y=+m, 上点P到A,M的距离之和，IPAI+1PMI≥IAMI= 4>0. (宁)2-0√？4=号当组夜当4wP三点共 8 +=7m.由4=(8m)2-4×7×(4m2-2)=48(7-m2)>0,解 线时款等号：宁阳的最小值为子 4m2-12 2 ·3= 7 专项练03圆锥曲线中的最值与取值范围问题 得-7m7因为亭所以-号万4<号万.所以 2 1.(1)证明：由已知可得a=5,b=1,所以双曲线的渐近线方程为y= 点P的横坐标的取值范用为（万，专万）】 主x,点P《xo,y。)到直线文=x,即直线x不y0的距离山=直 4.解：(1)如图，椭圆C: 。+尔1(a>>0)的右焦点为F(3,0).则辆 22 Ixo-/5yo ,点P(00)到直线y= 6 万，即直线+5，=0的距离 圆C的半焦距c=3,由于。2=62+c2,则椭圆的方程变为之+ 公+36F lxg+5yol d2= ,所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为 6 1将点受)的标代人，得1，得1或 44e-5o.5wl.-5 6 6又P(o)在双曲线上， 子去).所以调C的方为子y 所以号1.所以后-5后=5.所以山山=名是一个常数 (2据：如周，因为号-=1，所以店=兰-130，解特6≤-5或 6≥5，所以1=(-4P8=(6-4+营1-g后-8 15=(）广子当-，的最小值为子，所以 (2)依题意，直线1的斜率不为0，则设直线1的方程为x=my+ 2 选择性必修第一册·BS黑白题122 2+4y2=4 A(),B(x22),如图，联立 ,3消去x并整理得(m2+ (a=22,故椭圆C的标准方程为g+子1 x=my+2. (2)如图.因为直线1与x轴不重合，椭圆焦点为F(2,0),故可设： 7 4)y2+3网-4 3m 7 =0,为+为3= 44为=4m2+4 ,△OAB的面 (x=y+2, x=+2,联立x22 消去x整理得(2+2)y2+4-4=0,易得 积s=0p1宁0plgl-子s =1, 84 *P+2设AB中点 4 ,1=4出m4,设1m+子↓ 4>0,不妨设4(1)，B(3),则有 4 *n=2+2 9因为1+ 为(0，期0=。-24 22== 2 2 +2= 2 ()2即n(高品)为4，所 3当且仅当=3≥行 之>2，m=2时取得“”，于是得1y⅓1= 以m为直线松的中垂线当：≠0时，直线B的斜率为，放直 4 963S=年≤1，所以△0B面积的最大值为1 4 3 线他的中老线m的丰为，于是品一()因 5.(1)证明：在△F,PF3中，IF,FI=2,IPF,I=d1,IPFI=d, 4_24三24，①当1=0时，m=0,此时直线 ∠F,PF3=20,由余弦定理得4=d+d-2 dzcos20=+号- 为M(0,m),则有m产+22+22+2 24女1-2an0)=f-24d440,又d0=子.所以 :=2,点M0.0),符合题意：2当1≠0时，m 2,若>0，则+ 1+ (d1-d2)2=2,即1d-山2|=√2<2，由双曲线的定义知，动点P的轨迹 C为以F,(-1,0),F,(1,0)为焦点，实轴长为2a=2的双曲线，易 子≥2，可得me(,]当且仅当1=时取等：若<0，则 知c受又6=可号所以双面线G的方程为 1 2 1+ 2 -2，可得e号0，当且仅当-万时取等号 综上，实数m的取值范调为[宁，号] 2 (2)解：易知当直线I的斜率不存在时，直线1与双曲线不相交，所以 1 可设直线1方程为y=:+2,A(,),B(,人，联立 y=kx+- 21 2-22 1 消去y并整理得到(1-)2-红-子=a因为直线1与 1-2≠0. 1.解：设M的坐标为(，依感意，得女点整理得 4=k2+3(1-42)>0. 双曲线C的左、右两支相交，所以 3 得到02< 手+少=1(：≠±2).制的轨迹是长轴长为4，短轴长为2的椭圆，不含 4 51-e<0, 长轴两流点轨连G的方程为子=1（≠2》 3 (2)设直线EF的方程为y=:+m(m0,且m±1)，联立 4 1,由根与系数关系知+1-“1-炉又(+ 气号1.消去表y得1+)+8r+4标-4=0.4=6. (y=k红+m, ）(e号）片号 4(4m2-4)(1+42)=16(1+42-m23)>0,即1+4h2>m2设E(x1), 32k2-12+1 4-因为oi.0=A42 F(为，则+3=-8随m 因为4.所以 11 22-1' 0≤1.所以-1≤-10得宁( 上=，掷（红，m)(2+m)=已2，即m(名+）+㎡2=0，所以 82m2 门，所以.的取值意调为(，] +gm=0因为m0且m生1及>0，上式可解得=子，所 以1+=-2m,x=2m2-2,4=16(2-m2）,m2<2,且m≠±1， 6.解：1)由二=2可得a=26①.因为4(a,0,6G(0,b),放g 42 s+s=年10E+10)=年(+++)=年2 之片1即红可=，又调为直线G与调2炉一号相切故 子e小2产-]-2m- 1-abl F3·化简得82+862=322②，联立①②.可解得 3=1=e11=F*-4南 参考答案黑白题123 1+ -4x4m34 1+4 1+W,y16mn2+16+64h 1 1+462 1+42 (2)设直线1：y=2+m(m≠0)，A(,入.B(n),P（.将 1 +F.4V2-m2 =1中，化简整理得x2+2mx+2m2-8=0.于 =2√1+k·√2-m.0到EF的距离d= y=2m代人C:16号 1+4 4=32-4m2>0. m ,5=1m1√2-m2=√(2-m2)m2=√(m2-1)241,因为 +名2m,所以1AB1=4) 是有 1x1-1= V+P x12=2m2-8. 0ca且a1,所以5o,从后。（停】 5 ,4西-2-4(2m-85,8,因为 专项练04直线与圆锥曲线的综合问题 -0 1.解：(1)由题意可知N(0,3)为椭圆的上顶点，即6=5，又△NF,F 点0关于【的对称点为P,所以 /%02. 解得 +01+0 为等边三角形，设椭圆的焦距为2如，所以么 =tn60°→e=1.a 222+m √公？=2，故椭圆C的标准方程为二，子 431 即P(m人因为P在c上，所以 (2)由(1)知F,(-1,0),F2(1,0),不妨设：y=k缸+k,4(x1,), [y=kx+k. B(2),联立 x2y2 →(3+42)x2+8k2x+42-12=0.则 1 =1,解得m2-5又因为点0到直线1的距 43 16 4 17 843 +2= 离d=- Iml 2 Im1,所以由对称性得S网形嘴 42+3 42-12 易知Fi=(x1-1,y),F,i=(-1,),由 4k2+3 2S60=1aB1,d=58-m,21m1=21ml8-m=2x LAF,B为纯角可得F·F,i=x12-(+)+1+1少=(+1)· 7 1x2+(2-1)(1+2)+(k2+1)<0.化简得7k2-9<0→k∈ 37 25_10m 7 877 ）)又=0时，∠B为平角，不行合昌意合去.成起 37 4解：(1)抛物线2=8：的焦点坐标为(2,0)，由题意得c=2,么 7 o)(o) an30=3 .又2a2+82,解得2=3，=1，所以双曲线C的方程 为号 (2)由题意知直线的斜率存在，设直线方程为y=k(x-2),得 2.解：(1)由题设得 解得a=2,b=1,e=3,所以椭圆 4m+b=45. y=k(x-2). a2=b2+e2. P(0.-2k).Q(0,2),设A(1),B(22),联立 整 32=1, C的方程为 t2=1 理可得(32-1)2-122x+122+3=0,则x1+ 12 x2 3张2-1书= (2)4+1 得(42+1)x2+8kr+4m2-4=0,由1=(8m)2- 12k2+3 PQ11x1-1=21k11x1 y=+m SAou=15aop-Son-2 4(42+1)(4m2-4)>0,得42-m2+1>0.设A(1),B(x22).则 31=42 (广“]直线与双南 32-1 +归=（离+）+2m=所以点∥的横坐标 += 线右支有两个交点.e (,）u(）即31，设 1+2.46m v= 2 42+1 纵坐标w“所以直线N的方程为 .令x=0,则点N的纵坐标yx= 3m 1=3k2-1>0.则(S0w)2=48· 42+1+ k2+1 42+1 6425 16 4w3 则w(0,-3m 因为P(0,m),所以点N,点P在原点两侧因为 364 -3=3,Sa0w> ,即△QB的面积的取值范围是 462+1 ∠MOP=2∠MNP,所以∠MN0=∠OMN,所以1OMI=1ONI.又因为 43 3,+ 10Mi2= 4m12 1216k2m2+m2 4k2+1 + 42+1) = (4+)产，10N2= 5.解：(1)由10A1的最小值为1，得b=1.由题可得2a=4.a=2.所以椭 3m (4+1,所以16mtm2 9m2 9m2 42+1 (4+1)2(4+1)2,得162+1= 阔C的标准方程为子y2=1 (2)①设直线1的方程为x=y-3P(1).Q(x2,3).联立 9,所以k=士2 x=-3. x 得(2+4)y2-6y+5=0.由4=362-20(2+4)>0得2> 3.解：(1)由题意2=43.所以e=23=√a-b,又因为a=2h.所以 4r2-1. 0=4.6=2.所以C的标准方程为亡+二 5ww3品（品 61 5 3 164=1 选择性必修第一册·BS黑白题124进阶 突被 专项练03 圆锥曲线中的最值与取值范围问题 1.(2024·河南南阳高二月考)已知点P(xo, 3.(2024·江苏常州高二期末)已知椭圆C: )是双曲线C:号y=1上任意一点 x y =1(a>b>0)的右焦点为(1,0)， (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的 点A1,2)在C上 距离的乘积是一个常数： (2)已知点A(4,0),求1PA1的最小值. (1)求C的方程： (2)斜率为1的直线I与C交于M,N两点， 线段MW的中点为P,求点P的横坐标 的取值范围。 4.(2024·江苏徐州高二期末)已知椭圆C: 2.(2024·山东滨州高二期中)在平面直角坐 标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它 a262 =1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),且 到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程： 过点1，】 (2)设斜率为k的直线1过定点P(-2,1), (1)求C的方程： 求直线【与轨迹C恰好有一个公共点 时k的取值范围 (2)若过点P(号，0)的直线与C交于A,B 两点，O为坐标原点，求△OAB面积的 最大值 04黑白题数学|选择性必修第一册·BS 5.(2024·四川成都高二期末)设动点P到两7.(2024·福建漳州高二期末)已知0为坐标 定点F,(-1.0)和F(1.0)的距离分别为d 原点，A,A2的坐标分别为(-2,0)，(2,0) 和4，∠FPR,=20,使得ddsm0= 动点M满足直线MA,与MA,的斜率之积 (1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求 为定值-4，设动点M的轨迹为C 出C的方程： (1)求C的方程： (2)设直线（与曲线C相交于E,F两点，直 (2)经过点(0，))的直线1与双曲线C的 线OE,L,OF的斜率分别为k,k,k2(其 左、右两支分别交于点A,B,O为坐标 中k>0),△OEF的面积为S,以OE,OF 原点，求OA·OB的取值范围. 为直径的圆的面积分别为S,S2 若=6，求的取值范照 6.(2024·湖北武汉高二月考)已知椭圆C: 2云1(a>b0)的左，右顶点为4,4.点 x2,y2 G是椭圆C的上顶点，直线A,G与圆x2+ 户-相切，且椭G的离心率为 2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)过椭圆C右焦点F的直线1（与x轴不 重合)与椭圆C交于A,B两点，若点M (0,m),且IMA|=1MB1,求实数m的取 值范围。 进阶突破·专项练05