专项练01 直线中的对称和定点问题&专项练02 圆的综合问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

进阶 专项练01 突破 直线中的对称和定点问题 题组一点与直线的对称问题 6.(2024·吉林长春高二期中)唐代诗人李顾 1.(2024·福建厦门高二月考)与直线3x-4v+ 的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望 5=0关于x轴对称的直线的方程为( ) 烽火,黄昏饮马傍交河,”诗中隐含着一个有 A.3x+4-5=0 趣的数学问题--“将军饮马”问题,即将 B. 3x+4v+5=0 军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先 C.3x-4v+5=0 到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使 D.3x-4v-5=0 总路程最短?在平面直角坐标系中,设军 2.(2024·河南驻马店高二月考)已知点A与 营所在位置为B(3.4),若将军从点A(-2. 点B(2.1)关于直线x+v+2=0对称,则点A 0)处出发,河岸线所在直线方程为v三x,则 ,_ ) 的坐标为 _ “将军饮马”的最短总路程为 ) A.(-1,4) A.5 B.35 B.(4.5) C.45 D.5/3 C.(-3.-4) 题组二直线中的定点问题 D.(-4,-3) 7. 设meR.若过定点A的动直线x+mv-m=0 3.(2024·四川成都高二期中)直线/:y=2x- 和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于 4关于点A(1.0)对称的直线方程为 __ 点P(x.v),AB中点为0.则1P01的值为 A.y=2x _ _ B.y=-2x C. y=2x-8 B.5 D.y=2x+4 4.(2024·湖北武汉高二期末)张老师不仅 D. 与m的取值有关 喜欢打羽毛球,还喜欢玩折纸游戏,他将 8.(2024·江苏无锡一中高二期末)点 一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长 P(-2.-1)到直线/:(1+3)x+(1+)-2- 度相同)的纸折叠一次,使点(2.0)与点 4=0(A为任意实数)的距离的最大值为 (-2,4)重合,点(2023,2024)与点(a _~ b)重合,则a+b= ( ) A.2/3 B./13 C.4 D.3/2 A.4046 B.4047 9.已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0 C.4048 D.4049 与两坐标轴交于A.B两点,当点M(-1.-2) 5.已知直线=2x是△ABC中乙C的平分线 满足1AM1=|BM1时,实数m的值为 _~ 所在的直线,若点A,B的坐标分别是 __ (-4,2),(3,1),则点C的坐标为( B.0 A.(-2,4) B.(-2,-4) C. D.2 C.(2,4) D.(2,-4) 进阶突破·专项练01 进阶 专项练02 突破 圆的综合问题 题组一圆的轨迹问题 5.(2024·江西上饶高二月考)已知圆C:(x- 1.(2024·广东梅州高二期末)已知定点 a)}+(-a)=8(a>0)上总存在两个点到原 A(-1.0).P为圆C:x2}+v=4上的动点,则 点的距离均为②,则a的取值范 线段AP的中点V的轨迹方程为 _~ 围是 A.()#一1 B.(x+1)2+y2=1 6. 已知圆0:x2+y{}=1.过平面区域D内的每 C.({)}#一 一个点均存在两条互相垂直的直线,它们 D.(x+1)2+y2=2 均与圆0相交,则区域D的面 积为 2.(2024·陕西汉中高二月考)已知圆C:(x- 7. 在平面直角坐标系x0v中,已知AB是圆0 3)}+(y-4)2=1和两点A(-m.0),B(m.0) x*+{}=1的直径,若直线1:x-y-3k+1=0 (m>0).若圆C上存在点P.使得/APB= 上存在点P.连接AP与圆0交于点0.满足 90{,则n的最小值为 _~ A.7 BP/00,则实数b的取值范围是 B.6 C.5 D.4 8. 如图所示,等腰梯形ABCD的底边AB在 3.(2024·辽宁大连高二月考)古希腊数学家 x轴上,顶点A与顶点B关于原点0对称 阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前 且底边AB和CD的长分别为6和26,高 190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界 为3. 光辉的科学成果,著作中有这样一个命题 (1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程 平面内与两定点距离的比为常数b(>0 (2)若点N的坐标为(5.2).点V在圆E上 且1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称 为阿波罗尼斯圆,已知点A(-1.0).B(2 运动,求线段MN的中点P的轨迹方程 上存在点P满足1PA1=21PBI,则实数m的 ( 取值范围是 _~ #.# . C.(021 D. 4.(2024·湖北武汉华师一附中高二月考)已 知A(4.1),B(2.2),C(0.3).若在圆2+ 2=^*(r>0)上存在点P满足1PA12+ IPB1^②}+1PC1}=13.则实数 的取值范 围是 02 黑白题 数学1选择性必修第一册·BS 题组二圆的定点、定值问题 题组圆的对称与最值问题 9. 已知点A为直线2x+v-10=0上任意一点 13.(2024·广东深圳高二期中)若直线- 0为坐标原点,则以0A为直径的圆除过定 -k+2=0与直线x+ky-2k-3=0交于点$ _ 点(0.0)外还过定点 ) P.则P到坐标原点距离的最大值为 A.(10,0) B.(0.10) _ _ C.(2,4) D.(4,2) A.2/2 B.2/2+1 10. 已知曲线C:x2}+y{}+2kx+(4k+10)y+ C.23 D.2/3+1 $$$+20=0,其中k*-1,则曲线C过$ 定点 14.(2024·云南昆明高二期末)若点P(x,y) 是圆C:x+}-8x+6v+16=0上-点.则 11. 设P是直线1:2x+v+9=0上的任意一点 c2+y2的最小值为 _ __ 过点P作圆x^{2}+v}=9的两条切线PA.PB$$ C.6 A.2 B.4 D.8 切点分别为A.B.则直线AB恒过 定点 15.(2024·吉林四平高二期中)已知圆C:x2+ 12.(2024·福建黄田高二期末)已知直线l *-4x-my=0上任意一点M关于直线 y=kx(k≠0)与圆C:x{}+y2-2x-3=0相交 y=2x-1的对称点V也在圆上.则实数m= 。 于A,B两点. __ A.4 B.6 C.-6 (1)若1AB1= 14,求的值 D.-4 (2)在x轴上是否存在点M,使得当k变 16.若M,V为圆C:(x-2)}+(y-2)}=1上任$$ 化时,总有直线MA.MB的斜率之和为 意两点,P为直线3x+4v-4=0上一个动 点,则/VPN的最大值是 ( 0?若存在,求出点M的坐标;若不存 __ B. 600 C.90 A.45。 在,说明理由. D. 120* $7. 已知圆x^{}+y{2=4与圆x2+y{-6x+2y+6=0$ 关于直线/对称,则直线/的方 程为 18. 已知等腰三角形ABC中,D是腰AC的中 点,1BD1=3,该三角形面积的最大 值为 19.已知点(xo,y%)是直线x+y=2k-1与圆x2+ =^{}+2k-3的公共点,则xy。的取值范 围是 20. 点P是圆C:x{}+v}=1上一动点,已知点$$ 小值为 进阶突破·专项练03进阶突破·专项练参考答案 专项练01 直线中的对称和定点问题 __1 A(-1.0),可得 1.B 解析:直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线为3x-4(-y)+5-0 ) ly=2y. 即3x+4y+5=0.故选B 2.C 解析:设A(x.v).因为点A与点B关于直线x+y+2=0对称,则直 1 (2)-4.即())=1.故选A.。 线AB的中点在直线x+x+2=0上且直线AB与直线x+x+2=0垂直. [22=0. _(3.即点A坐标为(-3.-4).故选C. 22 2. D 解析::乙APB=90*.点P的轨迹是以AB为直径的圆0.又点 即 #. 1y--4. P在网C上,故点P是罔0与画C的交点,因此可得两网的位置关系 是相切或相交,即m-11v3}44<m+1.解得4<m三6.n的最 3.A 解析:因为A(1.0)不在直线1:y=2x-4上,所以可设直线/ 小值为4.故选D. y-2x-4关于点A(1.0)对称的直线方程为y=2x+b,则 3. D 解析:设P(x.v).因为点A(-1.0).B(2.0).1PA1=21PB1.所以 12-0-4112-0+61 (1)=2(-2),即-6x+5=0.所以(-3) =4.可得圆心(3,0),半径R=2.由园C:(x-2){+(y-m)}--可得 方程为v=2x.故选A. 4.B 解析:设A(2.0).B(-2.4).则点A.B所在直线的斜率k 圆心C(2.m).半径,= -因为在圆C上存在点P满足1PA1- ----1.由题意知,过点(2023.2024).(a.6)的直线与直线AB 4-0 21PB1,所以(x-3)}+2=4与圆C:(tx-2)2+(y-m)--有公共 平行,所以b-2024 以2 023-1.整理得a+6=2 023+2 024-4047.故选B. 点,所以2-<(3-2) +<2+ 5.C 解析:设A(-4.2)关于直线y=2x的对称点为(x.y),则 4 52 21.,所以实数m的取值范围是 12-2-4-. 选D. 4.[2/2-1.2v2+1]解析:设P(x.y),将坐标代入式子1PA1+ IPB1?+1PCl?=13.可得r}+y-4r-4y+7=0.即(x-2)?+(-2)?=1. 6.B 解析:因为点A(-2.0)关于直线y=x的对称点为A'(0.-2),所 则点P的轨迹是以(2.2)为圆心.1为半径的网.依题意,两因有公共 以1AB1即为“将军饮马”的最短总路程,则“将军饮马“的最短总路 点,则lr-11<22r+1,解得2v2-1,22+1.故答案为[22- 程为1A'B1- 9+36=3/5.故选B 1.2/2+11. 7.A 解析;由于x+my-m=0经过的定点为(0.1),所以A(0.1),直 5.(1.3) 解析:依题意,到原点的距离均为2的点的轨迹方程为圆0; 线mx-y-m+3=0变形为m(x-1)-y+3=0.所以经过定点(1.3),故 -2.所以原问题可转化为回0:}+y=2与圆C:(x-a)}+(y- B(1.3).因为1·m+m·(-1)=0.所以两直线垂直.如图所示. a)?=8(a>0)有两个交点.又因为圆0的阔心为0(0.0),半径r.= V②.圆C的园心C(a.a).半径r.=2v2.所以可得r-r.<l0cl<r+ r.,即/2<v2lal<3v2,又a>0.解得1<a<3.即实数a的取值范围是 (1.3).故答案为(1.3). 6.2* 解析:如图,过点P作圆0:x2}+y=1的两条切线PA.PB,切点分 别为A.B.此时PA1PB,则四边形PA0B是正方形.10P|=2.那 , 么平面区域D就是以0为网心,2为半径的圆内区域,故区域D的 因此△ABP为直角三角形,所以1P1= -1AB1= 面积为n(v②)?=2m 1(1-0)+(3-1)-5 2 8.B 解析:将直线/的方程整理为(3x+y-4)A+x+y-2=0.由 -2-0. 到直线1的距离最大,最大值为1PA1=(1+2)3+(1+1)-v13.故 选B. 解析:如图所示:直线/:一y-3V+1=0.直线/恒 9.B 解析:设A(x.0).B(0.y).直线1的方程(2+m)x+(1-2n)y+4- 1-2-00 过定点M(3.1)AP与圆0交于点0.BP/00.且罔心0是AB中 3m=0可化为2x+y+4+m(x-2y-3)=0.由 点,00是△ABP的中位线.:.BP=200=2.:.点P在以B为圆 f1--1.所以直线7过定点(-1.-2),即点M(-1.-2)在直线7上. 心,2为半径的圆周上又B是圆0上任意一点..点P可以认为是 1~2. 以0为圆心,3为半径的圆上一点,这个圆记为0.又:P是直线/ 又1AM|=1BM1..M为AB中点,由中点坐标公式可得x。=-2,y。= 上的点..要存在符合题意的点P,只能是直线/与圆0有公共点. -4.将点A(-2.0)代入直线7方程得-4-2m+4-3m=-5m=0..m= .过点M作圆0的切线1..(1:轴).设1.的方程为y=k(x-3)+ 0.故选B. 1-3+11 1. -=3.&4..直线1介于切线4之间的阴影 专项练02 圆的综合问题 1 ).故答案为(4.). 1.A 解析:设线段AP的中点M的坐标为(x.y),且点P(x..y.).又由 选择性必修第一册·BS 黑白题120 2 1段 存在点M(m.0)(如图)满足题意,即k+k=0..ku+k” - x-n t.-m x-m m)=2:-m(,+)0.即62n 14120.解得 --3.:存在点 V(-3.0)符合题意 8.解:(1)设E(0.b).由已知可得A(-3.0).B(3.0).C(v6.3). D(一v6,3). 由1EB1=1EC1得(3-0)}+(0-b)}=(6-0)+(3-b)-=1. 13.B 解析:两直线满足k·1+(-1)·b=0.所以两直线垂直,由 2.圆E的圆心为E(0.1),半径7=v10. -+2=0得k(x-1)-y+2=0,过定点A(1.2),由x+ky-2k-3=0得 ,圆E的方程为+(v-1)=10 --3+(y-2)k=0.过定点B(3.2).故交点P在以AB为直径的圆( (2)设P(x.y).M(xo,o). 上,其中C(2.2),如图所示,则线段0P长度的最大值为10C1+1= (50_ 2/2+1.故选B. {2 #2_ .P为线段MV的中点,.. (xo=2x-5. 一 y。=2y-2. 代入点M所在圆的方程得(2-5) +(2-3)}-=10=(-5)×。 () _ ()()- c.点P的轨迹方程为 14.B 解析:圆C:x2+y-8x+6y+16=0可化为(x-4)+(y+3)}=9 9.D 解析:设0B垂直于直线2x+y-10=0.垂足为B,则直线0B的方 24y?表示点P(x.y)到点0(0.0)的距离的平方.因为1C01 程为y=x.由圆的性质可知,以0A为直径的圆恒过点B.由 4(-3)-5.所以+y的最小值为(5-3)?=4.故选B. (2x+-10=0. 15.B 解析:圆C;x2+-4x-my=0的标准方程为(x-2)}+ 2. 定点(4.2).故选D. 10.(1.-3)解析:将x+y{+2kx+(4k+10)y+10+20=0整理为k(2+ 4+10)+(x2+}+10y+20)=0. .2+4+10=0且r+2+10+20=0. 1.解得m=6.故选B. 解得x=1.y--3.:.曲线C过定点(1.-3). 16.B 解析:如图,设PA.PB为圆C的两 1$.(-2-1)解析::P是直线12xtx+9=0上的任意一点· 切线,P为直线3x+4y-4=0上一个 P(m.-2m-9):圆+=9的两条切线P4.PPB与圆的切点分别$ 点,所以乙MPV乙APB.当PM.PV 为A.B.:OA1PA.0B1PB,则点A.B在以0P为直径的圆上,设 为两切线时取等号 0P的中点为C.即AR是恩2和圆C的公共弦。 又乙APB-2乙APC.故只需求 (sinzAPC). sin/APC-4C1 ()}(#2) PCPC' m2+(2m+9)} -.C的方程是 m2+(2m+9)2} ③4 ①.又r2}-9 ②,由②-①,得mr-(2m+9)y-9= & (sin/APC) -. APC=30.. APB=60”.故选B. 0.即公共弦AB所在的直线方程是nx-(2m+9)y-9=0.即 $7.3x-y-5=0 解析;由}+”-4得圆心坐标为0(0.0),因2- 6x+2y+6=0的标准方程为(x-3)?+(y+1)?=4.可得圆心A(3. (-2.-1),故答案为(-2.-1). -1).则04的中点坐标为(-).10的斜率ha-,可 12.解:(1)由因Cx2+-2x-3=0.得(--1)+-4.:.回心坐标为 C(1.0).半径为2. #2#()) 得所求直线1的斜率k-3.所以直线1的方程为y-(-)- ·1AB=14...点C到AB的距离为。 3(-).即3--5-0. 18.2 解析:如图所示,以中线BD所在直线为;轴,D为坐标原点,建 (2)设A(xi):),B(y.y:),联立f 得(112). 立平面直角坐标系xD.得B(-3.0).设点A(x.y).由题知 1-}-2--3=0. $AB1=21AD1.41AD1=1AB1?4(+)=(x+3)?+?.即 参考答案黑白题121 2v #(。)2## 2.解:(1)设M(x.y)是轨迹C上的任意一点.因为点M到点F(1.0)的 点A的轨迹是圆心为 距离比它到y轴的距离多1.所以1MFl-1x1+1.即 (x-1)+$= 的网,则△ADB面积的最大值为S2.u2× lxl+1.整理得=21x1+2x.所以点M的轨迹C的方程为 -{4x0. x2v 1o.xc0. (2)在轨迹C中.记C.:y=4x(x>0).C:y=0(x<0).因为斜率为l sac=2$=2.故Snc的最大值为2 的直线(过定点P(-2.1).所以不妨设直线7的方程为y-1= 19. [11-6v211+6/2 解析::直线x+y=2-1与x+y=+ 4。 12=48. 2k-3有公共点,:圆心(0.0)到直线的距离d-11-2^1 2 #+21-3,解得2-2} 2 又圈+,-2-3. 2 (4--16(2k}+h-1)c0. +=k+2-3. 一个公共点,则满足 4 [11-6/2 11-62 .故答案 上.当&e(-2,-1)(* xor。116/2 4.xoxo的取值范围是 )u0时,直线/与轨迹C恰好有 4 为[11-6 1146/21 一个公共点. 4, 3.解:(1)由已知得园的左、右焦点分别为F(-1.0).F.(1.0). 20. 解析:设点 P(x.)#,则1PB-#(-2) 。 2a=1AF1+1AF 1= (-1+1)+(。)+ 2 /(tx-2)) 4()-1. (-1-1) →(-o){-4.所以a-2.所以b-3.所以概C的 , #。 由点P在圆上,可得→,2=1.则(pB111= #一(#)# (2)设直线1的方程为y=x+m,M(xi,y),N(x.,y),P(xo,y). 记点M(.0).故1PA1+1PB=1PA1+1PM1的几何意义是圆C ly-+m. 上点P到A.M的距离之和..1PA1+1PM11AM1= [△o. =- 8 由A=(8m)-4x7x(4m-12)=48(7-m)0.解 4-12 专项练03 圆锥曲线中的最值与取值范围问题 1.(1)证明:由已知可得a-、5.b=1.所以双曲线的渐近线方程为y= 点P的横坐标的取值范用为(-4.4) -1(a>>0)的右焦点为F(v3.0).则 1xo-y。1 C的半焦距。-3.由于a”-6+c,则网的方程变为。 -.点P(xo,)%)到直线y-- 6 lr。V5y。l .所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为 6 1rn~5y。111。+5y11-5! 一.又P(s,yo)在双曲线上, _2 d= 6 6 6 x=5,所以1PA1?-(x。-4)2+=(x-4)? -1= #-8r。 5 (2)依题意,直线/的斜率不为0.则设直线1的方程为x-my3. 选择性必修第一册·BS 黑白题122