第6章 3.1 离散型随机变量的均值-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

§3离散型随机变量的均值与方差 3.1离散型随机变量的均值 白题 基础过关 限时：25mim 题组1离散型随机变量的均值（数学期望） 1.(2023·山东滨州高二期中)已知随机变量X 0 的分布列如下所示，则EX= ) 0 2 4 题组3离散型随机变量的均值的应用 m 1-3m 5 7.(2023·河北石家庄高二月考)某学校组织 A.2 B.3 C.4 D.5 “消防”知识竞赛，有A,B两类题日.每位参加 2.设随机变量X服从两点分布，若P(X=1)- 比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中 P(X=0)=0.4.则EX= ( 随机抽取一道题回答，若回答错误则该同学 A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再 3.有一种彩票，每注售价2元，中奖的概率为 随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否， 1%.如果每注奖的奖金为50元，那么购买一 该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回 注彩票的期望收益为 元 答正确得40分，否则得0分：B类问题中的每 4.(2024·天津和平区高三月考)某专业资格考 个问题回答正确得60分，否则得0分.已知小 试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合 明能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确 回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问 格的概率为？，乙、丙科目合格的概率均为子 题的概率与回答次序无关 且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中 (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累 合格的科目数为X,则P(X=2)= 计得分，求X的分布列： ； EX= (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先 题组2离散型随机变量的均值的性质 回答哪类问题？并说明理由， 5.(2024·黑龙江双鸭山高二月考)设随机变量 专的分布列如下所示，又)=2+a,则 En= 6 6 6.已知随机变量X,Y满足Y=2X+3,Y的期望 =了X的分布列如下，则a= 选择性必修第一册·BS黑白题136 黑题 应用提优 很时：50min 1.一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等6.小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老 品可获利50元，生产出一件乙等品可获利 师给了小明满分100分，但实际上小明有一处 30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机 写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣 器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6. 0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品.平均预 4分，但小明自己不会给老师说，小王有号的 期可获利 ( 可能告诉老师，小丁有4的可能告诉老师，他 A.36元B.37元C.38元D.39元 2.(多选)(2023·湖北黄冈高二月考)已知随机 们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分 变量X的分布列为 扣下来.则最后小明的听写本上的得分期望EX= ( 1 2 3 298 B.98 289 0.3 n 0.1+m A. D.97 3 3 则 ( 7(2024·潮南长沙高二期末)设0e[后号引， A.m=0.3 B.m=0.4 C.EX=2.1 D.EX=2.6 随机变量专的分布列如下表所示，则 3.有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现 ( 飞行日标的概率分别为0.9和0.85，设发现目 2 3 标的雷达数为X,则EX的值为 1 A.0.765 B.1.75 2*in8 2 C.1.765 D.0.22 4.已知随机变量X的分布列为 A有最大值最小值号 X 2 3 B有最大值？，最小值好 2 3 C,有最大值？，无最小值 且Y=aX+3,若EY=-2,则a等于 D无大值，有最小值 A.-3 B.-2 c D.3 8.(2023·江西抚州高二期中)某实验测试的规 5.如图，将一个各面都涂了油漆 则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验 的正方体，切割为125个同样大 成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设 小的小正方体，经过搅拌后，从 某学生一次实验成功的概率为p(0<p<1),实 中随机取一个小正方体，记它 验次数为随机变量X,若X的数学期望EX> 的涂漆面数为X,则X的均值EX= 1.56,则p的取值范围是 ( 4.126 7 A.(0,0.6)》 B.(0,0.8) 125 125 0.5 C.(0.6.1) D.(0.8.1) 第六章黑白题137 9.(2024·江西宜春高三月考)袋中有形状、大 销售瓶数 20 30 40 50 60 小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现 频数 3 6 12 6 3 从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜 色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此 以频率代替概率，记X为这家超市每天销售 时已摸球的次数，则E飞= 该酸奶的瓶数，表示超市每天购进该酸奶 10.(2023·江苏镇江高二期末)已知随机变量 的瓶数 满足P(5=x)=ax+b(x=-1,0,1),其中a, (1)求X的分布列和数学期望： (2)以销售该酸奶所得的利润的期望为决策 beR,若度=写则。 依据，在n=55和n=60之中选一个，应 b= 选用哪个？ 11.(2024·江西宜春高二月考)甲、乙两学校进 行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目 胜方得5分，负方得0分，平局各得2分.两 个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠 军.已知甲学校在两个项目中获胜的概率分 别为0.4,0.6，甲学校在两个项目中平局的概 率分别为0.1,0.2.各项目的比赛结果相互 独立。 (1)求甲学校两场比赛后获得冠军的概率： (2)用X表示甲学校两场比赛的总得分，求 X的分布列与期望 压轴挑战 (多选)甲盒中装有3个红球、1个黄球，乙盒中 装有1个红球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中 取出i(i=1,2,3)个球交换，分别记交换后甲 乙两个盒子中红球个数的数学期望为EX, EY,则下列结论正确的是 ( 12.(2024·黑龙江佳木斯高二期末)某超市计 A.E X>E Y 划按天从厂家订购酸奶，每瓶进价为4元，零 B.E2X=E2Y 售价为6元，若进货不足，则该超市以每瓶 5元的价格进行补货，若销售有余，则厂家以 C.E X+E Y=4 3元回购，为此该超市收集并整理了30天这 D.EX<E X 种酸奶的销售记录，得到了如下数据： 进阶突破拔高练P12 选择性必修第一册：BS黑白题138有4种取法, 所以X的分布列为 故随机变量X>2的概率是P(X>2)=P(X=5)+P(X=6 = x 0 40 100 8+43 287 P 0.3 0.35 0.35 (2)依题意,随机变量x的所有可能取值为1.②.2.5,6 (2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为EX=0x0.34 当X=1时.即取正方形AA.D.D和正方形BB.C.C的边所对应楼的 40×0.35+100×0.35=49 两个端点,共有8种取法,则P(X-1)-28-7. 若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分。 则Y的所有可能取值为0.60.100. 当X=②时.即取正方形AA.D.D和正方形B.C.C的对角线的两 PP$=0 =1 -0.5=0.$.=6 0)=0.5t(1-0.7)=015.P= 10 0 = 个端点,每个正方形有2种取法,共有2x2=4(种)取法,则P(X= 0.5x0.7=0.35. 2)- 4 1 则Y的期望为EY=0x0.5+60×0.15+100×0.35=44 因为EX>EV.所以为使累计得分的期望最大.小明应选择先回答A类 当X=2时,即取楼长为2的校的两个端点,共有4种取法 问题 题 则P(X-2)-287: 应D 1.B 解析;由题意可得,设这台机器每生产一件产品可获利X.则X可 82 能取的数值为50.30.-20.所以X的分布列为P(X=50)=0.6.P(X 30)=0.3,P(X=-20)=0.1.所以这台机器每生产一件产品平均预期 当x6时,P(x-、)-27 41 可获利为50x0.6+30x0.3-20x0.1=37(元).故选B. 2 . AC 解析:由0.3+m+01+m=1.得m=0.3.则EX=1x03+2x03+3 故随机变量X的分布列为 0.4-2.1.故选AC. 3.B 解析;由题意得x的可能取值为0.1.2. P(=0)=(1-0.9)x(1-0.85)=0.015: ~, -{ 1 P$=1)=0.9$(1-0.85)+(1-0.9)x0.85=0.135+0.085=0.22 P(X=2)=0.9x0.85-0.765. 所以FX=0×0.015+1x0.2242x0.765=1.75.故选B. s3 离散型随机变量的均值与方差 3.1 离散型随机变量的均值 所以FY-aEX+3- 3a+3--2.解得a=-3.故选A. 白期 5.B 解析:由题意知x的可能取值为0.1,2.3. 27 54 36 故有P(x=0): 8 #2(1-)-3.故选B. 27 2.D 解析:由题意得P(X=1)+P(X=0)=1.又因为P(X=1)-P(X= 100选1 $ =04.所以解得P$=1)=07.P($=0)=03.所以$=1 $ 7 54 0x0.3=0.7.故选D. 0 3.-1.5 解析:由题意得EX-(50-2)x100+(-2)×--1.5.故答案 口方法总结 1 1.当a=0时,Eb=b,即常数的均值就是这个常数本身。 为-1.5. 2.当a=1时,E(X4h)=EX+.即随机变量X与常数之和的均值等子 4 25 #(13)#23#×(1-)×# X的均值与这个常数的和. 4. 。12 解析:P(x=2)= ##()-###)#) 3.当b=0时,E(aX)=aEX.即常数与随机变量X乘积的均信等千这 个常数与X的均值的乘积. ()#-(x-1)-(1-) (1-))·(1-)) 6.D 解析;由题意可知X的可能取值为96,100,则P(X=96)=1- (1-)(1)-.P(x=10) (1-)#(1-) ##()()(##))# 7 425 o.12 [”].所以 [3] 1.所以-3 3} 1 [7],有最大值小值_.故选B. f(2)2 ×63-6故答案为6. 8.A 解析:x的所有可能取值为1.2.3.P(X=1)=p.P(X=2)=(1- P)p.P(=3)-(1-p)},由E=1x+2×(1-p)p+3x(1-p)}=p-3{+ 。 解析:因为EY=2EX+3-了.所以EX--- ]期有 3>1.56.解得pc0.6或p>2.4.又因为0<$<1.所以0<jc0.6.故选A. 9. , 解析:由题意可得f=2.3.4.若两次摸到两种颜色的球,则 cCC3 P(=2)= CC -3;若三次摸到两种颜色的球,则P(=3)= 7.解:(1)由已知可得,X的所有可能取值为0.40.100,则P(X=0)-1- ACAC; -3:若四次摸到两种颜色的球,则P(t-4)- $7=03P$=0)=07$1-0.$ $ =035Pt= 10 0 =0705=03 clCC 参考答案黑白题087 A]c! 15 ×6) 3 3 15 9 1 3 3 10. 6 3 解析:由P(f=x)=ax+b(x=-1.0.1),可得P(=-1)= $$$.P( =0)=b.P(=1)=a+b.所以b-a+b+a+b=3b=1.则b= 故A正确,C正确: cC1 当i-2时.P(X=1)=P(Y=3)= C) 6 cC!C P(X=2)-PY=2)= 11.解:(1)甲学校获胜分三种情况:胜胜,胜平,平胜,则甲学校获胜的 cC]ccI! 概率为P=0.4×0.6+0.4×0.240.1x0.6=0.38. PX=3)=P(Y=1)= # =4 (2)X所有可能取值为0.2.4.5.7.10. PX=0)=(1-0.4-01)x(1-0.6-0.2)=01 PX=2)=0.1t(1-0.6-0.2)+(1-0.4-0.1)x0.2=0.12. P(X=4)=0.1x0.2=0.02. P$=5)=0.4t1-0.6-0.2)+(1-0.4-0.1)0.6=0.3$ P(X=7)-0.4x0.2+0.1x0.6=0.14. cC1 当 -3时.P(X=0)=P(Y=4) P(X=10)=0.4x0.6=0.24 CC{16 所以X的分布列为 ccC! PX=1)-P(Y=3)= “##) 。 2 4 5 7 10 8 x 0.1 0.12 0.02 0.38 0.14 0.24 cCCc9 P(X=2)=P(V-2)= CC16 EX=0x0.1+2x0.12+4x0.02+5x0.38+7x0.14+10x0.24=5.6. :X-0x 9 3 12.解:(1)根据表格可知x的所有可能取值为20.30.40.50.60.且 3 6 12。 30=0.2.P(X=40)- 30=0.4. .E.X>EX.故D错误故选ABC. 3.2 离散型随机变量的方差 白题 础过关 x 20 30 1.A 解析:方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度,方差越大,随 40 机变量越不稳定,故A错误.C正确:常数的方差为0.故B正确:标准 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 差等于方差的算术平方根,故随机变量的方差和标准差越小,则偏离 E$=20×0.1+30×0.2+40×04+50×0.2+60×01=40 变量的平均程度越小,即D正确故选A. (2)①当a=55时,设Y,为“超市销售该酸奶所得的利润”. 2. D 解析;由分布列的性质得0.4+0.1+x=1.解得x=0.5..F=1x 当X=20时.Y=2x20-1x35=5: 0.4+3x0.1+5×0.5=3.2.D=(1-3.2)x0.4+(3-3.2)x0.1+ 当X-30时.Y-2$x30-1x25=35; (5-3.2)x0.5=3.56.$的标准差为D=3.56.故选D 当t=40时.V.=2x40-1x15=65; 当X-50时.Y-2x50-1x5=95: 当$=60时.Y=2x55+1x5=115. 所以V的分布列为 5 35 65 95 115 4. B 解析:由题可知DY=D(-2X)=4DX=8.故选B. 5.D 解析:设Eg={P+$p.+$p.+$p,设Y=2+1Y也是随 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 机变量,因为P(Y=2+1)=P(=).所以EY=(2。+1)p.+(2+ FV =5×0 1+35×02+65×04+95×0.2+115×0 1=64 1)p ..+(2 +1)p+..+(2+D)p=2(fD.+$ap.+$5p... ②当a=60时,设Y、为“超市销售该酸奶所得的利润”,则 f.P)+(P:+p+...+p..+p.)=2+1.故A正确.同理C正确 当x=20时.Y-2x20-1x40=0: 根据期望的性质,E(n-2)-En-2. 当$=30时.V.=2x30-130=30 而Dn=[(n.-Fn)*p].所以D(n-2)=Dn,故B正确, 当X=40时.Y.=2x40-1x20=60: 当$=50时.Y=2$x50-1x10=90; D($+n)=[((+n)-E(+n))p]. 当t=60时..=2$x60-120 而g+Dn[(6-r)]p.[(n.-fn)]p]不一定相等,故 所以V.的分布列为 0 30 60 90 120 D错误.故选D 6. ABD 解析:由分布列的性质,可得+a+b=1.解得a+b- ①. 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 因为Ex-1.所以0xa+1xb+2x-1.即b-2 EY =0x0. 1+30×0.2+60×0.4490×0.2+120X0.1=60.EY >EY.故应 ②.联立①②解得 选n=55. 一、= 压轴挑战 = 3..f=(0-1)x 6=3 ABC 解析:X表示交换后甲盒子中的红球数,Y表示交换后乙盒子中 的红球数, CC 9 当i=1时,则P(X-2)=P(Y-2)= 选ABD. ciC16 7.1 2.4 解析:由题知.p=1-0.3-0.3=0.4.EX=0x0.3+1x0.4+2$ P(X-4)=P(Y=0)-_CC16 cC1 0.3=1.D=0-1)0.3+(1-1)x0.4+(2-1)x0.3=0.6.E(2t- $) =2EX-1=1.D(2X-1)=4DX=2.4.故答案为1.2.4. 8.C 解析:投资甲种股票收益的期望EX=-1x0.1+0x0.3+2x0.6= 1.1.DX=(-1-1.1)x0.1+(0-1.1)x0.3+(2-1.1)x0.6=1.29 投资乙种股票收益的期望EY=0x02+Ix05+2x03=1.1.DY=(0- 选择性必修第一册·BS 黑白题088