第21章 一元二次方程 —— 一元二次方程定义及解法 辅导讲义 2024—2025学年苏科版 数学九年级上册

努力只能及格，拼命才能优秀 辅导课题：一元二次方程及其解法 学生姓名： 学生年级：初二 授课科目：数学 辅导老师： 授课日期： 授课时段： 课时数： 学管师： 本节课教学目标 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想. 教学重点 1．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 2．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 教学难点 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 提分第一阶段：复习上节课内容和遗忘知识点 提分第二阶段：梳理本节课知识要点，查漏补缺 要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式： 　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点诠释： 　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点二、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点三、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 要点四、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 要点五、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 要点诠释： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点六、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 要点七、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点诠释： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 要点八、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 提分第三阶段：考试考点例题讲解，掌握解题思路 类型一、关于一元二次方程的判定 1.判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 2．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．1 B． C．6 D．1或 类型二、一元二次方程的解 1. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( ) A．-3，2 B．3，-2 C．2，-3 D．2，3 类型三、用直接开平方法解一元二次方程 1.（1）x2﹣25=0 （2）（x+5）2=16． 【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根： 　　 (1)x2=361； 　　　(2)2y2-72=0； 　(3)5a2-1=0；　　　(4)-8m2+36=0． 【变式2】解下列方程： 　 (1)(2x+3)2-25=0； 　　 (2)1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 　　　 类型四、用配方法解一元二次方程 1．用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是（    ） A． B． C． D． 2. 用配方法解方程. 　 　(1)x2-4x-2=0； 　 (2)x2+6x+8=0. 类型五、配方法在代数中的应用 1．若代数式，，则的值（　　） Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数 2.用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0． 类型六、公式法解一元二次方程 1.方程4x2﹣2x﹣1=0根的情况为(   ) A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 2．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________． 3.用公式法解下列方程． (1) x2+3x+1=0； (2)； (3) 2x2+3x-1=0． 类型七、因式分解法解一元二次方程 1．若实数x，y满足（x+y+2）（x+y﹣1）＝0，则x+y的值为____． 2.一元二次方程x2﹣4x=12的根是（　　） A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6 3.（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2） 类型八、一元二次方程根的判别式的应用 1.下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0 2.关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　． 3．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值． 4.已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 提分第四阶段：拓展延伸，本节课作业布置 1．解方程：①；②；③；④．较简便的解法是（ ） A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法 D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 2．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____． 3．若一元二次方程的一个根为0，则___________． 4．用公式法解下列方程： (1) 2x2+x=2； (2) 3x2﹣6x﹣2=0 ； （3）x2﹣3x﹣7=0． 5.m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 6．用适当的方法解一元二次方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 7.求代数式 x2+8x+17的最小值 提分第五阶段：总结本节课内容，温故而知新 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 2.用公式法解方程：x2﹣3x﹣2=0． 3．已知关于的方程. （1）当为何值时，方程只有一个实数根？ （2）当为何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？ 4．已知：关于x的方程，有两个不相等的实数根， (1)求实数m的取值范围， (2)若方程的两个实数根满足，求出符合条件的m的值． 课后记 本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ 学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□ 学生上次作业完成情况：数量 % 完成质量 分 存在问题 1 学科网（北京）股份有限公司 $$