24.2.2 课时2 切线的判定与性质课件2024-2025学年人教版九年级数学上册

24.2.2 课时2 切线的判定与性质 第二十四章 圆 直线和圆的位置关系有哪几种？ d r; d r; 直线和圆相切 直线和圆相离 d r. ●O ●O 相交 ●O 相切 相离 r r r ┐d d ┐ d ┐ < = > 直线和圆相交 1.理解圆的切线的判定定理及性质定理; 2.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 如何判断一条直线是否为切线呢？ 思考一 如图，⊙O的半径为r,在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA. (1)圆心O到直线l的距离d与r的关系是______ (2)直线l和⊙O的位置关系是______ d=r 相切 知识点一：切线的判定 切线的判定定理：经过半径的________并且________于这条半径的直线是圆的切线. 外端 垂直 ∵OA为⊙O的半径， l ⊥ OA于A， ∴l为⊙O的切线. 符号语言： 定理成立的依据：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线，定理是此方法的另一种表述方式. 归纳小结 判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. A O. A A O (1) (2) (3) (1)不是，因为不是垂直关系. (2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点. 注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径” 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切. 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 归纳小结 例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 分析：要证AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是＿＿＿＿＿＿＿就可以了.而OD是⊙O的半径，则只要证OE=OD. ⊙O的半径 证明： 过点O作OE⊥AC，垂足为E,连接OD,OA. ∵AB与⊙O相切于点D, ∴ ________. 又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点, ∴AO是∠BAC的平分线, ∴__________,即OE是⊙O的半径, ∴AC经过⊙O的半径OE的外端E，OE⊥AC, ∴AC是⊙O的切线． OD⊥AB OE=OD 例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵OC是⊙O的半径, ∴AB是⊙O的切线. O B A C (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例2 例1 方法点拨 知识点二：切线的性质 思考二 如图，⊙O的半径为r，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？为什么？ 解：OA⊥l,理由如下： 假设OA与直线l不垂直，则OA不是点O到直线l的垂线段. 过点O作OM⊥l于点M,OM的长为点O到直线l的距离d, 根据垂线段最短的性质，有OM<OA，即d<r 直线l与⊙O相交,与已知矛盾 , 故假设不成立 ,所以OA⊥l. 此为反证法 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 符号语言： 归纳小结 例3 如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？ 解：连接OB，则∠OBP=90°. 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中， OB2+PB2=OP2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3. O P B A 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质或建立方程解题. ∴⊙O的半径为3. 1. 下列命题中，真命题是(　　) A. 垂直于半径的直线是圆的切线 B. 经过半径外端的直线是圆的切线 C. 经过切点的直线是圆的切线 D. 圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线 D 2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，∠ABT = 45°，AT = AB．求证：AT 是 ⊙O的切线． 证明：∵∠ABT = 45°，AT = AB， ∴∠T = ∠ABT = 45°. ∴∠BAT = 90°. ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴AT 是 ⊙O 的切线． 3. 如图，⊙O 切 PB 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ⊙O 的半径是多少？ O P B A 解：如图，连接 OB，易知∠OBP = 90°. 设⊙O 的半径为r， 则OA = OB = r，OP=OA+PA=2+r. 在 Rt△OBP 中， OB2 + PB2 = PO2，即 r2 + 42 = (2+r)2. 解得 r = 3， 即 ⊙O 的半径为 3. O A B C E P 4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线. 证明：连接 OP，如图. ∵ AB = AC，∴∠B =∠C. ∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB. ∴∠OPB =∠C. ∴ OP∥AC. ∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP. ∴ PE为 ⊙O 的切线. 切线的判定 与性质 判定 方法 性质 定理 定义法 数量关系法 判定定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 $$