22.1.2 二次函数 y＝ax² 的图象和性质 课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 第二十二章 二次函数 1.正确理解抛物线的有关概念.(重点) 2.会用描点法画出二次函数y=ax 的图象,概括出图象的特点.(难点) 3.掌握形如y=ax 的二次函数图象的性质,并会应用.(难点) 1 2 3 观察:投篮时,篮球的运动路线与图中的哪条线接近呢? 思考:篮球的运动路线有什么规律?如何用数学知识来描述? 新课导入 类比一次函数的描点画法,画出二次函数 y = x2 的图象. ①列表:在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数,列表表示几组对应值: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … … 9 4 1 0 1 9 4 ②描点:根据表中 x,y 的数值在坐标平面中描点(x,y). 知识点1 二次函数y=ax2(a>0)的图象和性质 活动1 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0 -1 -2 -3 -4 -5 y = x2 ③连线:用平滑曲线顺次连接各点,得出 y = x2 的图象. 观察二次函数y = x2 的图象,回答下列问题. (2)图象是轴对称图形吗,如果是,它的对称轴是什么? (3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么? (4)当x<0时,随着x的增大,函数y如何 变化?当x>0时呢? 对称轴:y轴. (0,0) (1)如图所示,你能描述出该函数图象的形状吗? 顶点是抛物线的最低点或最高点. y 轴是抛物线 y = x2 的对称轴, 对称轴与抛物线的交点(0,0) 叫做抛物线 y = x2 的顶点. 事实上,二次函数的图象都是抛物线, 它们的开口或者向上或者向下. 一般地,二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0)的图象叫做抛物线 y = ax2 + bx + c. 在同一平面直角坐标系中,画出函数 的图象, 并解决下列问题. 问题2:观察二次函数 y=x2, 的图象,指出 它们有哪些相同点和不同点? 问题1:观察二次函数 的图象,分别指出 它们的开口方向、对称轴和顶点坐标;再指出图象有 最高点还是最低点?图象何时上升、下降? y=x2 活动2 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 解:分别列表,再画出它们的图象. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 相同点:开口向上,对称轴是 y 轴, 顶点是原点(最低点). y 轴左侧,y随x增大而减小; y 轴右侧,y随x增大而增大. 不同点:a值越大,抛物线的开口越小. 归纳:一般地,当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小. x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 在同一直角坐标系中,画出函数 的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点. 共同点:开口向下,对称轴是 y 轴, 顶点是原点(最高点). y 轴左侧,y随x增大而增大; y 轴右侧,y随x增大而减小. 不同点:a值越小,抛物线的开口越小. -2 2 -2 -4 -6 4 -4 -8 y O x 知识点2 二次函数y=ax2(a<0)的图象和性质 活动 y=ax2 a>0 a<0 开口方向 开口大小 对称轴 顶点 增减性 向上 向下 a的绝对值越大,开口越小 y轴 原点(0,0) 最低点 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 最高点 y O x y O x 图象 思考: (1)a>0 和a<0时,函数 y=ax2 的图象有什么不同? (2)|a|的大小对函数y=ax2的图象的开口大小有什么影响? 带着以上思考完成右表. 小结:1.二次函数的图象都是抛物线. 2.抛物线y=ax2的图象性质: (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点; |a|越大,抛物线的开口越小. (1)抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. y=-2x2 y=-x2 2 6 8 y 4 y=2x2 -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点: (1)y = 3x2; (2) y = - 3x2 ; (3) y = x2; (4) y = - x2; 开口向上 对称轴是y轴 顶点是原点 开口向下 对称轴是y轴 顶点是原点 开口向上 对称轴是y轴 顶点是原点 开口向下 对称轴是y轴 顶点是原点 13 1. 关于二次函数y=3x2的图象,下列说法错误的是( ) A.它是一条抛物线 B.它的开口向上 C.它的顶点是抛物线的最高点 D.关于y轴对称 C 2.下列函数中,y总随x增大而减小的是( ) A.y=4x B.y=-4x C.y=x-4 D.y=x2 B 3.若抛物线y=2x2 (a ≠ 0). (1)二次项系数是 ; (2)对称轴是 ,开口 . (3)顶点坐标是 ,顶点是抛物线上的最 值 . 抛物线在x轴的 方(除顶点外). (4) 若A(x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上,且x1<x2<0, 则y1 y2. 2 y轴 向上 (0,0) 小 上 > 4、抛物线 在x轴的 方(除顶点外), 当 x < 0 时,y随着x的 ; 当 x >0 时,y随着x的 , 当 x=0 时,函数 y的值最大,最大值是 . 下 增大而增大 增大而减小 0 描点法 列表、描点、连线 抛物线 轴对称图形 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 图象 性质 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 $$