第21章 一元二次方程 —— 一元二次方程定义及解法专题练习 2024—2025学年人教版 数学九年级上册

一元二次方程定义及解法复习 一、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫一元二次方程． （2）一元二次方程的一般形式：． （3）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 二、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 三、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 四、解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 五、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 六、解一元二次方程-公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 七、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 八、根的判别式： 我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b2-4ac 1、根的判别式的直接使用： ①当Δ=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即，. ②当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根. ③当Δ=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根. ④当Δ=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根 注意：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况 2、根的判别式的逆向使用： 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 一、单选题 1．以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中，一定是关于x的一元二次方程有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如果2是方程的一个根，则常数k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．已知关于x的方程是一元二次方程，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．两个关于的一元二次方程和，其中，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A． B． C． D． 5．若一个三角形的两边长分别是3和6，第三边的边长是方程的一个根，则这个三角形的周长为（    ） A．7 B．12 C．16 D．12或16 二、填空题 6．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 7．已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ． 8．已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 9．若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ． 10．若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为 ． 11．等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为 ． 三、解答题 12．按要求解下列方程 (1)（配方法） (2) (3) (4)（公式法） 13．已知，关于的方程． (1)不解方程，判断方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求的值． 14．已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若是这个方程的一个根，求的值和另一根． 15．定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：． (1)填空：________； (2)按照这个规定，解方程． 16．（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 17．如图在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点设，，则线段的长是方程的一个根吗？请说明理由． 18． 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 19．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)方程_______________（选填“是”或“不是”）“邻根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程是常数，且是“邻根方程”，令，试求的最大值． 20．我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得：    ③ 将③代入①得： 整理得：，解得， 将，代入③得， ∴原方程组的解为或． (1)请你用代入消元法解二元二次方程组：； (2)若关于x，y的二元二次方程组有实数解，求实数a的取值范围 参考答案： 1．B 【详解】（1），不是关于x的一元二次方程； （2），一定是关于x的一元二次方程； （3）， ∵ ∴，不是关于x的一元二次方程； （4）， ∵， ∴，一定是关于x的一元二次方程； （5），不是关于x的一元二次方程； （6）， 当时，方程为，不是关于x的一元二次方程． ∴有2个方程一定是关于x的一元二次方程． 故选：B． 2．A 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 解得 ； 故选：A． 3．C 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且， 解得且， ， 将代入得：， 解得：， 故选：C． 4．C 【详解】解：∵，， ， ∴， ∵和， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 5．C 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 当时， ∵， ∴3、3、6不能组成三角形， 当时， ∵， ∴3、6、7能够组成三角形， ∴这个三角形的周长为， 故选：C． 6．26 【详解】解：把代入方程，得， ∴， ∴ 故答案为：26 7．且 【详解】解：由题意得，，且， ∴且． 8． 【详解】解：已知是一元二次方程的一个解 ，即， 故答案为：． 9． 【详解】解：是一元二次方程， 且， 解得：且， ， 原不等式为：，即 ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为． 先将原方程括号展开，再合并同类项，化为一般式，根据原方程化为一般形式后为，得出，求出a、b、c的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∵原方程化为一般形式后为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．11 【详解】解：， 因式分解得， 即或， 解得， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为1，底边长为5时， ， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为5，底边长为1时， ∴这个等腰三角形的周长； 综上所述：这个等腰三角形的周长为11， 故答案为：11． 12．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ， ， ，即， ， ，． （2）解：， ， ， 或， ，． （3）解：， ， ， 或， ，． （4）解：， ， ，，， ， ， ，． 13．(1)方程有两个不相等的实数根； (2)，． 【详解】（1）解：方程移项得，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程得， ， ∴， 解得，． 14．(1) (2)， 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ． ． （2）是这个方程的一个根， ． ． 原方程为． 解得，， 即方程的另一根是． 15．(1) (2)或 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：． （2）解：当时，有，解得，（舍去）， 时，有，解得，（舍去）． 综上：或． 16．（1）①；；；②，理由见解析；（2），理由见解析 【详解】解：①当时，，，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 故答案为；；；； ②，理由如下：， 无论m取何值， ∴无论m取何值，总有； 故答案是：； （2），理由如下： ∵ ∴． 17．是，理由见解析 【详解】解：是，理由如下： 由作图可知：， ∵，，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的根为：， ∴， ∴的长是方程的一个根． 18．(1) (2)， 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由题意可知：， 只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形； 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形； 综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，． 19．(1)不是 (2)或 (3)当时，有最大值，最大值为16 【详解】（1）解：∵， ， 解得：， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵关于的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ， ， ∴或； （3）解：∵关于的方程是常数是邻根方程， 设两个根分别为， ， 由韦达定理：， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为16， 答：的最大值为16． 20．(1)原方程组的解为或 (2) 【详解】（1） 由①，得③ 把③代入②，得． 整理，得． 解得，． 把，代入③，得，． 故原方程组的解为或 （2） 由①得，得③ 把③代入②，得． 整理，得． ①若，则．此时原方程可化为，解得，符合题意； ②若，则且． 解得且． 综上可知，． 学科网（北京）股份有限公司 $$