21.3实际问题与一元二次方程（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册同步教学精品课件（人教版）

第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 人教版·九年级·上册·第二十一章·一元二次方程 学习目标 知识与技能： 过程与方法： 情感态度与价值观： 经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的的数学建模作用； 会分析实际问题中蕴含的数量关系，找出等量关系，列出一元二次方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义取值； 体会数学来源于实践，反过来又作用于实践，增强应用数学的意识； 新知讲解 传染病模型 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析：在传染问题中，有两个关键点：（1）在每 轮传染过程中平均一个人能传染几个人；（2）每一轮的传染源的个数； 若设每轮传染中平均一个人传染了个人. 开始有一个人患了流感，第一轮的传染源只有 个. 他传染了个人，第一轮传染之后总共有 个人患了流感 。 而第二轮的传染源变成了 个人，在第二轮中被传染的人数为 个人。 传染病模型 其中的等量关系： 第一轮患流感人数+第二轮患流感人数=总人数 解：若设每轮传染中平均一个人传染了个人. 则根据题意可列方程： 解得 （不符合题意，舍去） ∴ 每轮传染中平均一个人传染了10个人 典例训练 例1. 某种电脑病毒传播的非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 解：若设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑. 则根据题意可列方程： 解得 （不符合题意，舍去） ∴ 每轮感染中平均一台电脑感染台电脑 ∴ 第三轮感染后被感染的电脑台数为81+81×8=729 ＞700 答： 每轮感染中平均一台电脑感染台电脑；三轮感染后，被感染的电脑会超过700台。 传染病模型总结（1）： ①初始传染源1个 ②每轮传染中平均一个传染源传染个 则第一轮传染后感染的总数为： 第二轮传染后感染的总数为： 第三轮传染后感染的总数为： 第n 轮传染后感染的总数为： 传染病模型总结（2）： ①初始传染源个 ②每轮传染中平均一个传染源传染个 则第一轮传染后感染的总数为： 第二轮传染后感染的总数为： 第三轮传染后感染的总数为： 第n 轮传染后感染的总数为： 平均增长率和平均下降率模型 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元。随着成产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大？ 为起始量， 为终止量， 为增长（或降低）的次数； 增长率公式： 为平均增长率） 下降率公式： 为平均下降率） 解：若设甲种药品的下降率为. 则根据题意可列方程： 解方程，得 （舍去） 若设乙种药品的下降率为. 则根据题意可列方程： 解方程，得 （舍去） 甲乙两种药品成本的年平均下降率相同，都为22.5% 为何两种药品成本的下降率只取22.5% ① 下降的数量不能超过原有的数量，所以下降率不能超过100%， ② 但增长的数量可以超过原有的数量，所以增长率可以超过100%， ③ 注意：增长率和下降率都必须是正数 思考： 在以上下降率问题中，请问甲乙两种药品成本的 年平均下降额各是多少？再结合做计算得出的年平均下降率，请说说下降额与下降率之间的关系。 甲种药品成本的年平均下降额为： 乙种药品成本的年平均下降额为： ∴甲种药品成本下降额＜乙种药品成本的下降额 而甲种药品成本下降率＝乙种药品成本的下降率 ∴ 下降额大但下降率不一定大，同样，增长额大的增长率也不一定大。 典例训练 例2. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这种思路按下面的要求填空，完成本题的解答。 某村种的水稻2015年平均每公顷产8000Kg，2017年平均每公顷产9680Kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率。 解题方案： 设该村水稻每公顷的产量为 . （1）用含的代数式表示： （2）根据题意，列出方程 ； （3）解这个方程，得 ； （4）检验： ； （5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 % 都是原方程的解，但 （1）用含的代数式表示： ① 2016年种的水稻平均每公顷的产量为 ； ② 2017年种的水稻平均每公顷的产量为 ； 新知讲解 几何图形 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面的长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占的面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度。 分析：封面的长宽之比是27:21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7， 可设中央的矩形的长和宽分别 是 和 ， 由此得上、下边衬与左右边衬的宽度之比是 。 ∴ 上、下边衬与左右边衬的宽度之比也是9:7 可设上下边衬的宽均为9，而左右边衬的宽均为7 则中央的矩形的长为，宽为 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三，于是可列出方程 整理，得： 解方程，得： 典例训练 例3. 如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为18，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35cm，求养鸡场的长与宽。 解：设养鸡场与墙平行的一边长为 则 根据题意可列方程： 解得 （不符合题意，舍去） ∵墙长为18 ∴ 则 ∴养鸡场的长为20m ,宽为7.5m 课堂总结 1. 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： （1）审：审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系； （2）设：设未知数； （3）列：列方程，即用代数式表示等量关系； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否正确并且能够使实际问题有意义； （6）答：回答问题，遵循“问什么答什么；怎么问就怎么答”的原则； 2. 列一元二次方程常见的实际问题： 常见问题 列方程的依据（等量关系） 1.行程问题 路程=速度×时间 2.平均增长率和下降率问题 为起始量， 为终止量， 为增长（降低）的次数 增长率公式：为平均增长率） 下降率公式：为平均下降率） 3.传播问题 ①初始传染源个 ②每轮传染中平均一个传染源传染个 第n 轮传染后感染的总数为： 4.销售利润问题 利润=售价-进价 利润率== 总利润=总售价-总成本=单件利润×总销售量 2. 列一元二次方程常见的实际问题： 常见问题 列方程的依据（等量关系） 5.几何图形问题 几何图形的面积、周长公式和图形之间的等量关系 6.存款利息问题 本息和=本金+利息 利息=本金×利率×期数 7.数字问题 两位整数=十位数字×10+个位数字 三位整数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字 典例训练 例4. 一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数。 解：设个位数字为，则十位数字为则这个两位数为10 根据题意，得10 整理，得 解这个方程，得 （舍去） 当， 答 $$