21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册同步教学精品课件（人教版）

第二十一章 一元二次方程 人教版·九年级·上册·第二十一章·一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 知识与技能： 过程与方法： 情感态度与价值观： 理解一元二次方程的根与系数的关系，并能利用这个关系解决数学问题； 掌握根与系数的关系：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数；两个根的积等于常数项与二次项系数的比； 通过推导一元二次方程的跟与系数的关系的过程，体会方程的系数决定了方程的根，从而对方程根有一个具体的印象。 探究引入 探究1： 请回顾一元二次方程的一般形式 下的求根公式是什么？ 求根公式 求根公式不仅表示了“方程的根的值由系数决定”，而且还反映了“根与系数之间的联系” 根与系数之间的联系除了以上的表现方式，还有其他的表现方式吗？ 解 探究2：请各位同学在求根公式的基础之上尝试推导的值是多少？ 的值又是多少？并总结你发现的规律。 解 新知讲解 一 、一元二次方程的根与系数的关系： 方程的两个根和为： （2）两个根的积等于常数项与二次项系数的比； 即 即 （1）两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数； 典例理解 例1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积： 解 ∴ ∴ 解 ∴ ∴ 解原式可化为 ∴ ∴ ∴ 例2、已知关于一元二次方程若方程的一个根，求m的值和另一个根。 解法一：设方程的另一个根为 则 可得 ∴ 得 ∴，方程的另一个根式 已知方程的一个根，求另外一个根或字母系数的值 例2、已知关于一元二次方程若方程的一个根，求m的值和另一个根。 解法二：将代入方程 得 即 ∴ 将 代入方程 得 解得 ∴，方程的另一个根式 例3、已知是方程的两个根，求以和为根的一个一元二次方程. 解 且 ∴ ∴ ∴ ∴ 已知方程的两个根，求新的一元二次方程 ∴ 可设新方程为 化简得 ∵ 新方程的根与 ∴所求一元二次方程为： 例4、已知一元二次方程的两个根分别是，请利用根与系数的关系求： （1） ； （2） （1）解析：两个平方项，且符号相同，考虑完全平方公式。而根与系数的关系中有，所以考虑 解 ; ; 求由方程两根构成的代数式的值 （2）解析：本题从形式上看属于分式的加法运算，先通分 解: 原式可化为 = + = ∴ = = = 3 ; ; 拓展：与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 变形的原则：要在式子之中出现和，在利用根与系数的关系得出原式子的值 例5、已知一元二次方程的两个根的平方和是，求m的值： 求方程之中字母系数的值 解：设方程的两个根为 则 可得 随堂练习 1. 关于的一元二次方程的一个根是0，求的值和另一个根。 解法一：设方程的另一个根为 则 可得 ∴ 解得 ∴，方程的另一个根式 解法二：将代入方程 得 即 ∴或（舍去） 将 代入方程 得 解得 ∴，方程的另一个根式 2. 若是一元二次方程的两个根，则的值是 。 解 ; ; 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足的,则m的值是 。 解 ∵ 原方程有两个相等的实数根 ∴ 即 ∴ 又∵ 即 ∴ ∴ 综上所述 $$