第十七章 勾股定理13种典型问题 讲义2024-2025学年人教版数学八年级下册

第十七章 勾股定理 (13种典型问题) 2024-2025人教版八年级下册 1.勾股定理的证明 结合图形的切割、拼接,通过面积证明是最常见的一种方法。 (1)赵爽弦图 (2)毕达哥拉斯拼图 (3)加菲尔德总统拼图 结论: 勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么。 2.利用勾股定理解决简单的求线段长问题 1.在Rt ABC中,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,∠C=90 (1)已知a=3,b=4,c= ; (2)已知a=12,c=16,b= ; (3)已知a:b=1:2,c=5,b= ; (4)若∠A=30 ,c=4,a= ,b= ; (5)若∠A=45 ,b=3,a= ,c= ; (6)若c=5,= ; (7)若AC=5,BC=12,则AB边上的高是 ; 2.已知每个小方格的长度都是1,求各线段的长度。 3.若一个直角三角形的两边长分别是3、4,则第三边长为 . 4.如图,Rt ABC中,∠ACB=90 ,CD⊥AB,AB=9,BC=6,则BD的长为 5.一架25分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑动 3.特殊的直角三角形关系(含30 的直角三角形以及含45 的直角三角形) 如图所示,①含45 的直角三角形三边之比为1:1: ; ②含30 的直角三角形三边之比为1:: 2 。 1.(1)在中,,,,则 . . (2)在中,,,,则 . . 2.已知 ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则它的三条边之比为 3.将一副直角三角尺按如图所示放置,∠A=60 ,∠CBD=45 ,AC=2,则BD的长为 . 4.若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为60 ,且高为3cm,则这个等腰三角形的腰长为 ,面积为 5.如图,在Rt ABC中,∠A=30 ,∠C=90 ,AB+BC=18cm,则AC= cm. 第3题 第5题 4.以直角三角形的三边为边长向外作正方形、等边三角形、等腰直角三角形、半圆等的面积问题。 下列各图中,以两直角边为边长(或直径)所作的两个图形的面积和等于以斜边为边长(或直径)所作的图形的面积,即. (1)作正方形 (2)作等边三角形 (3)作半圆 (4)作等腰直角三角形 以图(1)为例证明: 设直角三角形三边长从小到大为a、b、c,则有,,。由勾股定理得,,即。其他图形证明方法相同。利用此结论可快速解决相关问题。(例:若已知) 1.如图,分别以直角三角形的三边为斜边,在其形外作等腰直角三角形,其面积分别记为,,,则,,的关系为 A. B. C. D.不能确定 2.如图,在中,,AB=4,分别以,为边作正方形,面积分别记为,,则 . 3.如图,分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆,已知,,则 . 4.如图,已知所有的四边形是正方形,三角形是直角三角形,且其中最大的正方形面积为,则图中所有的正方形的面积之和为 . 第1题 第2题 第3题 第4题 5.等腰三角形三线合一+勾股定理 ※作辅助线:底边上的高(也是底边上的中线),结合勾股定理求边长即可。 1.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为 解:如图:由题意得:AB=AC=10cm,BC=16cm, 作AD⊥BC于点D,则有DB=BC=8cm, 在Rt ABD中,AD==6cm. 2.如图,方格纸中小正方形的边长为1,的三个顶点都在小正方形的格点上,下列结论正确的有 ①的形状是等腰三角形;②的周长是;③点到边的距离是. 解:由勾股定理得:AB=,, ∴AB=BC, ABC的形状是等腰三角形,①正确; ABC的周长是 ∴②错误; 设C到AB的距离是h,由三角形面积公式得:4=AB•h,把AB=代入得h=,③错误。 练习: 1.等腰三角形的底边长为8,面积是12,则腰长为 2.已知等腰三角形底边长为10cm,腰长为13cm,则腰上的高为 3.在中,,为上任意一点,且,于,于,则 4.如图,中,,,是的中点,于点,则的长为 5.在中,,,若点在边上移动,则的最小值是 6.如图,每个小方格的边长为1,,,三点都在小方格的顶点上,则点到所在直线的距离等于 7.如图,平面直角坐标系中,的边落在轴上,顶点落在第一象限.若,,则点的坐标是 第4题 第5题 第6题 第7题 6.已知两点坐标,求两点间距离 ※①经过两点构造直角三角形,利用勾股定理求线段长;②直接使用两点间距离公式。 1.在平面直角坐标系中,点和点的坐标分别是:,.那么线段的长度是 解:①如图,过点A作y轴垂线,过点B作x轴垂线,相交于点C。 可得,在Rt ABC中,AC=4,BC=2,故AB=。 ②利用两点间距离公式:AB= ※两点间距离公式:若,则AB= 练习: 1.平面直角坐标系内,点P(1,)到原点的距离是 2.在平面直角坐标系中,点A(4,0),点B(0,6),则点A,B之间的距离是 3.已知平面直角坐标系内点P(1,2),Q(2,-3),那么线段PQ的长等于 4.在平面直角坐标系中,已知点A(1,-5),B(-3,7),求线段AB长为 7.勾股定理+完全平方公式 ※综合使用勾股定理及完全平方公式,不需要具体求出某一条边的长度即可解决问题。 1.已知直角三角形两直角边的边长之和为,斜边长为2,则这个三角形的面积是 解:设直角三角形两直角边的边长分别为a、b,斜边为c(即c=2)。 根据题意得,,代入,得得。 所以这个三角形的面积是 ※此题有另外一种思路,设一条直角边为,则另一条直角边为,利用勾股定理可列方程:。 此时整理方程得。这个方程属于一元二次方程,它的解法我们还没有学,所以用此方法无法解出的值。 练习: 1.已知中,,若,,则的面积为 . 2.在中,,、、所对的边为、、,且,,则的面积 . 3.如图,中,,于点,,,则等于 8.勾股定理+圆规 ※只需注意,同一个圆(同一条弧)中,所有半径都是相等的。 1.如图,长方形中,,,在数轴上,点表示数1,以点为圆心,对角线长为半径画弧交数轴于点,则数轴上点表示的数是 解:∵CD=2,AD=1,∴BD=.∵D点表示1,∴点E表示的实数是。 2.已知,过的端点作,使BC=AB,连接,以点C为圆心,CB为半径画弧交AC于点 D;以点A为圆心,AD为半径画弧,交AB于点P,则BP= 解:∵AB= ,BC=AB,∴BC= ∵BC⊥AB,∴AC= ∵CD=CB,∴ ∵AP=AD,∴BP= 练习: 1.如图,在平面直角坐标系中,,,以点为圆心,长为半径画弧,交轴的负半轴于点,则点坐标为 2.如图,在中,,,,以点为圆心,长为半径画弧,交于点,则 . 3.如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点,,都在格点上,以为圆心,为半径画弧,交最上方的网格线于点,则的长为 4.如图,中,,,以为圆心,为半径作弧交于点,以为圆心,长为半径画弧交于点,则的值是 第1题 第2题 第3题 第4题 9.利用勾股定理求线段长 一、列方程求线段长 在不能直接使用勾股定理得出线段的长度时:可利用方程求解。先设出合适的未知数,然后在直角三角形中,运用勾股定理找相等关系建立方程,最后解方程得出答案。 例题: 1.在 ABC中,AB=AC,AD为BC上的高,若AD为6cm, ABC的周长为36cm,则AB的长为 解:如图,∵在 ABC中,AB=AC,AD为BC上的高,∴BD=CD. ∴AB+BD=。 设AB=,则BD=,在Rt ABD中,有, 即,解得 2.如图,在 ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求边BC上的高AD的长。 解:设,则CD=。 在Rt ABD中,由勾股定理,得。 同理,在Rt ACD中,。 所以,解得. 所以 习题: 1.如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,AD=1,BD=2,高CD的长是 2.如图,在中,,为上的一点,,,则的长为 3.如图,已知在中,,为一点,,,,则的长为 4.如图,等腰中,,,为上一点,连接,为上一点,连接,若,则的长为 第1题 第2题 第3题 第4题 二、不含直角三角形,通过做辅助线:①作垂线;②作延长线。构造直角三角形,再利用勾股定理求解。 这类问题中通常含有特殊角(30 、45 、60 等),要熟练掌握两个特殊三角形中的三边之比: ①含45 的直角三角形三边之比为1:1: ;②含30 的直角三角形三边之比为1:: 2 。 例题: 3.如图,已知 ABC中,∠C=60 ,AB=14,AC=10,求BC的长。 解:如图过A点作AD⊥BC于D点. 在Rt ACD中,AC=10,∠C=60 , ∴CD=AC=5,AD=5,∵AB=14,∴BD==11, ∴BC=CD+BD=16. 4.如图,已知,在 ABC中,已知AB=4,∠B=120 ,BC=6,则AC的长为 解:作AD⊥CB交CB的延长线于点D, ∵在 ABC中,AB=4,∠B=120 ,BC=6, ∴∠ABD=60 ,∠BAD=30 , ∴BD=2,AD=2, ∴CD=BD+BC=2+6=8, ∴AC= ※此题用120 的补角60 构造特殊的直角三角形。此题不可过点B作AC上的高,会将120 的条件破坏,无法得到边之间的关系。 5.如图,四边形中,,,,则等于 解:如图,延长AB、DC相交于E, 在Rt ADE中,∠E=30 。可得AE=16,DE=8, 于是BE=AE-AB=9, 在Rt BEC中,∠E=30 。可得BC=3,CE=6, 于是CD=DE-CE=2,BC+CD=5. ※熟练掌握含30 的直角三角形的三边之比,就能快速解决此类问题。 6.小明是一位善于思考的学生,在一次数学活动课上,他将一副直角三角板如图位置摆放,、、在同一直线上,,,,,量得,则的长是 . 解:作FH⊥AD于H, 在 DEF中,∠EDF=90 ,∠E=60 , ∴∠DFE=30 ,∴EF=DE=16, 由勾股定理得,DF=DE=8, ∵EF∥AD,∴∠FDH=∠DFE=30 , ∴FH=,DH= 在Rt FBH中,∠ABC=∠C=45 , ∴BH=FH=4, ∴BD=DH-BH=12. ※在三角板的组合问题中求线段的长度,最重要的仍然是熟练掌握两个特殊直角三角形的三边之比,能够大幅减少计算量。 练习: 1.如图,在中,,,,则边的长为 2.如图,已知 ABC中,∠B=120 ,AB=4,BC=2,则AC的长 。 3.如图,中,,,为上一点,且,,则的周长为 . 4.如图,在四边形中,,,,,则的长是 第1题 第2题 第3题 第4题 5.将一对直角三角板如图放置,点在的延长线上,点在上,,,,,,则的长度是 6.把两个同样大小的含45 角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD= 。 7.将一副直角三角板如图放置,已知,,,点在线段的延长线上,点在边上,于点,若直角边,则的长为 8.把一副三角尺如图所示拼在一起,其中边长是,则的面积是 第5题 第6题 第7题 第8题 10.勾股定理解决分类讨论问题 (1)SSA(边边角)型1(已知两边及其中一边所对的角) 7.在中,,,,则的长为 解:SSA型分类讨论作图过程可参考如下步骤: ∵,先做∠MBN=30 (点A应在BM上,点C应在BN上), 在BM上截取BA=8,以点A为圆心,5(AC长)为半径画弧交BN于两点. 则 ABC1和 ABC2就是符合题意的两个三角形。 求BC长: 过A作AD⊥BC(或BC的延长线)于D点. Rt ABD中,AB=8,∠ABC=30 ,∴AD=4,BD=4. 在Rt AC1D(Rt AC2D)中,AC1=AC2=5,AD=4, 由勾股定理,得:C1D=C2D==3. ∴BC1= BD-C1D =4;BC2=BD+C2D= 综上,BC=4. (2)SSA(边边角)型2:(已知两边及第三边上的高): 8.在中,,,边上高,则的长为 解:如图1,锐角 ABC中,AB=15,AC=20,BC边上高AD=12, 在Rt ABD中AB=15,AD=12,由勾股定理得 BD=, 在Rt ADC中AC=20,AD=12,由勾股定理得 DC==16, BC的长为BD+DC=9+16=25. 如图2,钝角 ABC中,AB=15,AC=20,BC边上高AD=12, 在Rt ABD中AB=15,AD=12,由勾股定理得 BD==9, 在Rt ACD中AC=20,AD=12,由勾股定理得 DC==16, BC=CD-BD=7. ※此题已知的三条线段AB、AC、AD都经过点A,这是此类题的明显特征。 (3)分锐角or钝角两种情况考虑(高在内部or高在外部) 9.已知CD是 ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为 。 解:分两种情况: ①当 ABC是锐角或直角三角形,如图1, ∵CD⊥AB, ∴∠CDA=90 , ∵CD=,AD=1, ∴AC=2, ∵AB=2AC,∴AB=4, ∴BD=4-1=3, ∴BC=; ②当 ABC是钝角三角形,如图2, 同理得:AC=2,AB=4, ∴BC=; 综上所述,BC的长为. 练习: 1.中,,,BC= ,AB= 2.在中,,,,则边长为 3.已知在 ABC中,AB=13cm,AC=15cm,高AD=12cm,求 ABC的周长为 。 4.已知是的边上的高,若,,,则的长为 . 5.在中,,,边上的高为,,则AB= 6.在中,为高,,,,则的长为 . 7.等腰三角形一腰长为5,这一腰上的高为3,则这个等腰三角形底边长为 8.等腰中,,,则边上的高的长是 11.利用勾股定理解决图形折叠问题 解题技巧:在新增的直角三角形中利用勾股定理列方程求解。 根据折叠前后,重合的图形全等,得到相等的线段、相等的角,表示出各边长,列方程求解。 例题: 1.如图在Rt ABC中,∠B=90 ,AB=3,BC=4,将 ABC折叠,使点B恰好落在斜边AC上,与点B’重合,AE为折痕,则EB’= 解:根据折叠可得BE=EB′,AB′=AB=3, 设BE=EB′=x,则EC=4-x, 在Rt ABC中,∠B=90 ,AB=3,BC=4, ∴AC=, ∴B′C=AC-AB'=5-3=2, 在Rt B′EC中,由勾股定理得,, 解得x=1.5, 2.如图,已知长方形ABCD中,AB=8cm,BC=10cm,在CD上取一点E,将 ADE沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处,则CE的长为 解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=10, 根据题意得:Rt ADE≌Rt AFE, ∴AF=10cm, 在Rt ABF中由勾股定理得:AB2+BF2=AF2, 即82+BF2=102,∴BF=6, ∴CF=BC-BF=10-6=4, 设CE=xcm,则DE=EF=CD-CE=8-x, 在Rt ECF中由勾股定理可得:EF2=CE2+CF2, 即,解得x=3(cm),即CE=3cm. 习题: 1.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将 ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为 ,DE的长为 2.如图,在矩形中,,.点是边上一点,沿翻折,点恰好落在边上点处,则的长是 3.如图,在矩形中,点在边上,将矩形沿所在直线折叠,点恰好落在边上的点处.若,,则的长为 4.如图,已知矩形沿着直线折叠,使点落在处,交于,,,则的长为 第1题 第2题 第3题 第4题 5.如图,矩形中,,,将矩形沿折叠,使顶点落在上的点处,其中在上,连接,则 . 6.把一张矩形纸片按如图所示的方式进行折叠,使点恰好与点重合,折痕为,其中,.则的面积是 7.如图,在平面直角坐标系中,矩形的边、分别在轴、轴上,点在边上,将该矩形沿折叠,点恰好落在边上的处.若,,则点的坐标是 . 8.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将 ABP沿BP翻折至 EBP,PE与CD相交于点O,且OE=OD,则AP的长为 第5题 第6题 第7题 第8题 12.利用勾股定理解决最短路径问题 (1)平面内的最短路径问题(将军饮马+勾股定理):作图方法不变,利用勾股定理求线段长即可。 1.如图,正方形ABCD的边长为2,点E是CD中点,点P是对角线AC上的动点,那么PD+PE的最小值= 解:连接BE, ∵四边形ABCD是正方形,E是CD的中点, ∴点B、D关于直线AC对称,CE=CD=1, ∴BE即是PD+PE的最小值, ∴BE= (2)几何体表面的最短路径问题:将求立体图形上两点的距离转化为求平面内两点间的距离。 2.有一长、宽、高分别是,,的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体的一个顶点处沿长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处,则需要爬行的最短路径长为 解:因为平面展开图不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线. (1)展开前面、右面,由勾股定理得AB2=(5+4)2+32=90; (2)展开前面、上面,由勾股定理得AB2=(3+4)2+52=74; (3)展开左面、上面,由勾股定理得AB2=(3+5)2+42=80; 所以最短路径长为 前面+右面 前面+上面 下面(上面)+右面 3.如图,一圆柱体的底面周长为10cm,高AB为12cm,BC是直径,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为 解:如图所示: 由于圆柱体的底面周长为10cm, 则AD=10 =5cm. 又因为CD=AB=12cm, 所以AC==13(cm). 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm. ※①圆柱的侧面展开图是一个矩形; ②注意展开后,Rt ACD的直角边AD的长应是底面圆周长的一半。 练习: 1.如图,正方形ABCD的边长为6,点E是CD中点,点P是对角线AC上的动点,那么PD+PE的最小值= 2.已知,如图,正方形ABCD的边长是8,M在DC上,且DM=2,N是AC边上的一动点,则DN+MN的最小值是 3.在棱长为1的正方体中,顶点,的位置如图所示,则、两点间的距离为 4.如图,是一块长、宽、高分别是,和的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处,沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是 5.如图,一圆柱体的底面圆周长为,高为,是直径,一只蚂蚁从点出发,沿着圆柱的表面爬行 到点的最短路程是 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 13.利用勾股定理解决等腰三角形的坐标问题 例题: 1.如图,平面直角坐标系中,点和,在x轴上存在一点P,使 ABP为等腰三角形,则点P的坐标为 解:①利用“两圆一线”,找到符合条件的点共有四个,其中以AB为腰的三个点易求,分别为(过程略); ②作AB的垂直平分线l交x轴于点P4,可利用勾股定理求出P4坐标。 如图,设OP4=x,则BP4=4-x,∴AP42=x2+32,BP42=. ∵直线l是AB的垂直平分线,则有AP4=BP4, 可列方程:x2+32=,解得x=,故P4. 2.如图,中,,,,动点从点出发沿射线以的速度运动,设运动时间为,当为等腰三角形时,的值为 A.或 B.或24或12 C.或24或12 D.或或24 解:∵∠C=90 ,AB=25cm,AC=7cm,∴BC=24cm. ①当BP=BA=25时,∴t=. ②当AB=AP时,BP=2BC=48cm,∴t=24. ③当PB=PA时,PB=PA=2t cm,CP=(24-2t)cm,AC=7cm, 在Rt ACP中,AP2=AC2+CP2, ∴,解得t=.综上,当 ABP为等腰三角形时,t=或24或t= 习题: 1.点的坐标是,是坐标原点,若点在轴上,且是等腰三角形,则点的坐标是 . 2.点A(-2,0),B(0,4),P为直线x轴上的一个动点,要使 ABP为等腰三角形,则点P的坐标为 3.点A(-2,0),B(0,4),P为直线x=3上的一个动点,要使 ABP为等腰三角形,则点P的坐标为 4.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动, ODP是等腰三角形时,点P的坐标为 5.如图,中,,,,动点从点出发沿射线以的速度运动,设运动时间为,当为等腰三角形时,的值为 6.如图,在中,,,,动点从点出发,按的路径,以每秒的速度运动,设运动时间为秒.当为 时,是等腰三角形. 7.如图,已知,,点是射线上的一个动点.当为等腰三角形时,线段的长度为 . 第4题 第5题 第6题 第7题 学科网(北京)股份有限公司 $$