2.5角平分线的性质（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

2.5角平分线的性质 题型一 角平分线的性质的应用 1．如图，在直角坐标系中，是的角平分线，点D的坐标是，，那么的面积为（    ） A．48 B．24 C．16 D．12 2．如图，在△ABC中，，平分，交于点D．，垂足为E．若，．则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，平分，在上取一点，过作，垂足为，点是射线上一动点，连接，若，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数． 题型二 角平分线的判定的应用 1．如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 3．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 题型三 尺规作图：作一个角的平分线 1．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（    ） A．为的平分线 B． C．点到、的距离不相等 D． 2．已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（    ） ①作射线； ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 3．如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线交于点D． 若，的面积为3，则的面积为 ． 4．如图，在中． (1)利用尺规作图，在边上找到一点P，使得点P到、的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点P作，垂足为D，若，，求的长． 1．如图，在△AOB和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，平分，于点C，且，已知点到轴的距离是，那点关于轴对称的点的坐标为 ． 3．如图，，E是的中点，平分． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 1．如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 2．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是△ABC的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 1．三角形中，到三边距离相等的点是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．横坐标与纵坐标互为相反数的点在（   ） A．第二象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．原点 D．前三种情况都有可能 3．下列说法错误的是( ) A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点不一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5角平分线的性质 题型一 角平分线的性质的应用 1．如图，在直角坐标系中，是的角平分线，点D的坐标是，，那么的面积为（    ） A．48 B．24 C．16 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形以及角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作于，如图，利用角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：作于，如图， ∵点的坐标是， ， ∵是的角平分线， ， ， 故选：B． 2．如图，在△ABC中，，平分，交于点D．，垂足为E．若，．则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，由角平分线的性质定理得，即可求解；掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，，平分， ， ； 故答案：B． 3．如图，平分，在上取一点，过作，垂足为，点是射线上一动点，连接，若，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关键．过点作，如图所示，由角平分线的性质可得，根据点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，从而得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 平分，点是射线上一点，于点，， 由角平分线性质可得， 点是射线上一动点， 由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得， 综合四个选项可知，的长度不可能是， 故选：D． 4．如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数． 【答案】43° 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，过点O作，、，则根据角平分线的性质得到，，则，即可得到平分， 进而解题即可 【详解】解：如图，过点O作，、，垂足分别为D，E，F， ∵和的平分线交于点O，，，， ∴，， ∴， ∴平分． ∵∠， ∴． 题型二 角平分线的判定的应用 1．如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴的度数为 故选：C． 2．如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．结合垂直定义以及四边形内角和360度，进行列式计算即可．本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：，，， 点在的平分线上， ∴． ∴ ∴ 故答案为： 3．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】 此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】证明：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 题型三 尺规作图：作一个角的平分线 1．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（    ） A．为的平分线 B． C．点到、的距离不相等 D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，涉及角平分线的定义、角平分线的性质等知识，根据题中尺规作图即可得到答案，熟记角平分线的尺规作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，图中尺规作图是作的平分线， A、有尺规作图可知为的平分线，说法正确，不符合题意； B、由尺规作图可知，说法正确，不符合题意； C、由角平分线性质可知点到、的距离相等，选项原说法错误，符合题意； D、由角平分线定义可得，说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（    ） ①作射线； ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】C 【分析】本题考查基本作图—角平分线．根据角平分线的作图方法，进行排序判断即可． 【详解】解：作法的合理顺序是： ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． ①作射线； 故选：C． 3．如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线交于点D． 若，的面积为3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据基本作图，得平分，过点D作于点E，于点F，则，利用三角形面积公式计算即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，角的平分线的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得平分， 过点D作于点E，于点F， 则， ∵ ∴， ∵，的面积为3， ∴， 解得， 故答案为：． 4．如图，在中． (1)利用尺规作图，在边上找到一点P，使得点P到、的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点P作，垂足为D，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了角平分线的作法与性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的性质，作的角平分线交于点P，点P即为所作； （2）根据角平分线的性质得到，然后证明，然后利用可得结论． 【详解】（1）图形如图所示： （2）∵AP平分，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 1．如图，在△AOB和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；由证明，得到，由三角形的外角性质得：，得出，①正确；根据全等三角形的性质得出，，②正确；作于G，于H，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，②正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴，①正确； 作于G，于H，如图所示： 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设 ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选：B． 2．如图，平分，于点C，且，已知点到轴的距离是，那点关于轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的平分线的性质，点到直线的距离，点的轴对称坐标，过点作，垂足为，由点到轴的距离是，得点横坐标为，再根据角平分线的性质可得，从而点的坐标为，然后再求关于轴对称的点的坐标即可，正确确定点的坐标，熟练掌握对称点坐标的特点是解题的关键． 【详解】如图，过点作，垂足为， ∵点到轴的距离是， ∴点横坐标为， ∵平分，，， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 3．如图，，E是的中点，平分． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分； （2）首先证明，可得，同理可得，再由利用等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ，平分，， ， 是的中点， ， ， 又，， 平分； （2）证明：， ， 在△DFE和△DCE中， DE=DE ∠DFE=∠DCE ∠ FDE=∠EDC ∴△DFE≌△DCE ， 同理， ， ． 1．如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 过点P作，于点D，E，根据证明，即可得到，然后根据角平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）小星的解答从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）证明：过点P作，于点D，E， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 2．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是△ABC的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3），见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）直接利用证明即可得出； （2）①如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得，即为的中点，进而求得的长即可； ②在上截取AE=AB．连接，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：根据作图可得，又， ， ， 即； 故答案为：； （2）①如图：过点作，垂足为点， 和的平分线交于点， ，即， ； ②如图：在上截取AE=AB．连接， 是的角平分线， ， 又， ． ， 又， ； （3），理由如下： ， 是△ABC的两条角平分线，且交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ， ， ， 又， ， 是△ABC的角平分线， ， ， ， ． 1．三角形中，到三边距离相等的点是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 利用角平分线的性质，只有角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：到三角形各边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点， 故选：C． 2．横坐标与纵坐标互为相反数的点在（   ） A．第二象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．原点 D．前三种情况都有可能 【答案】D 【分析】本题考查象限角平分线上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知各象限内角平分线上点的坐标特征：第一、三象限角平分线上点的横纵坐标相等，第二、四象限角平分线上点的横纵坐标互为相反数． 根据各象限角平分线上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：横坐标与纵坐标互为相反数的点的坐标有三种情况： ①在第二象限的角平分线上，，，且； ②在第四象限的角平分线上，，，且； ③在原点，，． ∴符合题意的点在第二象限或第四象限的角平分线上，或在原点． 故选：D． 3．下列说法错误的是( ) A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点不一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】C 【分析】由角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，即可判断． 本题考查角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、B、D中的说法正确，故A、B、D不符合题意； C、到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，故C符合题意． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$