限时规范训练(53) 第7章 第7讲 空间向量与线、面位置关系（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(五十三) A级　基础落实练 1．已知a＝(2，1，－3)，b＝(0，－3，2)，c＝(－2，1，2)，则a·(b＋c)等于(　　) A．18　　 B．－18　 C．3　　 D．－3 解析：B　因为b＋c＝(－2，－2，4)． 所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18. 2．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：A　由题意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2， 又|a|＝＝，|b|＝＝， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为. 3．已知直线l的一个方向向量为m＝(x，2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1，2)，若l∥α，则x等于(　　) A．－6　　 B．6　 C．－4　　 D．4 解析：D　若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0， 即3x－2－10＝0，解得x＝4. 4．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有(　　) A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c C．若，，是空间的一组基底，且＝＋＋，则A，B，C，D四点共面 D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则a，b，c也是空间的一组基底 解析：ACD　对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A正确； 对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误； 对于C，若，，是空间的一组基底，且＝＋＋， 则－＝(－)＋(－)， 即＝＋， 可得A，B，C，D四点共面，故C正确； 对于D，若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底， 则空间任意一个向量d存在唯一实数组(x，y，z)， 使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c， 则a，b，c也是空间的一组基底，故D正确． 5．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，设AD＝1，则·等于(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D． 解析：A　由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1， ＝＋＋， 所以·＝(＋＋)· ＝·＋·＋· ＝0＋2＋0＝1. 6．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　) A．(1，1，1)　　 B．(，，1) C．(，，1)　　 D．(，，1) 解析：C　设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE， ∴AM∥EO. 又O是正方形ABCD对角线交点， ∴M为线段EF的中点． 在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1)， 由中点坐标公式，知点M的坐标(，，1)． 7．若空间中三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，则p＋q＝______． 解析：因为空间中三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，所以∥， 因为＝(1，－1，3)，＝(p－1，－2，q＋2)， 所以＝＝，解得p＝3，q＝4， 所以p＋q＝7. 答案：7 8．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________． 解析：设＝a，＝b，＝c， 由已知条件得〈a，b〉＝〈a，c〉＝， 且|b|＝|c|， ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ＝|a||c|－|a||b|＝0， 所以⊥，所以cos〈，〉＝0. 答案：0 9．已知四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，底面边长和侧棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则对角线AC1的长为________． 解析：由题可知四棱柱ABCD -A1B1C1D1为平行六面体，＝＋＋，所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝4＋4＋4＋2×2×2cos 60°＋2×2×2cos 60°＝20，所以||＝2. 答案：2 10．如图，三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长都相等，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，点M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点N，连接A1M，设＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示； (2)证明：A1M⊥AB. 解：(1)因为△ABC为正三角形，点M为△ABC的重心，所以N为BC的中点，所以＝＋，＝，所以＝＋＝－＋＝－＋＋＝a＋b－c. (2)证明：设三棱柱的棱长为m， 则·＝(a＋b－c)·a＝a2＋a·b－c·a＝|a|2＋|a|·|b|cos－|c|·|a|cos＝m2＋m2×－m2×＝0.所以A1M⊥AB. 11．如图，四棱锥P -ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证： (1)PB∥平面EFH； (2)PD⊥平面AHF. 证明：(1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点， ∴PB∥EH. ∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH， ∴PB∥平面EFH. (2)建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，H(1，0，0)． ＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)， ∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， ·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. ∴⊥，⊥，∴PD⊥AF，PD⊥AH. ∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF， ∴PD⊥平面AHF. B级　能力提升练 12．(多选)已知ABCD -A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　) A．(＋＋)2＝3()2 B．·(－)＝0 C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD -A1B1C1D1的体积为|(·)| 解析：AB　由向量的加法得到：＋＋＝，∵||2＝3||2，∴()2＝3()2，所以A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故|(·)|＝0，因此D不正确． 13．如图，已知四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，＝，＝21，AC1与平面EFG交于点M，则＝________． 解析：由题图知，设＝λ(0＜λ＜1)， 由已知＝＋＋＝2＋3＋， 所以＝2λ＋3λ＋， 因为M，E，F，G四点共面， 所以2λ＋3λ＋＝1，解得λ＝. 答案： 14．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4. (1)求证：BD⊥PC； (2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值． 解：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，，0)，D(0，0，0)， C(－3，，0)． 设PD＝a，则P(0，0，a)， (1)证明：＝(－1，－，0)， ＝(－3，，－a)， 因为·＝3－3＝0， 所以BD⊥PC. (2)由题意知， ＝(0，，0)，＝(0，0，a)， ＝(1，0，－a)，＝(－3，，－a)． 因为＝λ，所以＝(－3λ，λ，－aλ)， ＝＋＝(0，0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)＝(－3λ，λ，a－aλ)． 设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量， 则即 令z＝1，得x＝a，所以n＝(a，0，1)． 因为DE∥平面PAB，所以·n＝0， 所以－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0. 因为a≠0，所以λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$