限时规范训练(51) 第7章 第5讲 空间直线、平面的垂直（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(五十一) A级　基础落实练 1．(多选)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是真命题的为(　　) A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内 C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内 D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β 解析：ACD　由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行于平面β，因此A正确；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确． 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是(　　) A．BP⊥AC　　 B．PD⊥平面ABCD C．AC⊥PD　　 D．平面PBD⊥平面ABCD 解析：B　如图，取线段BP的中点O，连接OA，OC，易得BP⊥OA，BP⊥OC，又OA∩OC＝O，所以BP⊥平面OAC，所以BP⊥AC，故选项A正确；又AC⊥BD，BP∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PD，故选项C正确；又AC⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确． 3．如图，在斜三棱柱ABC -A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A．直线AB上　　 B．直线BC上 C．直线AC上　　 D．△ABC内部 解析：A　连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上． 4．(2024·高三名校联考)设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列说法正确的是(　　) A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n D．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m 解析：B　A选项，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，如图1，m∥n，且满足m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，但此时l与α斜交，故A错误；B选项，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，因为l⊥α，所以n⊥α，故B正确；C选项，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，因为l∥m，所以l∥n，故C错误；D选项，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，如图2，满足m⊂α，n⊥α，l⊥n，但此时l与m异面，故D错误．故选B． 图1　　　　　　图2 5．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) 解析：BD　对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，因为ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 6．(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是(　　) A．平面ANS⊥平面PBC B．平面ANS⊥平面PAB C．平面PAB⊥平面PBC D．平面ABC⊥平面PAC 解析：ACD　∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC， ∴平面ABC⊥平面PAC， 又BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC， 又AC为圆O直径，所以AB⊥BC， 又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB， ∵BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC. 又AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN， 又AN⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC， ∴AN⊥平面PBC， ∵AN⊂平面ANS， ∴平面ANS⊥平面PBC， ∴ACD正确． 7．如图所示是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱________所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直．(注：填上你认为正确的一条棱即可，不必考虑所有可能的情况) 解析：如图，结合平面图形还原出正方体， 结合正方体性质易知， 棱CG，DH，EH，FG所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直． 答案：CG，DH，EH，FG(任选一个作答) 8．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________． 解析：∵DA⊥平面α，CA⊂平面α， ∴DA⊥CA， 在△ABC中，∵∠A＝90°， ∴AB⊥CA，且DA∩AB＝A，DA，AB⊂平面DAB， ∴CA⊥平面DAB，又DB⊂平面DAB， ∴CA⊥DB. 答案：垂直 9．如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况) 解析：连接A1C1，由直四棱柱ABCD -A1B1C1D1可得CC1⊥平面A1B1C1D1，因为B1D1⊂平面A1B1C1D1，故CC1⊥B1D1，当A1C1⊥B1D1时，因为CC1∩A1C1＝C1，故B1D1⊥平面A1C1C，而A1C⊂平面A1C1C，故A1C⊥B1D1. 答案：A1C1⊥B1D1 10．(2024·河南适应性测试)如图，ABCD -A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E是B1D1的中点． (1)证明：CE⊥BD； (2)求三棱锥A -B1CE的体积． 解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD. 在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD. 如图，连接A1C1，因为AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C. 又CE⊂平面AA1C1C. 所以CE⊥BD. (2)法一：设AC与BD交于点F，连接B1F，DE，B1D. 在正方体ABCD -A1B1C1D1中，BD∥B1D1且BD＝B1D1. 又E，F分别是B1D1，BD的中点， 所以DF∥B1E，DF＝B1E， 所以四边形B1EDF是平行四边形， 所以DE∥B1F. 又DE⊄平面AB1C，B1F⊂平面AB1C， 所以DE∥平面AB1C. 又正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2， 所以VA -B1CE＝VE -AB1C＝VD -AB1C＝VB1 -ACD ＝×BB1×S△ACD＝×2××2×2＝. 法二：由(1)知BD⊥平面ACE，又B1D1∥BD，所以B1D1⊥平面ACE，所以VA -B1CE＝VB1 -ACE＝S△ACE·B1E＝××2×2×＝. 11．如图，在四棱锥P -ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE. 证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD. 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. (2)因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以PA⊥AE. 因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°， 且E为CD的中点，所以AE⊥CD. 所以AB⊥AE. 又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB， 所以AE⊥平面PAB. 因为AE⊂平面PAE， 所以平面PAB⊥平面PAE. B级　能力提升练 12．(2023·辽阳一模)在四面体ABCD中，△BCD为正三角形，AB与平面BCD不垂直，则(　　) A．AB与CD可能垂直 B．A在平面BCD内的射影可能是B C．AB与CD不可能垂直 D．平面ABC与平面BCD不可能垂直 解析：A　对于A，C，当四面体ABCD为正四面体时，如图所示，A在平面BCD上的射影为O，即OA⊥平面BCD， 由于CD⊂平面BCD，所以OA⊥CD. 连接BO并延长交CD于F，则CD⊥BF， 由于AO∩BF＝O，AO，BF⊂平面ABO， 所以CD⊥平面ABO， 由于AB⊂平面ABO，所以AB⊥CD， 故A正确，C错误． 对于B，若A在平面BCD内的射影是B，则AB与平面BCD垂直，与已知矛盾，故B错误． 对于D，当A在平面BCD内的射影在直线BC(除点B)上时，平面ABC与平面BCD垂直，故D错误．故选A． 13．(2024·北京清华大学附属中学第二次统练)已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥A -BCD，则在折叠过程中，不可能出现(　　) A．AB⊥CD B．AC⊥BD C．三棱锥A -BCD的体积为 D．平面ABD⊥平面BCD 解析：A　对于A，若AB⊥CD，因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC，而CD＝2，AD＝2，即直角边长与斜边长相等，显然不正确； 对于B，取BD的中点O，连接AO，OC，因为AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC，所以BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC； 对于C，当折叠所成的∠AOC＝150°时，顶点A到底面BCD的距离为×sin 30°＝，此时VA -BCD＝×2×＝； 对于D，当∠AOC＝90°时，有平面ABD⊥平面BCD.故选A． 14．如图所示，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点． (1)求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB； (3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． 解：(1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面PAD. (2)证明：如图，连接PG，因为PAD为正三角形，G为线段AD的中点， 所以PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，且PG，BG⊂平面PGB， 所以AD⊥平面PGB. 因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB. (3)能，当F为线段PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下： 如图，取线段PC的中点F，连接DE，EF，DF. 在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE. 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB. 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，PG⊥AD，所以PG⊥平面ABCD. 又PG⊂平面PGB， 所以平面PGB⊥平面ABCD， 所以平面DEF⊥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $$