限时规范训练(50) 第7章 第4讲 空间直线、平面的平行（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(五十) A级　基础落实练 1．如图，已知P为四边形ABCD 外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　) A．EF∥PA B．EF∥PB C．EF∥PC D．以上均有可能 解析：B　由线面平行的性质定理可知EF∥PB. 2．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(　　) A．平行　　 B．相交 C．AC在此平面内　　 D．平行或相交 解析：A　如图，把这三条线段放在正方体内，可得 AC∥EF，AC⊄平面EFG， EF⊂平面EFG， 故AC∥平面EFG. 3．下列命题中正确的是(　　) A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 解析：D　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，故D正确． 4．(多选)(2024·苏州中学质量评估)在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，则(　　) A．平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行 B．平面PAD和平面PBC的交线与底面ABCD平行 C．平面PAB和平面PCD的交线与底面ABCD平行 D．平面PAD内任意一条直线都不与BC平行 解析：ACD　对于A，设平面PBC∩平面PAD＝l，在平面PBC内存在无数条直线与l平行，且不在平面PAD内，则在平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行，故A正确． 对于B，若l∥平面ABCD，l⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABCD＝BC，则l∥BC，同理，l∥AD，则BC∥AD，这与四边形ABCD为梯形矛盾，故B错误． 对于C，设平面PAB∩平面PCD＝m， ∵AB∥CD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PCD∩平面ABCD＝CD， ∴AB∥m，又AB⊂平面ABCD，m⊄平面ABCD， ∴m∥平面ABCD，故C正确． 对于D，假设平面PAD内存在一条直线a与BC平行，则BC∥平面PAD， 又BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD＝AD，则BC∥AD，不符合题意， ∴平面PAD内任意一条直线都不与BC平行，故D正确．故选ACD． 5．(2024·泰兴中学等三校第二次联考)已知α，β是两个不重合的平面，则“α∥β”的充要条件是(　　) A．平面α内存在无数条直线与β平行 B．存在直线l与α，β所成的角相等 C．存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β D．平面α内存在不共线的三个点到β的距离相等 解析：C　对于A，如果α∩β＝l，则在α内与l平行的直线有无数条，这无数条直线都与平面β平行，但此时α不平行于β，故A错误； 对于B，如果α∩β＝m，在空间内必存在直线l⊄α，l⊄β，且l与m平行，此时l也与两个平面平行，即直线l与α，β所成的角都等于0，故B错误； 对于C，如果α∥β，则一定存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β， 若γ∥α且γ∥β，则也一定有α∥β， 则“α∥β”的充要条件是“存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β”，故C正确； 对于D，当α∥β时，α内必存在不共线的三个点到β的距离相等，但当α∩β＝m时，同样可以在α内找到不共线的三个点到β的距离相等，故D错误．故选C． 6．(2024·遂宁模拟)在正方体ABCD -A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) ①AD1∥BC1； ②平面AB1D1∥平面BDC1； ③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1. A．①②④　　 B．①②③ C．②③④　　 D．①③④ 解析：A　对于①，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，因为AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，故①正确． 对于②，易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，BD⊂平面BDC1，B1D1⊄平面BDC1，所以B1D1∥平面BDC1，同理可得AB1∥平面BDC1，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，故平面AB1D1∥平面BDC1，故②正确； 对于③，由正方体ABCD -A1B1C1D1易知，AD1与DC1异面，故③错误； 对于④，因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．故选A． 7．考查①②两个命题，①⇒l∥α；②⇒l∥α，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l，m为直线，α为平面)，则此条件为________． 解析：①由线面平行的判定定理知l⊄α；②由线面平行的判定定理知l⊄α. 答案：l⊄α 8．如图所示，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 解析：连接HN，FH，FN(图略)， 则FH∥DD1，HN∥BD， 且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D， ∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH， 则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1. 答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合) 9．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于________． 解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC， 所以EF∥AC，所以点F为DC的中点， 故EF＝AC＝. 答案： 10．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点． (1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：GH∥平面PAD. 证明：(1)如图，连接EC，因为AD∥BC，BC＝AD， E为线段AD的中点， 所以BC∥AE，BC＝AE， 所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点， 又F是PC的中点， 所以FO∥AP， 因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF， 所以AP∥平面BEF. (2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点， 所以FH∥PD， 因为PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD， 所以FH∥平面PAD. 又O是AC的中点，H是CD的中点， 所以OH∥AD， 因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， 所以OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，FH，OH⊂平面OHF， 所以平面OHF∥平面PAD. 又GH⊂平面OHF， 所以GH∥平面PAD. 11．(2023·潍坊高密月考)如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，E，F，G分别为棱B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点． 证明：(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1. ∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G， ∴EF∥平面A1C1G. 又F，G分别为A1B1，AB的中点， ∴A1F＝BG，又A1F∥BG， ∴四边形A1GBF为平行四边形， ∴BF∥A1G. ∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G， ∴BF∥平面A1C1G， 又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF， ∴平面A1C1G∥平面BEF. (2)∵平面ABC∥平面A1B1C1， 平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1， 平面A1C1G与平面ABC有公共点G，经过点G的直线交BC于点H， 则A1C1∥GH，得GH∥AC， ∵G为AB的中点，∴H为BC的中点． B级　能力提升练 12．(2024·新乡模拟)在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是(　　) 解析：B　对于A，如图①，连接B1N，由正方体的性质可知BM∥B1N，又B1N与平面CNQ相交，所以直线BM与平面CNQ不平行，故A错误； 图① 对于B，如图②，连接AC，AQ，由正方体的性质可知NQ∥AC，故平面CNQ即为平面ACNQ，而BM∥AQ，BM⊄平面CNQ，AQ⊂平面CNQ，所以直线BM与平面CNQ平行，故B正确； 图② 对于C，如图③，连接BQ，由中位线定理及正三棱柱的性质可知NQ∥BC，故平面CNQ即为平面BCNQ，则直线BM与平面CNQ相交于点B，故C错误； 图③ 对于D，假设直线BM与平面CNQ平行，如图④，过点M作CQ的平行线交A1B1于点D，则D是线段A1B1上靠近点B1的四等分点，连接BD， 图④ 由MD∥CQ，MD⊄平面CNQ，CQ⊂平面CNQ，可得MD∥平面CNQ，又BM与平面CNQ平行，MD∩BM＝M，MD，BM⊂平面BDM，则平面BDM∥平面CNQ， 而平面ABB1A1与平面BDM、平面CNQ分别相交于BD，QN，则BD与QN平行， 显然BD与QN不平行，故假设错误，所以直线BM与平面CNQ不平行，故D错误．故选B． 13．(多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD -A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是(　　) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 解析：ACD　由题图，显然A是正确的，B是错误的；对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG， 所以A1D1∥FG且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正确的； 因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝(定值)，即D是正确的． 14．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． 解：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， ∴EF∥平面ABD. 又EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB， 又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 同理可得CD∥平面EFGH. (2)设EF＝x(0＜x＜4)， 由于四边形EFGH为平行四边形， 所以＝， 则＝＝＝1－， ∴FG＝6－x， ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴四边形EFGH的周长 L＝2(x＋6－x)＝12－x. 又0＜x＜4，∴8＜L＜12， 故四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)． 学科网（北京）股份有限公司 $$