限时规范训练(47) 第7章 第1讲 空间几何体（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(四十七) A级　基础落实练 1．下列说法中，正确的是(　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形 C．正方体的所有棱长都相等 D．棱柱的所有棱长都相等 解析：C　棱柱的侧面都是平行四边形，A错误；其他侧面可能是平行四边形，B错误； 棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，D错误；易知C正确． 2．一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为(　　) A．2 cm2　　 B．2 cm2 C．4 cm2　　 D．8 cm2 解析：B　直观图的面积为××42＝2(cm2)． 3．(2024·济南模拟)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台的侧面积为3π，则原圆锥的母线长为(　　) A．2　　 B．　 C．4　　 D．2 解析：D　设圆台的母线长为l， 因为该圆台的侧面积为3π， 所以由圆台侧面积公式可得πl(1＋2)＝3πl＝3π，解得l＝. 设截去的圆锥的母线长为l′， 由三角形相似可得＝， 则2l′＝l′＋，解得l′＝， 所以原圆锥的母线长为l′＋l＝＋＝2.故选D． 4．如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为(　　) A．12　　 B．16　 C．24　　 D．24 解析：A　如图，设圆锥侧面展开图的圆心角为θ， 则由题意可得2π×4＝12θ， 则θ＝， 在△POP′中，OP＝OP′＝12， 则小虫爬行的最短路程为 PP′＝ ＝12. 5．(2024·肇庆质检)如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2 cm、底面边长为1 cm的正三棱锥，后段是高为0.6 cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为(　　) A．0.25 cm3　　 B．0.65 cm3 C．0.15 cm3　　 D．0.45 cm3 解析：D　设正三棱锥底面正三角形的内切圆半径为r，由等面积法，可得×1×1×sin 60°＝×(1＋1＋1)r，解得r＝. 由三棱锥体积公式与圆柱体积公式可得， 所求体积V＝××1×1×sin 60°×2＋π×()2×0.6≈0.45(cm3)．故选D． 6．(2024·北京师范大学附属中学月考)已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的动点且EF＝1，则三棱锥A -BEF的体积为(　　) A．　　 B． C．　　 D．无法确定 解析：C　如图所示，连接AC与BD交于点O，因为BB1⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD， 所以AO⊥BB1，又AO⊥BD，BD∩BB1＝B， 因此AO⊥平面BDD1B1. VA -BEF＝·S△BEF·AO＝××1×1×＝.故选C． 7．(2024·重庆一中月考)我们把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥．在直角圆锥SO中，点S与底面圆O都在同一个球面上，若球的表面积为4π，则圆锥的侧面积为(　　) A．4π　　 B．4π　 C．π　　 D．π 解析：C　由题意，设直角圆锥SO的底面圆的半径为r， 则直角圆锥SO的高h＝r，又在直角圆锥SO中，点S与底面圆O都在同一个球面上，所以球心为圆锥的底面圆圆心O. 设球的半径为R，则r＝R，又球的表面积为4π，则4πR2＝4π，解得R＝1，即r＝1， 所以圆锥的母线长为 ＝， 所以圆锥的侧面积为π×1×＝π.故选C． 8．(多选)(2023·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为米，则(　　) A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米 C．正四棱锥的侧面积为24平方米 D．正四棱锥的侧面积为12平方米 解析：AC　如图，在正四棱锥S -ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB， 设底面边长为2a米． 因为∠SHO＝30°， 所以OH＝AH＝a米，OS＝a米， SH＝a米． 在Rt△SAH中，a2＋(a)2＝21， 解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S＝×6×2×4＝24(平方米)． 9．如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为________． 解析：根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，其中OA＝2，OD＝4，AB＝CD＝2，则AD＝＝2， 故原平面图形的周长为 2＋2＋2＋2＝4＋4. 答案：4＋4 10．(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． 解析：棱台的两底面边长分别为2与4，高为3，所以棱台的体积V＝×(22＋42＋)×3＝28. 答案：28 11．如图，已知三棱柱ABC -A1B1C1的体积为V，点M，N分别为棱AA1，CC1的中点，则棱锥B -AMNC的体积为________． 解析：如图，连接AN，对于三棱锥B -ACN，B -AMN，显然它们等底同高， 故VB -ACN＝VB -AMN， 而VB -ACN＝VN -ABC， 注意到CN＝C1N， 于是三棱锥N -ABC的高是三棱柱ABC -A1B1C1的一半，且它们都以△ABC为底面， 故VN -ABC＝×V＝V， 故VB -AMNC＝2×V＝V. 答案：V 12．如图，在六面体ABC -FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，GD＝2BC，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC -FEDG的体积为________． 解析：如图，连接AG，AD， 则V六面体ABC -FEDG ＝V四棱锥A -FEDG＋ V四棱锥A -BCDG ＝2V四棱锥A -FEDG， 由题意得，EF＝2，DG＝4，FG＝AF＝2， ∴S梯形FEDG＝×(2＋4)×2＝6， ∴V四棱锥A -FEDG＝×S梯形FEDG×AF＝4， ∴V六面体ABC -FEDG＝8. 答案：8 B级　能力提升练 13．(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　) A．π　　 B．π　 C．3π　　 D．3π 解析：B　设圆锥的母线长为l，半径长为r，则r＝.在△AOB中，由∠AOB＝120°，OA＝OB＝，得AB＝3. S△PAB＝AB· ＝×3× ＝， 所以l＝3，则圆锥的高h＝＝＝， 故V圆锥＝S底·h＝π()2·＝π.故选B． 14．(2024·南通调研)将一个圆形纸片剪成两个扇形(没有多余角料)，将它们分别卷曲粘贴成圆锥形状(重叠部分忽略不计)．若两个扇形的面积比为1∶2，则两圆锥的高度之比为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：C　设圆的半径为r，则两个圆锥的母线长为r.设两个扇形的面积分别为S1，S2，弧长分别为l1，l2. 因为＝＝，又两个扇形的面积比为1∶2，则两个扇形的弧长比也为1∶2. 设卷成的两个圆锥中，小圆锥底面半径为r1，高为h1，大圆锥底面半径为r2，高为h2， 则2πr×＝2πr1，r1＝r， 2πr×＝2πr2，r2＝r， 则h1＝ ＝r，h2＝＝r， 因此两圆锥的高度之比为＝.故选C． 15．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在一正三棱柱中挖去一个圆柱后的剩余部分(圆柱的上、下两底面圆与三棱柱的底面各边相切)，圆柱底面直径为2 cm，高为4 cm.打印所用原料密度为1 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g．(取＝1.73，π＝3.14，精确到0.1) 解析：由题意，正三棱柱底面(等边三角形)如图，有＝且AE＝DC＝，AD＝AC，OE＝，∴＝，则AC＝6，故底面面积S＝×6×6×＝9，∴正三棱柱的体积为V＝Sh＝9×4＝36≈62.3.而圆柱的体积为V′＝πr2h＝12π≈37.7，∴制作该模型所需原料的质量为(V－V′)×1＝24.6(g)． 答案：24.6 16．(2024·淮安阶段检测)如图，一个正三棱锥P -ABC的底面边长为1，高为2，则此三棱锥的体积为________．若一个正三棱柱A1B1C1 -A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在该三棱锥的三条棱上，A0，B0，C0在该三棱锥的底面ABC上，则此三棱柱侧面积的最大值为________． 解析：由三角形面积公式可得 S△ABC＝×1×1×sin 60°＝. 设三棱锥P -ABC的高为h， VP -ABC＝S△ABC·h＝××2＝. 由题意得，三棱锥P -A1B1C1为正三棱锥，设其高为h1，则A1A0＝2－h1. 设A1B1＝x(0＜x＜1)，则C1B1＝C1A1＝x， 由相似知识得，＝，故h1＝2x， 则A1A0＝2－h1＝2－2x. 三棱柱的侧面积 S＝3x(2－2x)＝－6(x－)2＋. 因为0＜x＜1，所以当x＝时， 三棱柱的侧面积取得最大值，最大值为. 答案：　 学科网（北京）股份有限公司 $$