限时规范训练(46) 第6章 培优增分 第7讲 数列中的综合问题（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(四十六) 1．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝24，S10＝120. (1)求Sn； (2)记数列{}的前n项和为Tn，证明：Tn＜. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋， ∴由题意，有 得a1＝3，d＝2. ∴Sn＝3n＋n2－n＝n2＋2n. (2)证明：∵＝＝(－)， ∴Tn＝＋＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]＝(1＋－－)＜(1＋)＝. 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，2Sn－SnSn－1＝1(n≥2)． (1)求S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式(不必写出证明过程)； (2)设bn＝，n∈N*，求bn的最大值． 解：(1)S1＝a1＝， 由2S2－S2·S1＝1， 得S2＝＝， 同理可得S3＝＝，S4＝＝， 所以猜想Sn＝. (2)由(1)知，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 当n＝1时，a1＝＝满足上式，所以an＝， 所以bn＝＝＝，n∈N*， 设f(x)＝x＋(x＞0)， 则有f(x)在(0，)上为减函数， 在(，＋∞)上为增函数， 因为n∈N*，且f(5)＝f(6)＝11， 所以当n＝5或n＝6时，bn有最大值. 3．已知{an}为等比数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在同一列，{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，且a1＝b3－2b1，S7＝7a3. 第一列 第二列 第三列 第一行 1 5 2 第二行 4 3 10 第三行 9 8 20 (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝[lg bn]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg 2]＝0，[lg 98]＝1，求数列{cn}的前100项的和T100. 解：(1)由题意知a1＝2，a2＝4，a3＝8， 所以等比数列{an}的公比q＝2，an＝a1qn－1＝2n. 设等差数列{bn}的公差为d，则2＝b3－2b1＝2d－b1，S7＝＝7b4＝7a3， 所以b4＝8＝b1＋3d，所以b1＝2，d＝2，bn＝2n. (2)因为bn＝2n，所以cn＝[lg(2n)]． 所以T100＝c1＋c2＋…＋c100＝[lg 2]＋[lg 4]＋…＋[lg 8]＋[lg 10]＋…＋[lg 98]＋[lg 100]＋…＋[lg 200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147. 4．记关于x的不等式x2－4nx＋3n2≤0(n∈N*)的整数解的个数为an，数列{bn}的前n项和为Tn，满足4Tn＝3n＋1－an－2. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)设cn＝2bn－λ(－)n，若对任意n∈N*，都有cn＜cn＋1成立，试求实数λ的取值范围． 解：(1)由不等式x2－4nx＋3n2≤0可得，n≤x≤3n，∴an＝2n＋1， Tn＝×3n＋1－n－， 当n＝1时，b1＝T1＝1， 当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝×3n－， ∵b1＝1适合上式，∴bn＝×3n－. (2)由(1)可得，cn＝3n－1＋(－1)n－1λ()n， ∴cn＋1＝3n＋1－1＋(－1)nλ()n＋1， ∵cn＜cn＋1， ∴cn＋1－cn＝2×3n＋(－1)nλ()n＞0， ∴(－1)nλ＞－×2n， 当n为奇数时，λ＜×2n， 由于×2n随着n的增大而增大， 当n＝1时，×2n的最小值为，∴λ＜. 当n为偶数时，λ＞－×2n， 由于－×2n随着n的增大而减小， 当n＝2时，－×2n的最大值为－， ∴λ＞－. 综上可知，－＜λ＜. 5．已知数列{an}满足a2＝2，且nan＋1＝(n＋1)an，数列{bn}各项均为正数，其前n项和Sn满足2S－(n2＋5n－2)Sn－n2－5n＝0. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)令cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn－2n≥. 解：(1)由an＋1＝an，得＝＝…＝＝1，得an＝n.由2S－(n2＋5n－2)Sn－n2－5n＝0，得(2Sn－n2－5n)(Sn＋1)＝0，因为数列{bn}各项均为正数，所以Sn＋1＞0.所以Sn＝，当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝－＝n＋2，因为b1＝S1＝3也符合上式，所以bn＝n＋2. (2)证明：由(1)知cn＝＝＋＝＋＝2＋2(－)，Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝2n＋2×(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝2n＋2(1＋－－)＝3－2(＋)＋2n，则Tn－2n＝3－2(＋)，设f(n)＝Tn－2n＝3－2(＋)，因为f(n＋1)－f(n)＝3－2(＋)－[3－2(＋)]＝2(－)＝＞0，所以f(n)单调递增，故f(n)≥f(1)＝，∴Tn－2n≥. 6．若数列{dn}满足：对∀n∈N*，都有dn＋2－dn＝d(常数)，则称数列{dn}是公差为d的“准等差数列”． (1)数列{an}中，a1＝2，对∀n∈N*，都有an＋an＋1＝2n.求证：数列{an}为“准等差数列”，并求其通项公式an； (2)数列{bn}满足：bn＝2n.将(1)中数列{an}中的项按原有的顺序插入数列{bn}中，使bk与bk＋1之间插入2k项，形成新数列{Cn}．求数列{Cn}前100项和S100. 解：(1)证明：∵an＋an＋1＝2n，∴an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，两式相减得an＋2－an＝2，所以数列{an}为“准等差数列”，∵a1＝2，∴a2＝0，∴{an}的奇数项成以2为首项，2为公差的等差数列，故a2k－1＝2k，k∈N*，{an}的偶数项成以0为首项，2为公差的等差数列，故a2k＝2k－2，k∈N*，综上可得an＝ (2)由题意可知，在数列{Cn}的前100项中，数列{an}一共有94项，其中47项为奇数项，47项为偶数项，数列{bn}一共有6项，∴S100＝b1＋b2＋…＋b6＋a1＋a2＋…＋a94＝＋47×2＋×4＝4544. 学科网（北京）股份有限公司 $$