限时规范训练(44) 第6章 第5讲 数列求和（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(四十四) 1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d， 则 解得a1＝13，d＝－2. 所以{an}的通项公式为 an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n. (2)由(1)得|an|＝ 当n≤7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2， 当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2. 综上，Tn＝ 2．已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2an＋1－3n＋2，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公差为d(d＞0)， 由题意得 即 解得或(舍)， 所以an＝2＋(n－1)·2＝2n. (2)由(1)得，an＝2n，所以bn＝4(n＋1)－3n＋2， 所以Tn＝4×2－33＋4×3－34＋…＋4(n＋1)－3n＋2＝4[2＋3＋…＋(n＋1)]－(33＋34＋…＋3n＋2)＝4n·－＝2n2＋6n＋－. 3．在①S5＝50，②S1，S2，S4成等比数列，③S6＝3(a6＋2)这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题． 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且满足______． (1)求an； (2)若bn－bn－1＝2an(n≥2)，且b1－a1＝1，求数列{}的前n项和Tn. 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)选择条件①②. 由S5＝50，得5a1＋d＝5(a1＋2d)＝50，即a1＋2d＝10.由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1S4，即4a＋4a1d＋d2＝4a＋6a1d，即d＝2a1，解得a1＝2，d＝4，因此an＝4n－2. 选择条件①③.由S5＝50，得5a1＋d＝5(a1＋2d)＝50，即a1＋2d＝10.由S6＝3(a6＋2)，得＝3a1＋3a6＝3a6＋6，即a1＝2，解得d＝4，因此an＝4n－2. 选择条件②③. 由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1S4，即4a＋4a1d＋d2＝4a＋6a1d，则d＝2a1.由S6＝3(a6＋2)，得＝3a1＋3a6＝3a6＋6，即a1＝2，解得d＝4，因此an＝4n－2. (2)由a1＝2，an＝4n－2可得b1＝3，bn－bn－1＝2an＝8n－4.当n≥2时，(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＝(8n－4)＋(8n－12)＋…＋12＝＝4n2－4，即bn－b1＝4n2－4，则bn＝4n2－1.当n＝1时，b1＝3，符合bn＝4n2－1，所以当n∈N*时，bn＝4n2－1，则＝＝(－)，因此Tn＝(－＋－＋…＋－)＝(1－)＝. 4．已知数列{an}，a1＝1，且满足an＋1－2an－1＝0.数列{bn}满足b1＝1，数列{}的前n项和为n2＋n. (1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的通项公式． 解：(1)证明：由an＋1－2an－1＝0，得an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)， 又a1＝1，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝2·2n－1＝2n，从而an＝2n－1. (2)令cn＝＝，由题意知{cn}的前n项和Sn＝n2＋n， 所以cn＝Sn－Sn－1＝2n(n≥2)， 又c1＝S1＝2，所以cn＝2n(n∈N*)， 所以bn＋1－bn＝2n·2n＝n·2n＋1. bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＝(n－1)·2n＋(n－2)·2n－1＋…＋1×22. 设Tn＝(n－1)·2n＋(n－2)·2n－1＋…＋1×22， 则2Tn＝(n－1)·2n＋1＋(n－2)·2n＋…＋1×23， 两式相减得Tn＝(n－1)·2n＋1－(2n＋2n－1＋…＋22)＝(n－2)·2n＋1＋4， 即bn－b1＝(n－2)·2n＋1＋4. 又b1＝1，所以bn＝(n－2)·2n＋1＋5. 5．(2024·宁波模拟)已知数列{an}满足an＋1an－2n2(an＋1－an)＋1＝0，且a1＝1. (1)求出a2，a3的值，猜想数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，且bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由已知得，当n＝1时，a2a1－2(a2－a1)＋1＝0，又a1＝1，代入上式，解得a2＝3，同理可求得a3＝5.猜想an＝2n－1. (2)由(1)可知an＝2n－1，经检验符合题意，所以Sn＝n2， 则bn＝ ＝[1＋] ＝＋(－)， 所以Tn＝[＋(1－)]＋[＋(－)]＋…＋[＋(－)]＝＋(1－)＝. 6．(2023·广西联盟校检测)已知数列{an}和{bn}的项均为正整数，前n项和分别为Sn，Tn，且Sn＝＋n2(n∈N*)． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和． 解：(1)因为{an}和{bn}的项均为正整数，所以前n项和Sn，Tn也是正整数， 又Sn＝＋n2(n∈N*)， 所以(Sn－n2)(2n－Tn)＝1， 所以或 若Sn－n2＝－1，则a1＝S1＝0，与{an}的项均为正整数相矛盾，故不符合题意， 所以Sn＝n2＋1，Tn＝2n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 所以an＝ 同理，bn＝2n－1. (2)记数列{anbn}的前n项和为Cn， 当n＝1时，a1＝2，b1＝1，所以C1＝a1b1＝2. 当n≥2时，Cn＝2×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)·2n－1，① ①×2，得2Cn＝2×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，② ①－②，得－Cn＝4＋8(2n－2－1)－(2n－1)·2n， 化简得Cn＝(2n－3)·2n＋4. 综上，数列{anbn}的前n项和Cn＝(2n－3)·2n＋4. 学科网（北京）股份有限公司 $$