限时规范训练(40) 第6章 第1讲 数列的概念与简单表示法（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(四十) A级　基础落实练 1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列　　 B．递减数列 C．摆动数列　　 D．常数列 解析：A　∵an＋1－an＝－＝＞0，∴an＋1＞an，∴选A． 2．已知数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{an}中的项的是(　　) A．16　　 B．128　 C．32　　 D．64 解析：D　an＋1＝a1···…·＝1×21×22×…×2n＝21＋2＋…＋n＝2，当n＝3时，a4＝26＝64. 3．(2024·莆田质检)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，若a1＝1，且an＋1＝则解下6个环所需的最少移动次数为(　　) A．13　　 B．15　 C．16　　 D．29 解析：B　∵a1＝1，an＋1＝ ∴a2＝a1＋2＝3，a3＝2a2－1＝5，a4＝a3＋2＝7，a5＝2a4－1＝13，a6＝a5＋2＝15. 4．大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．其前11项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为(　　) A．760　　 B．800　 C．840　　 D．924 解析：C　由题意得，大衍数列的奇数项依次为，，，…，易知大衍数列的第41项为＝840. 5．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·()n，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}的最小项是a1 B．数列{an}的最大项是a4 C．数列{an}的最大项是a5 D．当n≥5时，数列{an}递减 解析：BCD　假设第n项为{an}的最大项，则 即 所以又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}递减． 6．(2023·珠海质检)数列{an}满足a1＝1，a2＝2且an＋2＝an＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前40项之和为(　　) A．－170　　 B．80 C．60　　 D．230 解析：C　由an＋2＝an＋(－1)n，n∈N*， 得a2k＋2＝a2k＋1，a2k＋1＝a2k－1－1， 所以a2k＋1＋a2k＋2＝a2k－1＋a2k＝…＝a1＋a2＝3， 所以数列{an}的前40项之和为20(a1＋a2)＝60. 7．数列1，，，，，，，，，，…的第2024项为(　　) A．　　 B．　　　　 C．　　 D． 解析：B　观察可知数列的构成规律为1个1，3个，5个，…，(2n－1)个，…. 注意到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2， 而442＝1936＜2024，452＝2025＞2024， 由此知数列的第2024项为. 8．数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　) A．　　 B．2　　　　 C．　　 D． 解析：C　由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1， 则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝， 则n＝＝－，则＋＋…＋ ＝2×[(1－)＋(－)＋…＋(－)] ＝2×(1－)＝. 9．Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________． 解析：由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，显然当n＝1时，不满足上式．所以数列{an}的通项公式为an＝ 答案：an＝ 10．已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________． 解析：因为2an＋1＋Sn＝2，① 当n≥2时，2an＋Sn－1＝2，② 由①式减②式得an＋1＝an，又当n＝1时，2a2＋S1＝2，得a2＝＝a1，所以数列{an}是以1为首项，公比为的等比数列，an＝. 答案： 11．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝an，则的最大值为________． 解析：∵Sn＝an，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，可化为＝＝1＋，由函数y＝在区间(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2时，取得最大值2.∴的最大值为3. 答案：3 12．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lg n]，记Sn为数列{an}的前n项和，则a2024＝________；S2024＝________． 解析：∵an＝[lg n]， ∴当1≤n≤9时，an＝[lg n]＝0； 当10≤n≤99时，an＝[lg n]＝1； 当100≤n≤999时，an＝[lg n]＝2； 当1000≤n≤9999时，an＝[lg n]＝3. ∴a2024＝[lg 2024]＝3，S2024＝9×0＋90×1＋900×2＋1025×3＝4965. 答案：3　4965 B级　能力提升练 13．(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　　) A．an＝3n　　 B．an＝n2＋1 C．an＝　　 D．an＝ln 解析：CD　对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；对于C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；对于D，若an＝ln，则an＋1－an＝ln－ln＝ln(·)＝ln(1＋)， 由函数y＝ln(1＋)在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}为递减数列，故D正确． 14．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，anan＋2＝4a，则an的最小值为(　　) A．2－12　　 B．2－10　 C．2－5　　 D．2－6 解析：D　∵a1＝1，a2＝，anan＋2＝4a，∴an≠0，＝，∴数列是首项为＝，公比为4的等比数列，∴＝×4n－1＝4n－3.当n≥2时，an＝··…··a1＝4n－4×4n－5×…×4－2×1＝4(n－1)(n－6)，∵n＝1时，4(n－1)(n－6)＝1＝a1，∴an＝4(n－1)(n－6)＝4(n－)2－，n∈N*，∴当n＝3或n＝4时，an取得最小值，最小值为4－3＝2－6. 15．已知数列{an}的通项公式为an＝，当an最大时，n＝________．(≈1.44) 解析：设an是数列{an}的最大项，则所以解得≤n≤.因为≈1.44，所以n的值为3.(也可以通过列举得出{an}的最大项) 答案：3 16．(2024·八省八校联考)数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列可表述为a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)．设该数列的前n项和为Sn，记a2023＝m，则S2021＝________．(用m表示) 解析：由an＝an－1＋an－2得an＝an＋2－an＋1(n∈N*)，即S2021＝a1＋a2＋…＋a2021＝a3－a2＋a4－a3＋…＋a2023－a2022＝a2023－a2＝m－1. 答案：m－1 学科网（北京）股份有限公司 $$