第十二章全等三角形——半角模型讲义 2024-2025学年人教版数学八年级上册

全等三角形——半角模型 2024-2025人教版八年级上册 （三）半角模型 一个角包含着该角的半角（即90°的角包含45°的角，120°的角包含60°的角） 证明思路：①找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转；②证全等；③利用全等得到边角关系。 （1）等腰三角形 已知：∠BAC=2 ，AB=AC,∠DAE=∠BAC= 。 旋转：将△ABD绕点A逆时针旋转2 得到△ACF 结论：①△ABD≌△ACF；△ADE≌△AFE ②∠ECF=180°2 （2）等边三角形 已知：△ABC是等边三角形， ∠BDC=120°，BD=CD，∠EDF=60° 旋转：将△BDE绕点D顺时针旋转120°得到△CDG 结论：①△BDE≌△CDG；△DEF≌△DGF ②EF=BE+FC （3）等腰直角三角形 已知：∠BAC=90°AB=AC，∠DAE=45° 旋转：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF 结论：①△ABD≌△ACF；△ADE≌△AFE ②∠ECF=90° ③DE2=BD2+EC2(由勾股定理易得) （4）“邻边相等，对角互补”的四边形中的半角模型 已知：AB=AD,∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD 辅助线：延长CD至点G,使DG=BE,连接AG 结论：①△ABE≌△ADG；△AEF≌△AGF ②EF=BE+DF （5）正方形 已知：四边形ABCD为正方形，∠EAF=45° 旋转：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG 结论：①△ADF≌△ABG；△AEF≌△AEG； ②EF=BE+DF； ③AE平分∠BEF,AF平分∠EFD. 几组图形中证明思路一致，以正方形为例进行证明。 证法一（作延长线） 延长CB至点G，使BG=DF ∵AB=AD，∠ABG=∠ADC ∴△ADF≌△ABG（SAS） ∴∠DAF=∠BAG，DF=BG ∵∠EAF=45° ∴∠BAE＋∠DAF=90°－45°=45° ∴∠GAE=∠BAE＋∠GAB=45° ∴∠GAE=∠FAE ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴∠AEG=∠AEF，即AE平分∠BEF. ∴∠AFE=∠G=∠AFD，即AF平分∠EFD ∵△AEF≌△AEG ∴GB=DF ∴EF=GE=GB+BE=DF+BE 证法二（旋转） 将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG. 则△ADF≌△ABG ∴∠DAF=∠BAG，∠ABG=∠ADF=90°，DF=BG，AG=AF ∵∠ABG+∠ABE=90°+90°=180°， ∴G、B、E三点共线 （※利用旋转证明时，必须证G、B、E三点共线！） 后续证明与证法一一致。 习题 1．如图，Rt△ABC中AB＝AC，D、E为BC边上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列4个结论：①△ADC≌△AFB；②△ABE≌△ACD；③△AED≌△AEF；④BE+EF＝BC﹣BF．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是（　　） A．a B．2a C．3a D．不能确定 1题 2题 3．在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系． （1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN． （2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？ 答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）． （3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系． 4．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N． （1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由； （2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明． 5．【问题背景】 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　． 【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长 6．阅读下列学习内容： （1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠ABC＝∠D＝90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 探究思路如下：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG． ⇒△ABG≌△ADF⇒ ⇒∠DAF+∠BAE＝60°⇒∠GAB+∠BAE＝60° ∠EAG＝60°⇒⇒△AEF≌△AEG⇒EF＝EG 则由探究结果知，图中线段BE、EF、FD之间的数量关系为 　 　． （2）根据上面的方法，解决问题： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD， 上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN＝45°，若BM＝3，ND＝2，请求出线段MN的长度． 7．（1）如图1，四边形ABCD是边长为5 cm的正方形，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF＝EH，从而得到△DEF的周长＝　 　cm； （2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是线段BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是线段BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且2∠EAF＝∠BAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$