第五单元 圆（知识清单）-2024-2025学年六年级数学上学期期末复习讲练测（人教版）

2024-2025学年六年级数学上册单元复习讲义（人教版） 第四单元圆 （思维架构+知识精讲+习题精练+知识拓展） 知识点01：圆的认识 圆的画法和各部分名称 1.圆是由一条曲线围成的封闭图形，无顶点。 2.连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径， 一般用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。 圆的特征 在同圆或等圆中，直径等于半径的2倍。 考点1：圆的概念与特点 【例1】“圆规”的发明最早可追溯至中国夏朝，《史记•夏本纪》记载大禹治水“左准绳，右规矩”，“规”即圆规。用圆规画圆时，圆规两只脚之间的距离是（    ）。 A．圆的半径 B．圆的直径 C．圆的周长 D．圆心的位置 【答案】A 【分析】根据圆的认识知识可知，用圆规画圆时，圆规两只脚之间的距离是圆的半径，据此解答即可。 【详解】用圆规画圆时，圆规两只脚之间的距离是圆的半径。 故答案为：A 【趁热打铁】我国古代名著《墨经》中有这样的记载：“圆，一中同长也。”这句话中的“一中”指（    ）。 A．圆有无数条半径 B．圆有一个圆心 C．同一个圆中半径相等 【答案】A 【分析】根据题意可知：所画的最大的圆的直径等于长方形的宽，圆规两脚间的距离是圆的半径，根据圆的直径等于半径的2倍，解答即可。 【详解】圆规两脚尖间距离即圆规画出圆的半径：（厘米） 圆规两脚尖间的距离应为4厘米。 故答案为：A 考点2：与圆有关的轴对称图形 【例2】如图中有（    ）条对称轴。 A．1 B．2 C．3 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答。 【详解】如图：，有2条对称轴。 故答案为：B 【趁热打铁】画出如图图形的所有对称轴。 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线就是对称轴。据此作图即可。 【详解】如图： 考点3：画圆 【例3】画一画。 （1）在下图中标出圆心O，并画出这个圆的一条对称轴。 （2）把这个圆向右平移7格，并画出来。 【分析】（1）圆心为圆的中心，到圆上任意一点距离都相同，据此标出圆心O，圆的直径所在的直线即为圆的对称轴，圆的对称轴有无数条，因此答案不唯一，只需要通过圆心连接圆上任意两点画出一条虚线即为圆的对称轴； （2）平移前后图形的形状大小不发生改变，只有位置变了。首先确定平移的方向是向右，再确定平移的距离是7格，先将圆心O点向右平移7格，再以3格为半径画一个圆即可。 【详解】（1） （2） 【趁热打铁】下面的方格图中每个方格的边长表示1cm，请你在方格图中画一个圆。要求：圆心O的位置是（5，4），圆的半径是3cm。 【分析】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 先确定圆心位置，再根据画圆的方法画出半径3cm的圆即可。 【详解】 知识点02：圆的周长 1. 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 2 .圆的周长=直径×圆周率=半径×2×圆周率。如果用字母C 表示圆的周 长，则圆的周长公式是C=πd或C=2πr。 考点4：圆的周长 【例4】如图：四个圆的圆心在一条直线上，已知外圆的直径是30厘米，则图中三个小圆的周长和是多少厘米？（π取3.14） 【答案】94.2厘米 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径；三个小圆的周长＝π×（三个圆的直径和），三个圆的直径等于大圆的直径，所以三个小圆的周长等于外圆的周长，据此解答。 【详解】3.14×30＝94.2（厘米） 答：三个小圆的周长是94.2厘米。 【趁热打铁】把一个圆沿着半径平均分成若干份，然后拼成一个近似的长方形，量得这个长方形的宽是2cm，这个圆的周长是（    ）cm。 A．3.14 B．6.28 C．12.56 D．25.02 【答案】C 【分析】近似长方形的宽是圆的半径，根据圆周长＝2πr求出这个圆的周长。 【详解】2×3.14×2＝12.56（cm） 所以，这个圆的周长是12.56cm。 故答案为：C 考点5：半圆的周长 【例5】把周长是18.84cm的圆片剪成同样大小的两个半圆，每个半圆的周长是（    ）cm。 A．9.42 B．12.42 C．15.42 【答案】C 【分析】由题意知：周长除以2，得圆周长的一半，周长除以3.14，得直径，再把圆周长的一半加直径，就得半圆的周长。 【详解】18.84÷2＋18.84÷3.14 ＝9.42＋6 ＝15.42（厘米） 故答案为：C 【趁热打铁】一个长方形的长是8cm，宽是5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )cm。 【答案】20.56 【分析】如下图，在长8cm、宽5cm的长方形中画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长8cm；根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 这个半圆的周长是20.56cm。 考点6：圆的周长及应用 【例6】如图，有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米？（π取3.14） 【答案】62.8米；62.8米 【分析】蜜蜂沿花坛外周飞时，路线是一个直径为20米的圆的周长，计算飞过的路程直接用C＝πd计算即可； 在花坛中飞“8”字路线时，两个小圆的直径等于大圆的半径，也就是10米，此时它飞过的路程等于两个圆的周长，算出一个小圆的周长再乘2即可。 通过计算我们会发现两次飞过的路程是相等的，我们可以推导出一个结论：若多个小圆的直径之和等于大圆的直径，那么多个小圆的周长之和等于大圆的周长。 【详解】第一次：3.14×20＝62.8（米） 第二次：20÷2＝10（米） 3.14×10×2＝62.8（米） 答：沿着花坛外周飞时，它飞了62.8米；飞一个“8”字时，它也飞了62.8米。 【趁热打铁】松山湖举办了“折叠自行车竞赛”，一辆折叠自行车的车轮半径是2.5分米，通过其中一段1570米长的赛道，车轮要转（    ）周。 A．10 B．100 C．1000 D．2000 【答案】C 【分析】2×π×圆的半径＝圆的周长，赛道长÷圆的周长＝车轮要转的周数，据此代入数据解答。 【详解】3.14×2.5×2 ＝3.14×（2.5×2） ＝3.14×5 ＝15.7（分米） 15.7分米＝1.57米 1570÷1.57＝1000（周） 所以车轮要转1000周。 故答案为：C 考点7：含圆的组合图形的周长 【例7】甲、乙两只蜗牛同时从A地出发，甲爬行外圈的路线，乙爬行里圈的路线（如图所示）。（    ）先到达终点B。 A． 甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 【答案】B 【分析】假设三个小半圆的直径分别是d1、d2、d3，大半圆的直径是D，大半圆直径＝三个小半圆的直径和，根据圆周长的一半＝πd÷2，分别求出两条路线的长度，比较即可。 【详解】如图： 3.14×D÷2 ＝3.14D÷2 ＝1.57D 3.14×d1÷2＋3.14×d2÷2＋3.14×d3÷2 ＝3.14×（d1＋d2＋d3）÷2 ＝3.14×D÷2 ＝3.14D÷2 ＝1.57D 1.57D＝1.57D 由图可知，乙的最后一段路线走的是实线，则乙的路线＜甲的路线，所以乙先到达终点B。 故答案为：B 【趁热打铁】求阴影部分的周长。 【答案】22.28m 【分析】根据图片，阴影部分的周长为长方形的两条长加上该长方形的一条宽，再加上圆周长的一半，圆的周长公式为：C＝πd，该长方形长为6m，宽为4m，该圆直径为4m，将数据代入求值即可。 【详解】由分析可得： 4＋6＋6＋3.14×4÷2 ＝10＋6＋12.56÷2 ＝16＋6.28 ＝22.28（m） 所以阴影部分周长为22.28m。 知识点03：圆的面积 圆的面积的计算公式 圆的面积=圆周率×半径的平方。用S表示圆的面积，r表示半径，圆的面积可用字母表示为：S=πr²。 圆的面积计算公式 计算圆的面积时，可根据已知条件选择相对应的公式。 1 已知r求S,用公式S=πr²。 2. 已知d 求S,用公式 3 . 已 知C 求 S, 用公式 考点8：圆的面积 【例8】如下图，这个长方形的周长是24cm，图中一个圆的半径是( )cm，一个圆的面积是( )cm2。 【答案】 2 12.56 【分析】观察图形可知，长方形的周长相当于圆的6条直径的长度，据此求出1条直径的长度，进而求出一条半径的长度；再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此可求出圆的面积。 【详解】24÷6＝4（cm） 4÷2＝2（cm） 3.14×22＝12.56（cm2） 则一个圆的半径是2cm，一个圆的面积是12.56cm2。 【趁热打铁】一个圆的直径是6厘米，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。如果将这个圆剪成两个半圆，每个半圆的周长是( )厘米。 【答案】 18.84 28.26 15.42 【分析】圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，据此列式计算。 【详解】3.14×6＝18.84（厘米） 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 18.84÷2＋6 ＝9.42＋6 ＝15.42 一个圆的直径是6厘米，这个圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米。如果将这个圆剪成两个半圆，每个半圆的周长是15.42厘米。 考点9：圆的面积的应用 【例9】计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米，圆周率取3.14） 【答案】5.13平方厘米 【分析】阴影部分为不规则图形，面积难以直接计算，我们可以用整体－空白进行计算。 本题用大的半圆面积减去三角形的面积。 【详解】3.14×（6÷2）2÷2 ＝3.14×9÷2 ＝14.13（平方厘米） 6×（6÷2）÷2 ＝6×3÷2 ＝9（平方厘米） 14.13－9＝5.13（平方厘米） 【趁热打铁】如图，在一块面积为25.12平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板。问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】12.56平方厘米 【分析】设小圆的半径是r，则大圆的半径就是2r，小圆的面积＝πr2，大圆的面积＝π（2r）2＝4πr2，也就是大圆的面积是小圆面积的4倍，用大圆面积除以4求出小圆面积，再用大圆面积减去两个小圆面积即可求出余下的纸板面积。 【详解】25.12－25.12÷4×2 ＝25.12－6.28×2 ＝25.12－12.56 ＝12.56（平方厘米） 答：余下的纸板的总面积是12.56平方厘米。 考点10：圆环的面积 【例10】下图中有大小两个正方形，已知阴影部分的面积是5cm2，则圆环的面积是(    )cm2。 A．6.28 B．15.7 C．18.84 D．28.26 【答案】．B 【分析】从图意可知，大正方形的边长＝大圆半径，小正方形边长＝小圆半径，阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积＝R2－r2＝5cm2。圆环的面积：S＝πR2－πr2＝π（R2－r2）。所以用5×3.14即可求出圆环的面积。据此解答。 【详解】根据分析可得： 5×3.14＝15.7（cm2） 圆环的面积是15.7 cm2。 故答案为：B 【点睛】理解大小正方形的面积差就是大小圆的半径平方差，是解题的关键。 【趁热打铁】一种钢管的横截面如下图，它的内圆半径是2厘米，外圆半径是4厘米，它的横截面面积是多少？ 【答案】37.68平方厘米 【分析】观察发现钢管的横截面是个圆环，圆环的面积＝大圆的面积－小圆的面积＝πR2－πr2；计算时可以运用乘法分配律：a×c－b×c＝（a－b）×c，据此解答。 【详解】 ＝ ＝（16－4）×3.14 ＝12×3.14 ＝37.68（平方厘米） 答：它的横截面面积是37.68平方厘米。 考点11：含圆的组合图形的面积 【例11】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】22.26平方厘米 【分析】观察图形，正方形左下角空白部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，阴影部分的面积＝大三角形的面积－正方形左下角空白部分的面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算求解。 【详解】6×6－3.14×62× ＝36－3.14×36× ＝36－28.26 ＝7.74（平方厘米） （6＋4）×6÷2－7.74 ＝10×6÷2－7.74 ＝30－7.74 ＝22.26（平方厘米） 阴影部分的面积是22.26平方厘米。 【趁热打铁】计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】6.435cm2 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】（3＋6）×3÷2 ＝9×3÷2 ＝27÷2 ＝13.5（cm2） 3.14×32× ＝3.14×9× ＝7.065（cm2） 13.5－7.065＝6.435（cm2） 图中阴影部分的面积是6.435cm2。 考点12：用转化法求圆的组合图形的周长和面积 【例12】求图中阴影部分的面积之和。（单位：cm） 【答案】100.48cm2 【分析】观察图形可知，4个直径为8cm的半圆可以组成2个圆；阴影部分的面积＝半径为8cm的圆的面积－2个直径为8cm的圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×82－3.14×（8÷2）2×2 ＝3.14×64－3.14×42×2 ＝200.96－3.14×16×2 ＝200.96－100.48 ＝100.48（cm2） 阴影部分的面积之和是100.48cm2。 【趁热打铁】以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（如图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。 【答案】4.56平方厘米 【分析】 如图：，由此可知，两个半圆的面积和等于三角形的面积加上三角形外的阴影部分面积和三角形里的阴影部分面积，所以用两个半圆的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积。根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2.代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（4÷2）2－4×4÷2 ＝3.14×22－4×4÷2 ＝3.14×4－16÷2 ＝12.56－8 ＝4.56（平方厘米） 答：阴影部分面积是4.56平方厘米。 知识点04：扇形 扇形通常就是我们所说的几分之几圆(如圆心角是90°的扇形，我们就说它圆)。 考点13：弧、圆心角、扇形的认识 【例13】下图的角是圆心角的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】顶点在圆心上且两边是圆的半径的角叫做圆心角，据此分析。 【详解】A．顶点在圆心，是圆心角； B．顶点不在圆心，不是圆心角； C．顶点不在圆心，不是圆心角； 故答案为：A 【趁热打铁】当扇形的圆心角是( )°时，扇形就是一个圆；当扇形的圆心角是180°时，扇形就是一个( )圆。 【答案】 360 半 【分析】由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。一个圆的圆心角是360°，扇形的圆心角决定了扇形的形状和大小，据此解答。 【详解】因为一个圆的圆心角是360°，所以当扇形的圆心角是360°时，扇形的弧长正好构成一个完整的圆。 因为180°是360°的一半，所以当扇形的圆心角是180°时，扇形的弧长正好是圆周长的一半，此时扇形就是一个半圆。 即当扇形的圆心角是360°时，扇形就是一个圆；当扇形的圆心角是180°时，扇形就是一个半圆。 考点14：扇形的周长和面积 【例13】下图（1）是一个半径为3厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转30°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】9.42平方厘米 【分析】从“让A点不动，把整个半圆逆时针转30°”可知，以A为圆心，以线段AB为半径逆时针转30°，可得扇形ABC。阴影部分的面积＝以AC为直径的半圆的面积＋扇形ABC的面积－以AB为直径的半圆的面积，即阴影部分面积＝扇形ABC的面积。 【详解】×3.14×（3×2）2 ＝×3.14×36 ＝9.42（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是9.42平方厘米。 【点睛】明确阴影部分面积就是扇形ABC的面积是解此题的关键。 【趁热打铁】如图中的三个小圆分别以三角形的三个顶点A、B、C为圆心，并且半径都是4厘米。图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？ 【答案】25.12平方厘米 【分析】三个阴影部分的圆心角分别是三角形的三个内角，三角形的内角和是180°，则三个阴影部分的圆心角之和是180°。因为三个小圆的半径都是4厘米，这三个阴影部分合起来就是一个以4厘米为半径的扇形。扇形的面积＝πr2×，据此解答。 【详解】3.14×42× ＝3.14×16× ＝25.12（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积之和是25.12平方厘米。 考点15：画扇形 【例13】画一个直径是4cm的圆，标出圆心O和半径r，再在圆中画一个圆心角是100°的扇形。 【答案】【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形。扇形是圆的一部分。 直径÷2＝半径，据此先画出直径4cm的圆，再以一条半径为边，画一个100°的圆心角，即可画出这个扇形。 【详解】4÷2＝2（cm） 一、选择题 1．一个半径是4分米的半圆，它的周长是（    ）分米。 A．10.56 B．10.28 C．20.56 D．30.56 2．如图，在两个边长相等的正方形内剪圆片，比较剩下的阴影部分，（    ）。 A．甲剩下的多 B．乙剩下的多 C．甲、乙剩下的同样多 D．无法确定 3．把一个周长为12.56cm的圆分成两个半圆后，周长增加了（    ）cm。 A．0 B．4 C．8 D．12.56 4．周长相等的长方形、正方形和圆，面积最小的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．无法确定 5．两个圆的半径分别是3cm和5cm，它们周长的比和面积的比是多少，正确选项是（    ）。 A．3∶5；3∶5 B．3∶5；9∶25 C．9∶25；9∶25 D．18.84∶31.4；28.26∶78.5 二、填空题 6．小明家有一个挂钟，分针长25厘米，时针长20厘米。从3点到9点，分针针尖走了( )厘米，时针扫过的面积是( )平方厘米。 7．在一张长20cm，宽16cm的长方形纸上剪一个最大的圆，这个圆面积是( )cm2（π＝3.14）。 8．在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中，画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 9．御林湾小区门口钟楼上有一个挂钟，分针长40厘米，1小时分针针尖经过的路程是( )厘米，分针走30分钟扫过的面积是( )平方厘米。 10．人们在春节期间贴窗花，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望。下图为一窗花图片，圆的面积是200.96cm2，那么用来裁剪该窗花的最小正方形的周长是( )cm，面积是( )cm2.。 三、判断题 11．π是圆的周长与直径的比值。( ) 12．推导圆的面积计算公式时，把圆转化成近似的长方形后，周长和面积都不变。( ) 13．下面是三个大小相等的正方形，它们涂色部分的面积也相等。( ) 14．半径为r的半圆，它的周长为πr。( ) 15．两个圆的直径比是1∶3，那么它们的面积比是1∶9。( ) 四、计算题 16．求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米，圆周率取3.14） 五、作图题 17．在一个圆内挖去一个平行四边形，请作出一条直线，把剩余部分分成面积相等的两个部分，保留作图痕迹。 六、解答题 18．半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（π取3.14） 19．用塑料绳把4个底面直径为7厘米的啤酒瓶捆扎在一起（如图），捆一圈至少需要多少厘米的绳子？（接头处用20厘米） 20．李佳学习了圆的面积后，学以致用。自己画了一幅图（如下图），四边形是平行四边形，圆的半径是3厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？请你帮李佳算一算。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】半圆的周长由半圆的弧长和一条直径组成，即半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径，根据公式：C＝2πr，d＝2r，代入数据计算即可，据此解答。 【详解】2×3.14×4÷2＝12.56（分米） 2×4＝8（分米） 12.56＋8＝20.56（分米） 即一个半径是4分米的半圆，它的周长是20.56分米。 故答案为：C 2．C 【分析】根据图示可知，甲图2个小圆直径等于正方形的边长，乙图大圆直径等于正方形的边长，即甲图小圆直径等于乙图大圆半径，分别计算出甲图和乙图圆的面积，用正方形的面积减去圆面积即是阴影部分的面积，然后比较大小即可。 【详解】设正方形的边长为4。 甲： ＝ ＝ 乙： ＝ ＝ 所以甲乙两图的阴影部分面积相等。 故答案为：C 3．C 【分析】把圆分成两个半圆后，周长增加了2条直径，圆的直径＝周长÷圆周率，直径×2＝周长增加的长度，据此列式计算。 【详解】12.56÷3.14＝4（cm） 4×2＝8（cm） 周长增加了8cm。 故答案为：C 4．A 【分析】要比较周长相等的正方形、长方形和圆形，谁的面积最大，谁面积最小，可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这三种图形面积的大小。 【详解】假设正方形、长方形和圆形的周长都是16。 则圆的半径为：，面积为：π×＝≈20.38； 正方形的边长为：16÷4＝4，面积为：4×4＝16； 长方形取长为5宽为3，面积为：5×3＝15，当长方形的长和宽最接近时面积也小于16。所以周长相等的正方形、长方形和圆，圆面积最大，长方形面积最小。 故答案为：A 5．B 【分析】圆的周长＝2×圆周率×半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，两数相除又叫两个数的比，据此确定两个圆的半径比，两个圆的半径比＝周长比，前后项分别平方以后的比是面积比，据此分析。 【详解】周长比：3∶5 面积比：32∶52＝9∶25 它们周长的比和面积的比分别是3∶5；9∶25。 故答案为：B 6． 942 628 【分析】分针1小时转1圈，时针12小时转1圈。从题意可知：从3点到9点经过了9－3＝6小时，那么分针要转6圈，根据圆的周长：C＝2πr，用25×2×3.14×（9－3）即可求出分针针尖走了多少厘米；时针转半圈，时针扫过的面积就是圆面积的一半，根据圆的面积：S＝πr2，由202×3.14÷2即可求出时针扫过的面积。据此解答。 【详解】25×2×3.14×（9－3） ＝25×2×3.14×6 ＝942（厘米） 202×3.14÷2 ＝400×3.14÷2 ＝628（平方厘米） 小明家有一个挂钟，分针长25厘米，时针长20厘米。从3点到9点，分针针尖走了942厘米，时针扫过的面积是628平方厘米。 7．200.96 【分析】在长方形纸上剪的最大圆的直径等于长方形的宽，长方形的宽已知，从而可以利用圆的面积公式：S＝，求出这个圆的面积。 【详解】16÷2＝8（cm） 3.14× ＝3.14×64 ＝200.96（cm2） 所以这个圆的面积是200.96。 8． 6 28.26 【分析】以长方形的宽（较短边）为直径的圆是长方形内面积最大的圆，再根据圆的面积＝半径的平方，求出这个圆的面积，据此解答。 【详解】在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中，画一个最大的圆，圆的直径是6厘米； 6÷2＝3（厘米） 3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 所以圆的直径是6厘米。面积是28.26平方厘米。 9． 251.2 2512 【分析】1小时分针转动1圈，分针长度相当于圆的半径，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出1小时分针针尖经过的路程；30分钟分针扫过部分是个半圆，根据半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2，求出分针走30分钟扫过的面积。 【详解】2×3.14×40＝251.2（厘米） 3.14×402÷2 ＝3.14×1600÷2 ＝2512（平方厘米） 1小时分针针尖经过的路程是251.2厘米，分针走30分钟扫过的面积是2512平方厘米。 10． 64 256 【分析】用来裁剪该窗花的最小正方形的边长应等于圆的直径；根据圆的面积＝πr2，代入相应数值计算出圆的半径的平方，进而求出圆的直径，也就是正方形的边长；再利用正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，代入相应数值计算。 【详解】200.96÷3.14＝64（cm2） 8×8＝64（cm2） 正方形的边长：8×2＝16（cm） 正方形的周长：16×4＝64（cm） 正方形的面积：16×16＝256（cm2） 因此用来裁剪该窗花的最小正方形的周长是64cm；面积是256cm2。 11．√ 【分析】两个数相除又叫作两个数的比，用前项除以后项的商就是比值，圆的周长C＝πd据此解答。 【详解】由分析可得：圆的周长与直径的比是π︰1，比值是π，这个比值表示圆周率，本题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查比、圆的周长，解答本题的关键是掌握求比值的计算方法。 12．× 【分析】把圆转化成近似的长方形，面积没有改变，但长方形的长是圆周长的一半，长方形的宽是圆的半径。 【详解】把圆转化成近似的长方形，面积没有改变； 长方形的周长＝圆周长的一半×2＋圆的半径×2 即长方形的周长＝圆的周长＋直径 所以推导圆的面积计算公式时，把圆转化成近似的长方形后，面积没变，周长增加了一个直径的长。 所以原题说法错误。 故答案为：× 13．√ 【分析】第1个图，涂色部分的面积＝正方形面积－圆的面积； 第2个图，通过旋转，空白部分可以拼成1个圆，涂色部分的面积＝正方形面积－圆的面积； 第3个图，通过旋转，空白部分可以拼成1个圆，涂色部分的面积＝正方形面积－圆的面积，据此分析。 【详解】根据分析，3个图中涂色部分的面积都等于正方形面积减去圆的面积，因此它们涂色部分的面积相等，所以原题说法正确。 故答案为：√ 14．× 【分析】周长是指封闭图形一周的长度，据此得出半圆的周长＝圆周长的一半＋直径；圆的周长公式C＝2πr，以及直径d＝2r，据此解答。 【详解】2πr÷2＋2r ＝πr＋2r 半径为r的半圆，它的周长是πr＋2r，原题说法错误。 故答案为：× 15．√ 【分析】两个圆的直径比是1∶3，将两个圆的直径分别看作1和3；根据直径＝半径×2，半径＝直径÷2，分别求出两个圆的半径；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，分别求出两个圆的面积；再根据比的意义，求出两个圆的面积比，再进行比较，即可解答。 【详解】设两个圆的直径分别是1和3。 [π×（1÷2）2]∶[π×（3÷2）2] ＝[π×0.52]∶[π×1.52] ＝0.25π∶2.25π ＝0.25∶2.25 ＝（0.25×100）∶（2.25×100） ＝25∶225 ＝（25÷25）∶（225÷25） ＝1∶9 两个圆的直径比是1∶3，那么它们的面积比是1∶9。 原题干说法正确。 故答案为：√ 16．1平方厘米；2平方厘米 【分析】面对不规则图形，我们可以先把图形进行切割和拼接变成我们熟悉的图形后再计算。 第一幅图，将两部分阴影部分合在一起，可以形成边长为1厘米的正方形，正方形面积＝边长×边长，据此列式计算； 第二幅图，将右边尖角形的阴影部分剪开并旋转拼到左边可以形成一个长2厘米宽（2÷2）厘米的长方形，长方形面积＝长×宽，据此列式计算。 【详解】1×1＝1（平方厘米） 2×（2÷2） ＝2×1 ＝2（平方厘米） 图形阴影部分的面积分别是1平方厘米、2平方厘米。 17．见详解 【分析】平行四边形2条对角线相交的点是平行四边形的中心点，因为经过平行四边形的中心的直线都可以把平行四边形分成面积相等的两部分，又因为经过圆心的直线可以把圆分成面积相等的两部分，所以经过平行四边形的中心和圆心的直线，即可把剩余部分分成面积相等的两部分。 【详解】根据题干分析可得： 【点睛】明确经过图形中心的点可以将图形分成两部分是解答本题的关键，连接平行四边形对角线，找到交点，再把它和圆心连起来，所得直线即为所求。 18．62.8厘米 【分析】根据圆的周长＝2×圆周率×半径，分别计算四个圆的周长，相加即可。 【详解】2×3.14×1＋2×3.14×2＋2×3.14×3＋2×3.14×4 ＝2×3.14×（1＋2＋3＋4） ＝6.28×10 ＝62.8（厘米） 答：四个圆的周长之和是62.8厘米。 19．69.98厘米 【分析】 由图可知：绳子的长度是1个圆的周长加上4个直径以及接头的长度，圆的周长＝πd，代入数据计算即可。 【详解】3.14×7＋4×7＋20 ＝21.98＋28＋20 ＝49.98＋20 ＝69.98（厘米） 答：捆一圈至少需要69.98厘米的绳子。 20．9平方厘米 【分析】连接B、D两点，如图所示： 根据圆的特征，①和②部分的面积相等，所以阴影部分相当于三角形ABD的面积，三角形的底是AD，高是DO，根据三角形的面积＝底×高÷2，进行解答。 【详解】连接B、D两点，如图所示： 阴影部分的面积＝三角形ABD的面积 AD＝BC＝3×2＝6（厘米） OD＝3厘米 6×3÷2＝9（平方厘米） 答：阴影部分面积是9平方厘米。 下图所示的三个正方形的边长都相等，图中涂色部分的面积依次用S1，S2，S3表示，把面积按从大到小排列是（    ）。 A．S1＞S2＞S3 B．S1＞S3＞S2 C．S2＞S1＞S3 D．S3＞S1＞S2 【【分析】已知三个正方形的边长都相等，可以设三个正方形的边长都是2cm。 （1）图中两个完全一样的圆可以组成一个半径是2cm的半圆，空白部分的面积＝半圆的面积－正方形的面积，涂色部分的面积＝正方形的面积－空白部分的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。 （2）图中两个完全一样的半圆可以组成一个直径是2cm的圆，涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。 （3）如下图，把两个小阴影部分移补到箭头所示的空白部分，这样涂色部分就组合成一个等腰直角三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 分别求出三个图形中涂色部分的面积，再比较，即可得出结论。 【详解】设三个正方形的边长都是2cm。 涂色部分的面积： （1）3.14×22÷2－2×2 ＝6.28－4 ＝2.28（cm2） 4－2.28＝1.72（cm2） （2）2×2－3.14×（2÷2）2 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） （3）2×2÷2＝2（cm2） 2＞1.72＞0.86 即S3＞S1＞S2。 故答案为：D 【点睛】本题考查圆的面积、正方形的面积、三角形的面积公式的运用，关键是利用赋值法，分别求出各涂色部分的面积，再比较即可。 2 / 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级数学上册单元复习讲义（人教版） 第四单元圆 （思维架构+知识精讲+习题精练+知识拓展） 知识点01：圆的认识 圆的画法和各部分名称 1.圆是由一条曲线围成的封闭图形，无顶点。 2.连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径， 一般用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。 圆的特征 在同圆或等圆中，直径等于半径的2倍。 考点1：圆的概念与特点 【例1】“圆规”的发明最早可追溯至中国夏朝，《史记•夏本纪》记载大禹治水“左准绳，右规矩”，“规”即圆规。用圆规画圆时，圆规两只脚之间的距离是（    ）。 A．圆的半径 B．圆的直径 C．圆的周长 D．圆心的位置 【趁热打铁】我国古代名著《墨经》中有这样的记载：“圆，一中同长也。”这句话中的“一中”指（    ）。 A．圆有无数条半径 B．圆有一个圆心 C．同一个圆中半径相等 考点2：与圆有关的轴对称图形 【例2】如图中有（    ）条对称轴。 A．1 B．2 C．3 【趁热打铁】画出如图图形的所有对称轴。 考点3：画圆 【例3】画一画。 （1）在下图中标出圆心O，并画出这个圆的一条对称轴。 （2）把这个圆向右平移7格，并画出来。 【趁热打铁】下面的方格图中每个方格的边长表示1cm，请你在方格图中画一个圆。要求：圆心O的位置是（5，4），圆的半径是3cm。 知识点02：圆的周长 1. 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 2 .圆的周长=直径×圆周率=半径×2×圆周率。如果用字母C 表示圆的周 长，则圆的周长公式是C=πd或C=2πr。 考点4：圆的周长 【例4】如图：四个圆的圆心在一条直线上，已知外圆的直径是30厘米，则图中三个小圆的周长和是多少厘米？（π取3.14） 【趁热打铁】把一个圆沿着半径平均分成若干份，然后拼成一个近似的长方形，量得这个长方形的宽是2cm，这个圆的周长是（    ）cm。 A．3.14 B．6.28 C．12.56 D．25.02 考点5：半圆的周长 【例5】把周长是18.84cm的圆片剪成同样大小的两个半圆，每个半圆的周长是（    ）cm。 A．9.42 B．12.42 C．15.42 【趁热打铁】一个长方形的长是8cm，宽是5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )cm。 考点6：圆的周长及应用 【例6】如图，有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米？（π取3.14） 【趁热打铁】松山湖举办了“折叠自行车竞赛”，一辆折叠自行车的车轮半径是2.5分米，通过其中一段1570米长的赛道，车轮要转（    ）周。 A．10 B．100 C．1000 D．2000 考点7：含圆的组合图形的周长 【例7】甲、乙两只蜗牛同时从A地出发，甲爬行外圈的路线，乙爬行里圈的路线（如图所示）。（    ）先到达终点B。 A． 甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 【趁热打铁】求阴影部分的周长。 知识点03：圆的面积 圆的面积的计算公式 圆的面积=圆周率×半径的平方。用S表示圆的面积，r表示半径，圆的面积可用字母表示为：S=πr²。 圆的面积计算公式 计算圆的面积时，可根据已知条件选择相对应的公式。 1 已知r求S,用公式S=πr²。 2. 已知d 求S,用公式 3 . 已 知C 求 S, 用公式 考点8：圆的面积 【例8】如下图，这个长方形的周长是24cm，图中一个圆的半径是( )cm，一个圆的面积是( )cm2。 【趁热打铁】一个圆的直径是6厘米，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。如果将这个圆剪成两个半圆，每个半圆的周长是( )厘米。 考点9：圆的面积的应用 【例9】计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米，圆周率取3.14） 【趁热打铁】如图，在一块面积为25.12平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板。问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（π取3.14） 考点10：圆环的面积 【例10】下图中有大小两个正方形，已知阴影部分的面积是5cm2，则圆环的面积是(    )cm2。 A．6.28 B．15.7 C．18.84 D．28.26 【趁热打铁】一种钢管的横截面如下图，它的内圆半径是2厘米，外圆半径是4厘米，它的横截面面积是多少？ 考点11：含圆的组合图形的面积 【例11】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【趁热打铁】计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm） 考点12：用转化法求圆的组合图形的周长和面积 【例12】求图中阴影部分的面积之和。（单位：cm） 【趁热打铁】以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（如图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。 知识点04：扇形 扇形通常就是我们所说的几分之几圆(如圆心角是90°的扇形，我们就说它圆)。 考点13：弧、圆心角、扇形的认识 【例13】下图的角是圆心角的是（    ）。 A． B． C． 【趁热打铁】当扇形的圆心角是( )°时，扇形就是一个圆；当扇形的圆心角是180°时，扇形就是一个( )圆。 考点14：扇形的周长和面积 【例13】下图（1）是一个半径为3厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转30°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【趁热打铁】如图中的三个小圆分别以三角形的三个顶点A、B、C为圆心，并且半径都是4厘米。图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？ 考点15：画扇形 【例13】画一个直径是4cm的圆，标出圆心O和半径r，再在圆中画一个圆心角是100°的扇形。 一、选择题 1．一个半径是4分米的半圆，它的周长是（    ）分米。 A．10.56 B．10.28 C．20.56 D．30.56 2．如图，在两个边长相等的正方形内剪圆片，比较剩下的阴影部分，（    ）。 A．甲剩下的多 B．乙剩下的多 C．甲、乙剩下的同样多 D．无法确定 3．把一个周长为12.56cm的圆分成两个半圆后，周长增加了（    ）cm。 A．0 B．4 C．8 D．12.56 4．周长相等的长方形、正方形和圆，面积最小的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．无法确定 5．两个圆的半径分别是3cm和5cm，它们周长的比和面积的比是多少，正确选项是（    ）。 A．3∶5；3∶5 B．3∶5；9∶25 C．9∶25；9∶25 D．18.84∶31.4；28.26∶78.5 二、填空题 6．小明家有一个挂钟，分针长25厘米，时针长20厘米。从3点到9点，分针针尖走了( )厘米，时针扫过的面积是( )平方厘米。 7．在一张长20cm，宽16cm的长方形纸上剪一个最大的圆，这个圆面积是( )cm2（π＝3.14）。 8．在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中，画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 9．御林湾小区门口钟楼上有一个挂钟，分针长40厘米，1小时分针针尖经过的路程是( )厘米，分针走30分钟扫过的面积是( )平方厘米。 10．人们在春节期间贴窗花，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望。下图为一窗花图片，圆的面积是200.96cm2，那么用来裁剪该窗花的最小正方形的周长是( )cm，面积是( )cm2.。 三、判断题 11．π是圆的周长与直径的比值。( ) 12．推导圆的面积计算公式时，把圆转化成近似的长方形后，周长和面积都不变。( ) 13．下面是三个大小相等的正方形，它们涂色部分的面积也相等。( ) 14．半径为r的半圆，它的周长为πr。( ) 15．两个圆的直径比是1∶3，那么它们的面积比是1∶9。( ) 四、计算题 16．求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米，圆周率取3.14） 五、作图题 17．在一个圆内挖去一个平行四边形，请作出一条直线，把剩余部分分成面积相等的两个部分，保留作图痕迹。 六、解答题 18．半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（π取3.14） 19．用塑料绳把4个底面直径为7厘米的啤酒瓶捆扎在一起（如图），捆一圈至少需要多少厘米的绳子？（接头处用20厘米） 20．李佳学习了圆的面积后，学以致用。自己画了一幅图（如下图），四边形是平行四边形，圆的半径是3厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？请你帮李佳算一算。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 下图所示的三个正方形的边长都相等，图中涂色部分的面积依次用S1，S2，S3表示，把面积按从大到小排列是（    ）。 A．S1＞S2＞S3 B．S1＞S3＞S2 C．S2＞S1＞S3 D．S3＞S1＞S2 2 / 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$