第1章 有理数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（湘教版2024）

第一章有理数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1．有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点3．相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点4．绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点5.倒数 乘积是1的两个数互为倒数． 要点归纳：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 知识点6.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点7.有理数运算法则 （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点归纳：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 知识点8.有理数运算律 （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点9.科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 考点1：七个概念 概念1：正数和负数 【例题1】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）在下列数，，，0，，中，属于负数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（23-24七年级上·广东湛江·期末）下列各数中，是负数的是（　　） A． B．0 C．6 D． 【变式2】（22-23七年级上·全国·课后作业）观察下面一列数，根据规律写出横线上的数． ，，，， ， ，，第个数是 ． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：    (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 概念2：有理数 【例题1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在，，，，，中，有理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）在，0，,，2023，，0.26，11.3中，非负整数有 个． 【变式3】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各数填在相应集合中：，0，，，，． 分数集合：{______...}； 负整数集合：{______...}； 非负数集合：{______...} 概念3：数轴 【例题3】（22-23七年级上·浙江湖州·期中）下面的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数有（    ）个． A． B． C．9 D．8 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图，以数轴上1个单位长度为直径的圆，从原点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达A点，则点A表示的数是 ． 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，正三角形的边长为1，点与原点重合，现将正三角形向右翻转2023次，求点在数轴上对应的数字． 概念4：相反数 【例题4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）24的相反数是（　　） A． B． C． D．24 【变式1】（21-22七年级上·广东汕头·期中）下列各式的化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·广东湛江·期中）若a与互为相反数，则a 的值 ． 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数． 概念5：绝对值 【例题5】（24-25七年级上·全国·课前预习）的绝对值是（ ） A．2024 B． C． D． 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，则（   ） A． B． C．0 D．或 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）一个数的绝对值等于，则这个数是 ． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）写出下列各数的绝对值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）3 概念6：倒数 【例题6】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）的倒数是（　　） A．3 B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 【变式2】（23-24七年级上·云南德宏·期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是0，则的值为 ． 【变式3】（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知有理数，，，，，其中，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为2，求的值． 概念7：科学记数法 【例题7】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）目前全球疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约个，数据用科学记数法表示是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级上·浙江温州·期末）位于苍南县马站镇的三澳核电站，一期工程投资约39300000000元，其中数据39300000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）36 000 000用科学记数法表示应为 ；的原数是 【变式3】（23-24七年级上·广东清远·期中）某书店新进了一批图书，图画书、故事书两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本故事书和本图画种书，共付款元． (1)用含，的代数式表示； (2)若共购进本图画书及本故事书，用科学记数法表示的值． 考点2：一种运算——有理数的运算 【例题8】（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列加减计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）按如图所示程序运算，当输出值最小时，输入值在至之间的所有可取整数为 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 考点3：一个应用——有理数运算的应用 【例题9】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）某地某天的最高气温是，最低气温是，则该地这一天的温差是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的（    ）． A．24.70千克 B．25.30千克 C．24.80千克 D．25.51千克 【变式2】（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）死海：西亚著名大盐湖，湖面海拔高度，我国最大的咸水湖是位于我国西部的青海湖，湖面海拔高度为，这两个咸水湖的湖面高度相差 【变式3】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）一艘货船加满油沿东西方向的河流运送货物，早晨从甲地出发，向东记为正方向，当天的航行路程（单位：千米）记录如下：，，，，，，，． (1)晚上送完最后一批货物后，货船在甲地的什么方向？到甲地多远？ (2)若货船每千米耗油0.7升，油箱容量为30升，求货船当天运送货物过程中至少还需补充多少升油？ 考点4：六种运算技巧 技巧1：准确运用运算律 【例题10】（23-24七年级上·山西吕梁·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 技巧2：逆用运算律 【例题11】（2024七年级上·全国·专题练习）计算 【变式1】（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）用简便方法计算：． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）计算：． 【变式3】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 技巧3：先化为倒数，再用运算律 【例题12】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算 ． 【变式1】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）计算： 【变式2】（23-24七年级上·陕西渭南·阶段练习）用简便方法计算：． 【变式3】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 技巧4：借数凑整法 【例题13】（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 【变式1】（22-23六年级·上海·假期作业） 【变式2】（22-23六年级·上海·假期作业）看谁的方法最巧呢？ 【变式3】（22-23六年级·上海·假期作业）同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲！ 也当一次小老师！ (1) (2) 技巧5：巧妙组合法 【例题14】（23-24七年级上·广东东莞·期中）计算：的值． 【变式1】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）计算 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：． 【变式3】（22-23六年级·上海·假期作业）计算： (1) (2) 技巧6：裂项相消法 【例题15】（2023七年级上·全国·专题练习）（1）　　，　　，　　，…，　　． （2）可得　 　． （3）利用上述规律计算：． 【变式1】（22-23七年级上·广东深圳·期中）【阅读材料】问题：如何计算呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算． 他们的解法如下： 解：原式=． 根据材料，请你完成下列计算： (1)计算：； (2)直接写出结果：=___________； (3)计算：． 【变式2】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）先阅读并填空，再解答问题． 我们知道， (1)仿写：__________，__________，__________． (2)直接写出结果：__________． 利用上述式子中的规律计算： (3)； (4)． 【变式3】（七年级上·云南昭通·期中）观察下列各式：，， （1）猜想： （2）你发现的规律是： ；（n 为正整数） （3）用规律计算： . 考点5：四种思想 思想1：数形结合思想 【例题16】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】（23-24七年级上·山西阳泉·期末）如图为，，，四点在数轴上的位置图，其中为原点，且，，若点所表示的数为，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆周上4等分点处分别标上数字0、1、2、3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示数的点对应圆周上的数字是 ． 【变式3】（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数： ，，，6，0．    思想2：转化思想 【例题17】（22-23七年级上·山东济宁·期中）下列各式与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23六年级上·山东威海·期末）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) 思想3：分类讨论思想 【例题18】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作” 例如，，……则所有“绝对操作”共有（    ）种不同运算结果 A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1】（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）符合要求的不同的值共有（　　）个 A．10 B．7 C．4 D．3 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）在数轴上表示数的点到原点的距离为4，则 ． 【变式3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数、、10，若动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．    (1)点B、C之间的距离 ；用含t的代数式表示P点对应的数∶ ；用含t的代数式表示点P和点C的距离： ； (2)当点P运动到线段中点时，求t的值； (3)在运动过程中，当t为何值时，点P到点B的距离与点P到点C的距离之和为28． 思想4：从一般到特殊 【例题19】（22-23六年级上·山东济宁·期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（21-22七年级·全国·假期作业）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　） A．253 B．255 C．257 D．259 【变式2】（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列各式：，根据规律解答下列各题． (1)__________________； (2)计算：． 一、单选题 1．（2024·江苏常州·中考真题）的绝对值是（　　） A． B． C．2024 D． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）地球与月球的平均距离大约为，数据384000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）4的倒数是（    ） A． B． C．2 D． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）的相反数是（    ） A．5 B． C． D． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．（2022·湖北襄阳·中考真题）如果温度上升，记作，那么温度下降记作（     ） A． B． C． D． 7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 8．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 ． 9．（2022·江苏泰州·中考真题）若，则的值为 . 10．（2023·江苏无锡·中考真题）废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会污染水．数据用科学记数法可表示 ． 三、解答题 11．（2024·广西·中考真题）计算： 12．（2022·广西·中考真题）计算：． 13．（2020·湖北宜昌·中考真题）在“-”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入中的□，并计算． 一、单选题 1．（23-24七年级上·江苏南通·期中）下列有关“”的叙述中，错误的是( ) A．不是正数，也不是负数 B．不是有理数，是整数 C．是整数，也是有理数 D．不是负数，是有理数 2．（22-23七年级上·四川凉山·期末）的相反数是（　　） A． B． C．8 D． 3．（23-24七年级上·西藏林芝·开学考试）体育老师对六年级学生进行了仰卧起坐测试．以每分钟个为达标，记作．小明的成绩记作，则他仰卧起坐的个数是（     ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·河南信阳·期末）既是分数又是正数的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·云南德宏·期末）史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生产和生活中．在农业生产中，如果增产记为，那么减产记作（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级上·山东济宁·期中）冰箱冷藏室的温度零上记作，保鲜室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）在0，，3，，中，负数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24七年级上·重庆大足·期中）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．2与 B．与1 C．与 D．2与 9．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）某同学在做数学作业时，不小心将墨水酒在所画的数轴上，如图所示，被墨水污染的所有整数有（    ）    A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 10．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）数，，2，中，为负整数的是 ． 12．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各数：，1，，0，，，，，是非负整数有 ；负分数有 ． 13．（23-24七年级上·吉林·期末）若为负数，且，写出一个符合条件的的值为 ． 14．（23-24七年级上·福建福州·期末）设与互为相反数，则 ． 15．（20-21七年级上·湖北武汉·阶段练习）比较大小（填写“＞”或“＜”）： －2 －3 ； ； 16．（23-24七年级上·浙江温州·期中）老师在课上出了一道有关绝对值的计算题：，若该题的计算结果为，则“”处的数为 ． 17．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 18．（22-23七年级上·江西上饶·期中）若，则 ． 三、解答题 19．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习） （1）； （2）． 20．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 21．（2023七年级上·全国·专题练习）利用运算律计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 23．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，，回答下列问题：    (1)将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (2)将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (3)移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗，你有几种移动方法，请写出来． 24．（22-23七年级上·四川阿坝·期末）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______． (2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？ 25．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 26．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)说出a，b的正负性； (2)在数轴上分别用M，N表示两点； (3)若b与表示的数相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (4)在（3）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度，则a与表示的分别是什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章有理数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1．有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点3．相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点4．绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点5.倒数 乘积是1的两个数互为倒数． 要点归纳：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 知识点6.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点7.有理数运算法则 （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点归纳：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 知识点8.有理数运算律 （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点9.科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 考点1：七个概念 概念1：正数和负数 【例题1】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）在下列数，，，0，，中，属于负数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查负数的识别，有理数概念和分类．根据题意逐一对数字进行识别即可得到本题答案． 【详解】解：负数：，，即负数有2个， 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·广东湛江·期末）下列各数中，是负数的是（　　） A． B．0 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了负数的定义，以及绝对值意义，根据负数的定义，以及绝对值意义解题即可． 【详解】解：A．是负数，故选项符合题意； B．0既不是正数，也不是负数，故选项不符合题意； C．6是正数，故选项不符合题意； D．，7是正数，故选项不符合题意； 故选：A 【变式2】（22-23七年级上·全国·课后作业）观察下面一列数，根据规律写出横线上的数． ，，，， ， ，，第个数是 ． 【答案】 【分析】通过观察可发现，分子都是1，分母是从1开始的连续自然数，并且第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，然后依次写出即可． 【详解】解：， 第2022个数是， 故答案为：，，． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，注意从分子、分母和正负情况考虑即可，是基础题． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：    (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)在处的数是正数 (2)负数排在和的位置 (3)排在的位置 【分析】（1）由图可知，向下的箭头的上方的数为负数，下方的数为正数，向上的箭头的下方的数是负数，上方的数为正数，即可得出结论； （2）由（1）的规律即可得出结论； （3）由图可知，每4个为一组，利用，确定的位置即可； 【详解】（1）解：由图可知，向下的箭头的上方的数为负数，下方的数为正数，向上的箭头的下方的数是负数，上方的数为正数， ∴在处的数是正数； （2）由（1）中规律可知：负数排在和的位置； （3）因为，所以第2024个数是正数，排在的位置． 【点睛】本题考查有理数的规律探究，解题的关键是根据已知数据抽象概括出相应的数字规律 概念2：有理数 【例题1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在，，，，，中，有理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数的定义解答即可，熟练掌握有理数的定义是解题的关键，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 【详解】解：，，，是有理数，共个， 故选： 【变式1】（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 【答案】A 【分析】本意考查有理数的分类，解决本题的关键是熟记概念，注意0的划分范围．按照正负，有理数分为正有理数、0、负有理数；按照整数分数，有理数分为整数、分数；逐一分析选项作答即可． 【详解】解：A．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意； B．正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误，故本选项不符合题意； C．零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本选项不符合题意； D．一个有理数不是整数就是分数，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）在，0，,，2023，，0.26，11.3中，非负整数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．非负整数包括正整数和0，据此即可求得答案． 【详解】解：，0，2023是非负整数，共3个， 故答案为：3 【变式3】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各数填在相应集合中：，0，，，，． 分数集合：{______...}； 负整数集合：{______...}； 非负数集合：{______...} 【答案】，，；，；，0，， 【分析】此题考查的是有理数，掌握分数、负整数、非负数的概念是解决此题关键．直接根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】解；分数集合：{，，，...}； 负整数集合：{，，...}； 非负数集合：{，0，，，..} 故答案为：，，；，；，0，， 概念3：数轴 【例题3】（22-23七年级上·浙江湖州·期中）下面的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数有（    ）个． A． B． C．9 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴是解题的关键． 根据在数轴上表示有理数进行作答即可． 【详解】解：由数轴可知，被盖住的整数有，共9个， 故选：C 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴的概念，熟练掌握数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，是解题的关键． 根据数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，逐一判断选项，即可． 【详解】A中的没有单位长度，错误； B中没有正方向，错误； C中满足原点，正方向，单位长度，正确； D中没有原点，错误． 故选C． 【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图，以数轴上1个单位长度为直径的圆，从原点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达A点，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知，再根据数轴的特点及的值即可解答． 【详解】由题意得：相当于向左移动了个单位长度， ∴A点表示的数为， 故答案为： 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，正三角形的边长为1，点与原点重合，现将正三角形向右翻转2023次，求点在数轴上对应的数字． 【答案】2023 【分析】本题考查的是数轴，由题意得，正三角形向右翻转的一个周期为3，且翻转一次后B落在1处，由此规律进行解答即可． 【详解】解：由题意得，翻转1次，B落在1，翻转2次，A落在2，翻转3次，C落在3，周期为3， 且翻转一次后B落在1处， 正三角形向右翻转2023次，此时落在数轴上，对应的数字为 概念4：相反数 【例题4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）24的相反数是（　　） A． B． C． D．24 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数是解答此题的关键． 相反数：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数． 【详解】解：24的相反数是． 故选：A 【变式1】（21-22七年级上·广东汕头·期中）下列各式的化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据多重符号的化简方法化简即可． 【详解】解∶A．，原化简错误，不符合题意； B．，原化简正确，符合题意； C．，原化简错误，不符合题意； D．，原化简错误，不符合题意； 故选∶B 【变式2】（22-23七年级上·广东湛江·期中）若a与互为相反数，则a 的值 ． 【答案】1 【分析】此题考查了相反数的性质， 根据互为相反数的两个数的性质，可列方程求出a的值， 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为：1 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数． 【答案】点B，C所表示的数是和5或和11 【分析】本题考查相反数、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据题意可以得到点C表示的数，由点B，C表示互为相反数的两个数，可以得到点B表示的数，本题得以解决． 【详解】解：∵点A表示数8，点C和点A之间的距离为3， ∴点C表示的数是或， ∵点B，C表示互为相反数的两个数， ∴点B表示的数是或， 由上可得，点B，C所表示的数是和5或和11 概念5：绝对值 【例题5】（24-25七年级上·全国·课前预习）的绝对值是（ ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024， 故选：A 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，则（   ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，根据，可得，即可求解． 【详解】解：，， ， ． 故本题选：D 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）一个数的绝对值等于，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：一个数的绝对值等于， 这个数是， 故答案为：． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）写出下列各数的绝对值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）3 【答案】（1）1.5；（2）；（3）6；（4）；（5）3 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质分别进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解： 概念6：倒数 【例题6】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）的倒数是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】∵ ∴的倒数是， 故选：A 【变式1】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是相反数的含义，倒数的含义，掌握“相反数与倒数的定义”是解本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，仅仅只有符号不同的两个数互为倒数，根据定义作答即可． 【详解】解：一个数的相反数是，则这个数是，即， ， 的倒数是2， 故答案为：2 【变式2】（23-24七年级上·云南德宏·期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及相反数和倒数的定义，绝对值的性质． 由题意可知：，，，然后分别代入原式即可． 【详解】解：由题意可知：，，， ， 原式， 当时， 原式， 故答案为： 【变式3】（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知有理数，，，，，其中，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为2，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查代数式求值，涉及倒数定义与性质、相反数定义与性质、绝对值定义与性质，根据题意，由倒数定义与性质、相反数定义与性质、绝对值定义与性质得到、及，再分类讨论，代值求解即可得到答案，熟记倒数定义与性质、相反数定义与性质、绝对值定义与性质是解决问题的关键． 【详解】解：、互为倒数， ， 、互为相反数， ， 的绝对值为2， ， 当时，； 当时， 概念7：科学记数法 【例题7】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）目前全球疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约个，数据用科学记数法表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选：C 【变式1】（22-23七年级上·浙江温州·期末）位于苍南县马站镇的三澳核电站，一期工程投资约39300000000元，其中数据39300000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．当确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数绝对值小于1时，n是负整数．据此即可解答． 【详解】解：． 故选：B 【变式2】（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）36 000 000用科学记数法表示应为 ；的原数是 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，以及将用科学记数法表示的数变回原数，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）． 【详解】解：36 000 000用科学记数法表示应为， 的原数是， 故答案为：， 【变式3】（23-24七年级上·广东清远·期中）某书店新进了一批图书，图画书、故事书两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本故事书和本图画种书，共付款元． (1)用含，的代数式表示； (2)若共购进本图画书及本故事书，用科学记数法表示的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，以及求代数式的值： （1）根据付款的总钱数等于两种书的钱数之和，即可求解； （2）把代入（1）中代数式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：用含，的代数式表示为； （2）解： 考点2：一种运算——有理数的运算 【例题8】（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列加减计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法和减法运算，根据相关法则逐一计算即可． 【详解】解：A、，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：A 【变式1】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）按如图所示程序运算，当输出值最小时，输入值在至之间的所有可取整数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，代数式的求值与程序框图的含义，理解题意是解本题的关键．大于的自然数从开始，从输出数值为，等依次分析可得答案． 【详解】解：若最小为，①输入为，不在至之间，舍去 ②输入为，不合题意，舍去； 若最小为，①输入为，不在至之间，舍去 ②输入为，可行 ③9可以由除以得到，故可行 综上，最后结果为，； 故答案为：或 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查有理数混合运算： （1）运用加法交换律、加法结合律，先凑整数，再进行加法计算； （2）运用乘法分配律计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题． （2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： 考点3：一个应用——有理数运算的应用 【例题9】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）某地某天的最高气温是，最低气温是，则该地这一天的温差是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．用最高温度减去最低温度，然后根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：这一天的温差为：， 故选： 【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的（    ）． A．24.70千克 B．25.30千克 C．24.80千克 D．25.51千克 【答案】C 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题的关键． 根据的意义，进而求出符合题意的答案． 【详解】解：一袋面粉的质量标识为“千克”， 一袋面粉质量合格的范围是：， 故在这个范围内， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）死海：西亚著名大盐湖，湖面海拔高度，我国最大的咸水湖是位于我国西部的青海湖，湖面海拔高度为，这两个咸水湖的湖面高度相差 【答案】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，掌握有理数减法运算法则是解题关键．用青海湖的海拔高度减去四海的海拔高度求解即可． 【详解】解：， 即这两个咸水湖的湖面高度相差， 故答案为： 【变式3】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）一艘货船加满油沿东西方向的河流运送货物，早晨从甲地出发，向东记为正方向，当天的航行路程（单位：千米）记录如下：，，，，，，，． (1)晚上送完最后一批货物后，货船在甲地的什么方向？到甲地多远？ (2)若货船每千米耗油0.7升，油箱容量为30升，求货船当天运送货物过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)货船在甲地的正东方向，距离甲地9千米 (2)升 【分析】题目主要考查正负数的意义，有理数的加减运算及乘法运算的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接将航行路程相加即可得出结果； （2）根据题意将所有的航行路程的绝对值相加，然后利用有理数的乘法运算求解即可． 【详解】（1）解： （千米） 答：货船在甲地的正东方向，距离甲地9千米； （2）解：货船当天航行总路程为 （千米）， （升）， 答：货船当天送货过程中至少还需补充19.7升油 考点4：六种运算技巧 技巧1：准确运用运算律 【例题10】（23-24七年级上·山西吕梁·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法运算律逐一判断即可． 【详解】解：，利用的加括号法则，故选项A不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，利用的是加法的交换律，故选项C符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数加法运算法则及交换律与结合律进行简便计算，即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，利用乘法运算律计算即可． 【详解】解： 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用有理数加法运算律计算即可； （2）先利用乘法分配律，然后在进行加减计算即可； 本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， 技巧2：逆用运算律 【例题11】（2024七年级上·全国·专题练习）计算 【答案】 【分析】本题考查了有有理数的乘法运算： 逆用有理数的乘法运算律即可求解； 【详解】解：原式 【变式1】（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据乘法分配律计算即可． 【详解】原式 【变式2】（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数乘法分配律计算本题即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练应用乘法分配律． 【变式3】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和乘法运算律， （1）先将原式进行变形，再利用乘法分配律的逆用进行运算即可； （2）先将原式进行变形，再利用乘法分配律进行运算即可； 熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 技巧3：先化为倒数，再用运算律 【例题12】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算 ． 【答案】 【详解】原式． 【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键 【变式1】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】先将除法变形为乘法，再利用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·陕西渭南·阶段练习）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键 【变式3】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配率进行有理数的运算等知识． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配率进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据倒数的定义，若若，则． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：因为， 所以． 故答案为： 技巧4：借数凑整法 【例题13】（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 【变式1】（22-23六年级·上海·假期作业） 【答案】222185 【分析】利用数字的拆分，将每个加数都拆成两个数的差，再利用加法交换律与结合律进行简便计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数加法的简便计算，解题关键是发现规律，找出简便计算的方法 【变式2】（22-23六年级·上海·假期作业）看谁的方法最巧呢？ 【答案】 【分析】根据加法结合律和交换律，计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了简便运算，解本题的关键在熟练掌握加法交换律和加法结合律． 【变式3】（22-23六年级·上海·假期作业）同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲！ 也当一次小老师！ (1) (2) 【答案】(1) (2)1301 【详解】（1）解：原式              ； （2）解：原式 ； 【点睛】本题考查有理数加减混合运算的简便运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算的法则． 技巧5：巧妙组合法 【例题14】（23-24七年级上·广东东莞·期中）计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查有理数加减的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为，共有组，由此可解，正确分组是解题的关键． 【详解】解： 【变式1】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）计算 【答案】 【分析】从第1个数开始，每两个数分为一组，共50组，每组的两个数和为，由此可解． 【详解】解： 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算及简便算法，解题的关键是注意符号 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】利用加法的交换律和结合律简便计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，灵活运用加法的交换律和结合律是解题的关键 【变式3】（22-23六年级·上海·假期作业）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】根据有理数加减法则直接计算即可得到答案； 根据有理数加减法则直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 【点睛】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握法则及运用交换律结合律简便计算． 技巧6：裂项相消法 【例题15】（2023七年级上·全国·专题练习）（1）　　，　　，　　，…，　　． （2）可得　 　． （3）利用上述规律计算：． 【答案】（1），，，；（2）；（3） 【分析】（1）利用有理数的减法计算求解； （2）利用有理数的减法进行通分计算求解； （3）逆用（2）的结论，进行拆项计算． 【详解】解：（1）， ， ， …， ， 故答案为：，，，； （2）， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，拆项法是解题的关键 【变式1】（22-23七年级上·广东深圳·期中）【阅读材料】问题：如何计算呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算． 他们的解法如下： 解：原式=． 根据材料，请你完成下列计算： (1)计算：； (2)直接写出结果：=___________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题干提供的计算方式将原式裂项，再两两抵消计算可得； （2）将算式裂项相消可得答案； （3）利用相同的方法裂项计算可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及裂项求和的计算方法与依据 【变式2】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）先阅读并填空，再解答问题． 我们知道， (1)仿写：__________，__________，__________． (2)直接写出结果：__________． 利用上述式子中的规律计算： (3)； (4)． 【答案】(1)，，； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据题中给出的等式即可求解； （）根据题中给出的等式即可求解； （）根据题中给出的等式即可求解； （）根据题中给出的等式，然后提出，即可求解． 【详解】（1）根据，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）原式， ， ， 故答案为：； （3）原式， ， ， ； （4）原式， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，寻找数字变化的规律，准确发现规律并能熟练应用是解题的关键 【变式3】（七年级上·云南昭通·期中）观察下列各式：，， （1）猜想： （2）你发现的规律是： ；（n 为正整数） （3）用规律计算： . 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）观察题中规律得出答案即可 （2）根据题中规律进行总结即可 （3）根据（2）总结的式子将原式展开进行计算即可 【详解】（1） （2） （3）=== 【点睛】本题主要考查了有理数运算中的归纳总结问题，细读题目找到规律是解题关键 考点5：四种思想 思想1：数形结合思想 【例题16】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，根据题意可得，翻转后数轴上点1，2，3，4，5，6对应的点，根据，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：翻转后数轴上点1对应的是， 数轴上点2对应的是， 数轴上点3对应的是， 数轴上点4对应的是， 数轴上点5对应的是， 数轴上点6对应的是， ， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是． 故本题选：B 【变式1】（23-24七年级上·山西阳泉·期末）如图为，，，四点在数轴上的位置图，其中为原点，且，，若点所表示的数为，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，首先表示所表示的数，再根据为原点，可得表示的数和表示的数是互为相反数，进而可得答案．解题的关键是正确表示出点所表示的数． 【详解】解：∵，点所表示的数为， ∴点表示的数为， ∵为原点，， ∴点所表示的数为． 故选：A． 【变式2】（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆周上4等分点处分别标上数字0、1、2、3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示数的点对应圆周上的数字是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了找到表示数的点与圆周上起点处表示的数字重合，是解题的关键． 由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合． 【详解】解：∵， ， ∴数轴上表示数的点与圆周上表示的数字2重合，即与2重合． 故答案为：2． 【变式3】（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数： ，，，6，0．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，根据数轴的定义：有原点，正方向和单位长度的一条直线是数轴，即可补充数轴并依次将各数表示在数轴上． 【详解】解：如图所示，即为所求： 思想2：转化思想 【例题17】（22-23七年级上·山东济宁·期中）下列各式与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号法则，分别化简各选项即可判断得解． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】（22-23六年级上·山东威海·期末）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号和添括号，则相关运算法则是解答本题的关键． 选项A、C根据去括号法则判断即可，选项B、D根据添括号法则判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项不符合题意； B. ，故本选项不符合题意； C. ，故本选项不符合题意； D. ，故本选项符合题意； 故选：D. 【变式2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 【答案】 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：；． （2）； ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)51 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据交换律和结合律可以解答本题； （2）先把减法转化为加法，小数转化为分数，再根据加法交换律和结合律计算即可； （3）利用乘法分配律计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 思想3：分类讨论思想 【例题18】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作” 例如，，……则所有“绝对操作”共有（    ）种不同运算结果 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据给定的定义对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出结果，理解题意，熟练掌握绝对值的化简是解题关键． 【详解】解： 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是； ； ； ． 当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；； ． 共有7种情况； 故选：A． 【变式1】（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）符合要求的不同的值共有（　　）个 A．10 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】当，；当时，，按此分类讨论即可． 【详解】解：当，；当时，，按此分类讨论， 当、、、、均为正数时，， 当、、、、有八个为正数，一个为负数时，， 当、、、、有七个为正数，两个为负数时，， 当、、、、有六个为正数，三个为负数时，， 当、、、、有五个为正数，四个为负数时，， 当、、、、有四个为正数，五个为负数时，， 当、、、、有三个为正数，六个为负数时，， 当、、、、有两个为正数，七个为负数时，， 当、、、、有一个为正数，八个为负数时，， 当、、、、均为负数时，， 所以共有10个值． 故选A． 【点睛】此题主要考查分类讨论能力，解题的关键是充分利用好这一结论，注意分类的准确 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）在数轴上表示数的点到原点的距离为4，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，代数式求值，根据题意求出a的值，代入求解即可． 【详解】解：在数轴上表示数的点到原点的距离为4， 或4， 或， 故答案为：或1． 【变式3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数、、10，若动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．    (1)点B、C之间的距离 ；用含t的代数式表示P点对应的数∶ ；用含t的代数式表示点P和点C的距离： ； (2)当点P运动到线段中点时，求t的值； (3)在运动过程中，当t为何值时，点P到点B的距离与点P到点C的距离之和为28． 【答案】(1)20；； (2) (3) 【分析】本题考查了数轴，列代数式，一元一次方程的应用． （1）由点B，C对应的数，利用数轴上两点间的距离公式可求出的长，由点P的出发点、运动速度及运动时间，可用含t的代数式表示出点P对应的数，由点P，C对应的数，利用数轴上两点间的距离公式可求出的长； （2）求出线段的中点对应的数为，当点P运动到线段中点时，，求解即可； （3）分当点P在线段上，当点P在线段上时两种情况讨论，由点P到点B的距离与点P到点C的距离之和为28，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 点P对应的数为，即， ． 故答案为：20；；． （2）解：∵， ∴线段的中点对应的数为， ∵点P对应的数为， ∴当点P运动到线段中点时，， 解得 （3）解：当点P在线段上时， ， ， 当点P到点B的距离与点P到点C的距离之和为28时，， ∴， 解得； 当点P在线段上时， ∴不存在点P到点B的距离与点P到点C的距离之和为28． 综上所述，当时，点P到点B的距离与点P到点C的距离之和为28． 思想4：从一般到特殊 【例题19】（22-23六年级上·山东济宁·期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】观察图形的变化先计算出前几个图形的小圆的个数，进而可得第n个图形的小圆个数． 【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图形有5个小圆，即， 第2个图形有8个小圆，即， 第3个图形有11个小圆，即， 依此规律，第n个图形的小圆个数是： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是先计算出前几个图形的小圆的个数，找到规律． 【变式1】（21-22七年级·全国·假期作业）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　） A．253 B．255 C．257 D．259 【答案】C 【分析】从特殊出发，归纳得到一般规律即可完成． 【详解】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1； 2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1； 3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1； …… n个小时后细胞存活的个数是2n+1， 当n＝8时，存活个数是28+1＝257． 故选：C． 【点睛】本题考查了乘方的应用，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】7 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键． 从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， ，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， … 由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， 又， 所以的末位数字与的末位数字相同是7． 故答案为：7 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列各式：，根据规律解答下列各题． (1)__________________； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目中给定的等式，得到，即可得出结论； （2）利用裂项相加法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已有算式，推出 一、单选题 1．（2024·江苏常州·中考真题）的绝对值是（　　） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：C． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）地球与月球的平均距离大约为，数据384000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：384000用科学记数法表示为． 故选：B． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）4的倒数是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要了考查倒数的意义，根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：4的倒数是， 故选：A． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）的相反数是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 6．（2022·湖北襄阳·中考真题）如果温度上升，记作，那么温度下降记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反意义的量解答即可，本题考查了正负数的应用，清楚零上为正，零下为负是解题的关键． 【详解】∵温度上升，记作，， 则温度下降记作 故选D． 7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到，且是解题的关键． 数轴上点A，M，B分别表示数，则、，由可得原点在A、M之间，由它们的位置可得，，且，再根据整式的加减乘法运算的计算法则逐项判断即可． 【详解】解：数轴上点A，M，B分别表示数, ∴、， ∵， ∴原点在A，M之间，由它们的位置可得，且， ∴，，， 故运算结果一定是正数的是． 故选：A． 二、填空题 8．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 ． 【答案】13 【分析】根据题意可得，把，代入进行计算即可解答． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 9．（2022·江苏泰州·中考真题）若，则的值为 . 【答案】 【分析】将代入，由绝对值的意义即可求解． 【详解】解：由题意可知：当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的计算，属于基础题． 10．（2023·江苏无锡·中考真题）废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会污染水．数据用科学记数法可表示 ． 【答案】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 三、解答题 11．（2024·广西·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 12．（2022·广西·中考真题）计算：． 【答案】3 【分析】先计算括号内的，并计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式=1×3+4-4 =3+4-4 =3． 【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键，注意解题时要注意运算顺序：从高级到低级运算，有括号时应先算括号里的． 13．（2020·湖北宜昌·中考真题）在“-”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入中的□，并计算． 【答案】-；5或×；5 【分析】先选择符号，然后按照有理数的四则运算进行计算即可． 【详解】解：（1）选择“-” （2）选择“×” 【点睛】本题考查了有理数的四则运算，熟知有理数的四则运算法则是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24七年级上·江苏南通·期中）下列有关“”的叙述中，错误的是( ) A．不是正数，也不是负数 B．不是有理数，是整数 C．是整数，也是有理数 D．不是负数，是有理数 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字“0”的意义，0既不是正数，也不是负数，0是整数，也是有理数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、0不是正数，也不是负数，原说法正确，不符合题意； B、0是有理数，是整数，原说法错误，符合题意； C、0是整数，也是有理数，原说法正确，不符合题意； D、0不是负数，是有理数，原说法正确，不符合题意； 故选B． 2．（22-23七年级上·四川凉山·期末）的相反数是（　　） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 3．（23-24七年级上·西藏林芝·开学考试）体育老师对六年级学生进行了仰卧起坐测试．以每分钟个为达标，记作．小明的成绩记作，则他仰卧起坐的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的意义，深刻理解正负数的意义是解题的关键．正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 用正负数表示意义相反的两种量：高于每分钟个记为正，则低于每分钟个就记作负，由此得解． 【详解】解：（个）， 故选：． 4．（22-23七年级上·河南信阳·期末）既是分数又是正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数．根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数正整数、和负整数和分数正分数和负分数．根有理数分为整数和分数，据此解答即可． 【详解】解：A选项：是整数，故本选项不合题意； B．是负数，故本选项不合题意； C．既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； D．既是分数又是正数，故本选项符合题意． 故选：D． 5．（23-24七年级上·云南德宏·期末）史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生产和生活中．在农业生产中，如果增产记为，那么减产记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：增产记为，那么减产记作， 故选：C． 6．（22-23七年级上·山东济宁·期中）冰箱冷藏室的温度零上记作，保鲜室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了用正负数记数的应用能力，相反意义的量，此题根据正负数是表示一对意义相反的量可知，以上温度记为正数，则以下温度记为负数． 【详解】解：以上温度记为正数， 以下温度记为负数， 零下记为． 故选：D． 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）在0，，3，，中，负数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查负数的识别，解题的关键是能够根据“”“”区分正、负数． 根据负数的特征可判定求解． 【详解】∵，，， ∴在0，，3，，中，，是负数共有2个， 故选：B． 8．（23-24七年级上·重庆大足·期中）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．2与 B．与1 C．与 D．2与 【答案】C 【分析】本题主要考查相反数的概念，根据仅有符号不同的两个数，且互为相反数的两个数之和为0进行判断即可． 【详解】解：．，所以两数不互为相反数，故本选项不符合题意； ．，，所以两数不互为相反数，故本选项不符合题意； ．，，所以两数互为相反数，故本选项符合题意； ．，，所以两数不互为相反数，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）某同学在做数学作业时，不小心将墨水酒在所画的数轴上，如图所示，被墨水污染的所有整数有（    ）    A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 【答案】C 【分析】先求出从到之间的整数，再求出从到之间的整数，进而可得出结论． 【详解】解：∵从到之间的整数有：共5个； 从到之间的整数有：10，11，12，13，14，15，16共7个， ∴被墨水污染的所有整数有12个． 故选：C． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上各点与有理数是一一对应关系是解答此题的关键． 10．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，继而求出点移动的距离，即可得出点表示的数，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的面积为，边长为， ∴，点对应的数是， ∵移动后的长方形与原长方形 重叠部分的面积为， ∴阴影部分的面积为，，， 如图，当长方形向左平移时， 即， ∴， ∴表示的数为， 如图，当长方形向右平移时， 即， ∴， ∴， ∴， ∴表示的数为， ∴点表示的数为或， 故选：． 二、填空题 11．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）数，，2，中，为负整数的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数的判断，务必清楚的是负数指的是小于0的数，根据概念找出小于0的整数即可． 【详解】解：数，，2，中，负整数是． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各数：，1，，0，，，，，是非负整数有 ；负分数有 ． 【答案】 1，0， ， 【分析】本题考查了非负整数、负分数的定义，非负整数包括正整数和0；负分数是指小于0的分数，熟知非负整数、负分数的定义，能正确将各数进行化简是解题关键． 先将各数进行化简，再根据非负整数、负分数的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：，，，， 非负整数：1，0，， 负分数：，， 故答案为：1，0，；，． 13．（23-24七年级上·吉林·期末）若为负数，且，写出一个符合条件的的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了绝对值的意义， 根据绝对值的意义以及为负数得出，可以写一个小于的负数即可． 【详解】解：∵，且为负数 ∴， 写出一个符合条件的的值为， 故答案为：（答案不唯一） 14．（23-24七年级上·福建福州·期末）设与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的应用，根据题意可得，代入即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数 ∴， ∴， 故答案为：． 15．（20-21七年级上·湖北武汉·阶段练习）比较大小（填写“＞”或“＜”）： －2 －3 ； ； 【答案】 > > < 【解析】根据有理数的大小比较方法作答． 【详解】解：∵|-2|<|-3|， ∴-2>-3， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为>；>；<． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法、分数比较大小的方法及多重符号的化简是解题关键 ． 16．（23-24七年级上·浙江温州·期中）老师在课上出了一道有关绝对值的计算题：，若该题的计算结果为，则“”处的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据求一个数的绝对值的逆运算可知 或，进而可求解． 【详解】求有理数的绝对值的方法 解：根据题意可知， ， 所以或， 所以 或， 故答案为：或． 17．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 18．（22-23七年级上·江西上饶·期中）若，则 ． 【答案】或0或2 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：当a、b同时为正时，， 当a、b同时为负时，， 当a、b一正一负时，不妨设a为负，， 综上所述，的值为或0或2． 故答案为：或0或2． 三、解答题 19．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）（1）； （2）． 【答案】（1）9；（2）8 【分析】本题考查有理数的加减混合运算． （1）先去括号和绝对值，再进行加减计算即可； （2）先去括号，再进行加减计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题考查了乘法运算律分配律的运用；根据题目特点正用或逆用是解题的关键； （1）把分母中拆成，然后运用分配律即可； （2）把被除数中带分数化为假分数，再逆用分配律，最后约分即可． 【详解】（1）解： = = = ； （2）解： ． 21．（2023七年级上·全国·专题练习）利用运算律计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据加法交换律和结合律进行运算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行运算即可； （3）根据加法交换律和结合律进行运算即可； （4）根据加法交换律和结合律进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握加法的交换律和结合律，准确计算． 22．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 23．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，，回答下列问题：    (1)将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (2)将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (3)移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗，你有几种移动方法，请写出来． 【答案】(1)1； (2)； (3)能，移动方法共有种：方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为；方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为；方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为． 【分析】本题考查数轴的简单应用，理解点在数轴上的移动规律与点对应的数相应的变化是解题的关键． （1）由数轴上的点的移动规律即可求解． （2）由数轴上的点的移动规律即可求解． （3）由数轴上的点的移动规律并分类讨论即可求解． 【详解】（1）因为点表示的数是，所以将点向右移动个单位长度后，此时点所表示的数是； （2）因为点表示的数是，所以将点向左移动个单位长度后，此时点所表示的数是； （3）一共有种移动方法能使移动，，三个点中的任意两个点之后，三个点表示的数相等，且三种方案如下所述： 方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 综上所述：移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等，且符合题意的移动方法共有种． 24．（22-23七年级上·四川阿坝·期末）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______． (2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？ 【答案】(1)6 (2)小丽现在18岁，马老师现在35岁 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数形相结合是解此题的关键． （1）由数轴观察可得三根木棒长，再列式计算即可得出答案； （2）在数轴上，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数，利用数形相结合的思想求解即可． 【详解】（1）解：由数轴观察可得：三根木棒长是， ∴木棒长为； （2）解：如图，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数， ∵马老师像小丽这么大时，小丽只有1岁；等小丽到马老师这年龄的时候，马老师已经52岁了． ∴马老师与小丽的3倍龄差为（岁）， ∴马老师与小丽的差为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽现在18岁，马老师现在35岁． 25．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合计算是解题的关键； （1）根据平均数的意义，可得答案； （2）根据题意列式计算求出该班的总积分即可． 【详解】（1）解：由题意得： 答：这个小组分钟每人平均跳绳的个数个 （2）解：由题意得： 答：这个小组的总积分为分 26．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)说出a，b的正负性； (2)在数轴上分别用M，N表示两点； (3)若b与表示的数相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (4)在（3）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度，则a与表示的分别是什么？ 【答案】(1)a为正数，b为负数 (2)见解析 (3)b表示的数是，表示的数是10 (4)a表示的数是5，表示的数是 【分析】本题考查了数轴，相反数，正负数，数轴上两点之间的距离等知识： （1）根据原点右边的数是正数，原点左边的数是负数判断即可； （2）根据相反数的定义表示出即可； （3）根据b与表示的点相距20个单位长度即可求出b、表示的数； （4）根据数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度即可求出a、表示的数． 【详解】（1）由数轴得，数a在原点右边，故数a为正数，数b在原点左边，故数b为负数； （2）如图， ； （3）由题意，得， 解得， ∴， 即b表示的数是，表示的数是10； （4）由题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴a表示的数是5，表示的数是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$